1、第二节平面向量基本定理及坐标表示【考纲下载】1了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a
2、xiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)2平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)； (3)若a(x，y)，则a(x，y)；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1.1相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点
3、坐标可以不同吗？提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同如A(3,5)，B(6,8)，则(3,3)；C(5,3)，D(2，6)，则(3,3)，显然，但A，B，C，D四点坐标均不相同2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能表示成吗？提示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20等1若向量a(1,1)，b(1,0)，c(6,4)，则c()A4a2b B4a2bC2a4b D2a4b解析：选A设cab，则有(6
4、,4)(，)(，0)(，)，即6，4，从而2，故c4a2b.2已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C. D15解析：选Bab，4y58，即y10.3若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则2_.解析：A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，(1,1)，(2,2)，2(1,1)(4,4)(3，3)答案：(3，3)4(教材习题改编)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：ab(1，m1)，c(1,2)，且(ab)c，12(m1)，即2m1，m1.答案：1考点一平面向量基本定理的应用 例1在平行四边形ABCD中，E和F分别是边
5、CD和BC的中点若，其中，R，则_.自主解答选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得即故.答案【互动探究】在本例条件下，若c，d，试用c，d表示，.解：设a，b，因为E，F分别为CD和BC的中点，所以b，a，于是有：解得即(2dc)dc，(2cd)cd.【方法规律】应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则_.解析：因为AB2，BC3，ABC60，AH
6、BC，所以BH1，BHBC.因为点M为AH的中点，所以()，即，所以.答案：考点二平面向量的坐标运算 例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，且3c，2b.求：(1)3ab3c；(2)满足ambnc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标自主解答由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M的坐标为(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,
7、2)故(90,220)(9，18)【方法规律】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(3，4)，求第四个顶点D的坐标解：设顶点D(x，y)若平行四边形为ABCD.则由(1,5)，(3x,4y)，得所以若平行四边形为ACBD，则由(7,2)，(5x，7y)，得所以若平行四边形为ABDC，则由(1,5)，(x3，y4)，得所以综上所述，第四
8、个顶点D的坐标为(4，1)或(12,5)或(2,9).高频考点考点三 平面向量共线的坐标表示1平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题2高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题例3(1)(2013陕西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于() A B. C或 D0(2)(2011湖南高考)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(3)(2014瑞金模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C
9、(0，b)(ab0)共线，则的值等于_自主解答(1)因为ab，所以m22，解得m或m.(2)a与b方向相反，可设ab(0)，a(2，1)(2，)由|a|2，解得2，或2(舍)，故a(4，2)(3) (a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以. 答案(1)C(2)(4，2)(3)平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时
10、，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线1(2013辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析：选AA(1,3)，B(4，1)，(3，4)，又| |5，与同向的单位向量为.2已知向量a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：由题意知ab(m1，3)，c(1,2)，由(ab)c，得(3)(1)(m1)20，即2(m1)3，故m.答案：3已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_解
11、析：法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二：设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)答案：(3,3)课堂归纳通法领悟1个区别向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)2种形式向量共线的充要条件
12、的两种形式(1)abba(a0，R)； (2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)3个注意点解决平面向量共线问题应注意的问题(1)注意0的方向是任意的； (2)若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错； (3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10. 易误警示(七)平面向量坐标运算中的易误点用平面向量解决相关问题时，在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的坐标运算更简便一些典例(2013北京高考)向量a，b，
13、c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解题指导可建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，求出a，b，c的坐标，然后利用cab即可求出和的值，从而使问题得以解决解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，所以a(1,1)，b(6，2)，c(1，3)由cab可得解得所以4.答案4名师点评建立平面直角坐标系时，一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样解题会较简便给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大
14、值是_解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B，设C(cos ，sin )，则有xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，所以当时，xy取得最大值2.答案：2全盘巩固1已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A2 B0 C1 D2解析：选D依题意得ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)ab与4b2a平行，3(4x2)6(x1)，解得x2.2(2014朝阳模拟)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为()A. B. C. D1解析：选AM为边BC上任意
15、一点，可设xy (xy1)N为AM中点，xy.(xy).3(2014西安模拟)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 Bk Ck1 Dk1解析：选C若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.4若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0) B(0，2) C(2,
16、0) D(0,2)解析：选D由题意，a2p2q(2,2)(4,2)(2,4)设a在基底m，n下的坐标为(，)，则a(1,1)(1,2)(，2)(2,4)故解得即坐标为(0,2)5设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|2|，则点P的坐标为()A(3,1) B(1，1)C(3,1)或(1，1) D无数多个解析：选C设P(x，y)，由点P在直线AB上，且|2|，得2，或2，而(2,2)，(x2，y)，故(2,2)2(x2，y)，解得x3，y1，此时点P的坐标为(3,1)；或(2,2)2(x2，y)，解得x1，y1，此时点P的坐标为(1,1)6设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1
17、，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析：选D设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)0，解得x2，y6，所以d(2，6)7已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_解析：由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，则tan 150，即，故1.答案：18在平
18、面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为_解析：由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形设D(x，y)，则有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)，即D点的坐标为(0，2)答案：(0，2)9. (2014南昌模拟)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：因为kk()k(1k) ，k为实数，且m，所以1km，解得k，m.答案：10已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解：
19、kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)，得解得k，当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)0，kab与a3b反向11已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解：(1) t(13t,23t)若P在x轴上，则23t0，t；若P在y轴上，则13t0，t；若P在第二象限，则t.(2)(1,2)，(33t,33
20、t)若OABP为平行四边形，则.无解，四边形OABP不能成为平行四边形12平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0，k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或故d(3，1)或(5,3)冲击名校1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(bc，cos C)，n(a，cos A)，m
21、n，则cos A的值等于()A. B. C. D.解析：选Cmn(bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得 sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A.2已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a等于()A2 B1 C. D.解析：选A设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直线yax上，3a3，a2. 高频滚动1已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：选D，22，P是AC边的一个三等分点2.如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_解析：连接AO，则()，M，O，N三点共线，1，mn2.答案：2
