1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-3 第一章 计数原理成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 计数原理 第一章 第一章 计数原理成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 章末归纳总结第一章 第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 专 题 研 究 3知 识 梳 理 1知 识 结 构 2即 时 训 练 4第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 知 识 梳 理第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 排列与组合，以计数
2、问题为特征，是组合数学的最初步的知识，内容独特，应用广泛，是学习概率与统计知识的预备知识而且思想方法较为独特灵活，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材教材首先研究了分类与分步计数原理，并将原理的应用贯穿于全章学习的始终两个原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法：将问题分类和分步解决；教材以两个基本原理为基础，介绍了排列、组合的概念，排列数公式、组合数公式及其在计算问题上的应用；然后运用分步计数原理推导了二项式定理，同时通过研究二项式系数的性质深化对组合数的认识第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 1两个计数原理与排列、组合两个原理不仅是推导排
3、列数公式与组合数公式的基础，而且应用贯穿本章的始终，两个原理的区别在于：分类计数原理与分类有关，分步计数原理与分步有关排列与组合主要研究从不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题，区别二者的关键是看是否与顺序有关第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 2排列与组合的主要公式(1)排列数公式：Amnn(n1)(n2)(nm1)(mn)，Amnn！nm！(mn)，特别地 Annn！n(n1)(n2)21.(2)组合数公式：Cmnnn1n2nm1m！n！m！nm！(3)组合数性质：CmnCnmn，Cmn1CmnCm1n.第一章 章末
4、归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 3二项式定理及二项式系数的性质(1)二项式定理：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN*)其中 Crn叫二项式系数，Tr1Crnanrbr 叫通项公式(2)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性与最大值：当 kn12 时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且中间取得最大值当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值各二项
5、式系数和：C0nC1nC2nCnn2n.4学习本章内容时，需注意如下问题对于一些易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与项的系数等，应弄清它们之间的联系与区别注意体会解决本章应用题的思考方法，正向思考时要善于将稍复杂的问题进行分解，有些问题的解决还要注意运用逆向思考的方法第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 5本章所用思想方法(1)分类整合的思想利用分类加法计数原理分析、解决问题的实质就是分类讨论，另外在解决有关“至多”、“至少”问题时，求排列、组合种数时，都会用到分类讨沦的思想，因此学习时应仔细体会本部分知识体现的这种思想
6、(2)方程的思想有关排列数、组合数的计算体现了这种思想(3)数形结合的思想本章知识较为抽象，常需结合列表、画树形图等方法较为形象地分析问题第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 (4)直接法、间接法对元素分类后可用直接法处理，从反面考虑则用间接法(或排除法)处理(5)模型方法如间隔排列、整体排列、定序问题、投信问题等的模型，能够实现模型转化，使问题得解(6)赋值法在(ab)n的二项展开式中，通过给a、b赋不同的值，可解决一些证明问题和求系数和的问题(7)构造法根据题目特点构造二项式或多项式，证明有关的组合恒等式第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学
7、习指导 北师大版 数学 选修2-3 知 识 结 构第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 专 题 研 究第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列、组合应用题的关键一步(1)正确分类或分步，恰当选择两个计数原理(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”而排列组合讨论的问题共同点是“元素不相同”，不同点是排列与顺序有关，组合与顺序无关1特殊元素特殊位置“优先安排法”对于带有
8、特殊元素或特殊位置的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素排列与组合应用题求解策略第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 有 1、2、3、4、5 这五个数字，可以组成比 20 000大，并且百位数字不是 3 的没有重复数字的五位数，共有_个解析 解析一：本题 1 和 3 可视为特殊元素，万位和百位被视为特殊位置若以元素为主考虑，应先满足特殊元素 1和 3，分 3 类：(1)1 和 3 都排在千、十、个位上，有 A23A33个；(2)1 和 3 只有一个排在千，十，个位上，有 C12C13A33个；(3)1和 3 都不排在千，十，个位
9、上，此时 3 必排在万位上，1 必排在百位上，有 A33个第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 根据加法原理，共有 A23A33C12C13A33A3378(个)。解法二：若以位置为主考虑，先满足特殊的位置万位和百位，分两类：(1)万位排 3，有 A44个；(2)万位排 2,4,5 中的一个，余下的两数和 1 取一个排在百位、千、十、个位排余下的三个数，有 C13C13A33个，所以共有 A44A13A13A3378(个)答案 78第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 2总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以
10、从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减用 0、1、9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 由 0,1,2，9 可以排成的所有三位数为 C19C110C110，其中不含重复数字的为 C19C19C18，故满足条件的三位数为 C19C110C110C19C19C18900648252(个)答案 B第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 3合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行
11、分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有()A120 种 B96 种C78 种D72 种第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 由题意，可先安排 a 列车，并按其进行分类讨论：若 a 列车停在第二轨道上，则剩下四列车可自由停放，有 A44种方法；若 a 列车停在第三或第四或第五轨道上，则根据分步计数原理有 A13A13A33种停法，再根据分类计数原理，不同的停放方法共有 A44A13A13A3378 种
12、答案 C第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 4混合应用问题“先选后排法”对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 本小题主要考查有限制条件的排列组合问题直接法：先从另外 3 人中选 1 人担任文娱委员，有 C13种，其余不再有限制条件，则有 A24种，所以共有 C13A24种间接法：先全排有 A35种，
13、现除去甲、乙担任文娱委员的 2A24种即 A352A2436(种)答案 36第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 5相邻问题“捆绑法”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素与其他元素排列，然后再对相邻元素内部之间进行排列A、B、C、D 四人排成一排，A、B 必须相邻的排法有_种第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 将 A，B 捆绑起来看作一个元素，与其他三人进行排列，有 A33种排法，而 A、B 之间又有 A22种排法，故满足条件的排法共有 A33A2212(种
14、)答案 12第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 6不相邻问题“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可 7 个人站成一排照相，要求甲、乙、丙两两不相邻有多少种排法？第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 先让其余 4 人站好，有 A44种排法，再在这 4 人之间及两端的 5 个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有 A35种方法，这样共有 A44A351440 种不同的排法反思总结 对于某 n 个元素不相邻的排列问题可将其
15、他元素排好，然后将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可，此为“插空法”第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 7等价转化法一些常见类型方法为自己熟知之后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，或者有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这时可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将其转化为一个较简单的问题来处理马路上有 12 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，那么满足条件的关灯方法共有_种第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导
16、 北师大版 数学 选修2-3 解析 关第一只灯的方法有 10 种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂若换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题就转化为等价的“在 9 只亮灯产生的 8 个空当中插入 3 只暗灯”问题，故所求方法种数为 C3856 种答案 56第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 8顺序固定问题用“除法”或“自动上位法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数今有 2 个红球、3 个黄球和 4 个白球，同
17、色球不加以区分，将这 9 个球排成 1 列，有_种不同的方法(用数字作答)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 本题考查元素的不定序问题，属局部不定序排成一列，有 A99种排法，除去 2 红、3 黄、4 白的顺序即可故有A99A22A33A441260(种)答案 1260反思总结 本题的易错点是没注意“同色球不加以区分”这一条件另解：C29C37C441260(种)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 9构造“隔板”模型法对相同元素的有序分组问题，可通过设计另一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题高一
18、年级 7 个班级要组成年级篮球队，共需 10名队员，每个班至少要出一名，则不同的组成方式共有多少种？解析 设 7 个班出的队员数分别为 x1，x2，x7，则 x1x2x710，即相当于在 10 个小方块之间的 9 个空白档中插入 6 块隔板将其分成 7 部分，故不同的组成方式为 C6984(种)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 反思总结 本题还有其他很多不同的叙述方式，如：“某运输公司中有 7 个车队，每个车队的车都多于 4 辆且型号相同，现要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成运输队，每个车队至少抽1 辆车，则不同的抽法有多少种？”第一章 章末
19、归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 10“小团体”问题“先整体后局部法”对于“小团体”排列问题，与“相邻问题”相似，可先将小团体看作一个元素与其余元素排列，最后再进行小团体内部的排列例 10 7 人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好间隔 2人的站法有多少种？第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 甲、乙及间隔的 2 人组成一个“小团体”，这 2人可从其余 5 人中任选出来，有 C25种选法；这个小团体与其余3 人共 4 个元素全排列有 A44种方法，它的内部甲、乙两人有 A22种站法，中间选的 2 人也有 A22种站法
20、，因而符合要求的站法共有 C25A44A22A22960 种.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 二项式定理及其应用二项式定理关键是掌握通项公式及展开规律，利用赋值法或待定系数法求解1利用通项公式求展开式的特定项或特定项的系数(2015重庆理，12)x3 12 x5 的展开式中 x8 的系数是_(用数字作答)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 由二项式定理得 Tr1Cr5(x3)5r(12 x)rCr512rx157r2当 157r2 8 时，易得 r2，故 x8 系数为 C25(12)252.答案
21、52第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 2二项式系数的性质的应用在二项式(x1)11 的展开式中，系数最小的项的系数为_(结果用数值表示)解析 根据二项式系数的性质，(x1)11 的展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项 C511x6(1)5，第七项 C611x5(1)6，所以得系数最小的项的系数为C511462.答案 462第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 (22x)6a0a1xa2x2a6x6，那么 a1a2a6 的值等于()A26 B26 C24 D24解析 令 x0，则有(220)6a0，
22、a026.再令 x1，则有(221)6a0a1a2a6，a0a1a2a60a1a2a60a026答案 A反思总结 求展开式中各项系数的和的一个有效方法是赋值代入第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 3利用二项式定理证明整除问题或近似计算求证：32n28n9(nN)能被 64 整除分析 可将 32n2 写成(81)n1，然后利用二项式定理展开证明 32n28n9(81)n18n9C0n18n1C1n18nCn1n182Cnn18Cn1n18n9C0n18n1C1n18nCn1n1828(n1)18n9C0n18n1C1n18nCn1n182.该式每一项都
23、含因式 82，故能被 64 整除第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 反思总结 利用二项式定理证明有关多项式的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 即 时 训 练第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 一、选择题1某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的不同的选法有()A27种B48种C21种D24种答案 D第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导
24、 北师大版 数学 选修2-3 解析(直接法)有 1 名女生的选法为 C13C17种，有 2 名女生的选法有 C23种，故至少有 1 名女生当选的方法总数为 C13C17C2324(种)(间接法)10 名学生中选 2 名代表有 C210种选法，其中 2 名代表全是男生的有 C27种选法，所以至少有 1 名女生当选的选法有C210C2724(种)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 2从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派的方案共有()A108种B186种C216种D270种答案 B第一章 章末归纳总结成才之路
25、 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析(1)直接法：从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，至少有 1 名女生的选派方案可分三类：恰好有 1 名女生，2男生，有 C13C24A33种方法；恰好有 2 名女生，1 名男生，有 C23C14A33种方法；恰有 3 名女生，有 C33A33种方法，综上共有 C13C24A33C23C14A33C33A33186 种不同的选派方案(2)间接法：从全部方案数中减去只选派男生的方案数，则A37A34186 种第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 3(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是
26、()A56 B84 C112 D168答案 D解析 式子(1x8)(1y)4 中 x2y2 项即(1x)8 中 x2 项与(1y)4 中 y2 项的乘积C28x2C24y2C28C24x2y2C28C24286168.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 二、填空题4二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)答案 10解析 Tr1Cr5x5ryr，r3.系数为 C3510.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 5有n个球队参加单循环足球赛，其中两个队各比赛了三场就退出了比赛，这两队之间未
27、进行比赛，这样到比赛结束共赛了34场，那么n_.答案 10解析 从 n 个球队中任选 2 个球队有 C2n场，又有两个球队若不与这两个以外的其他任何球队比赛，需减去 2(n2)，这两队之间不比赛，又减去 1，而两队各比赛了三场，需加六场，故共有 C2n2(n2)16 场，计算得 n10.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 三、解答题6学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第二、五、七、十的位置，3个舞蹈节目要求排在第三、六、九的位置，2个曲艺节目要求排在第四、八的位置，共有多少种排法？第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-3 解析 要完成 11 个节目的顺序，共需分三步：第一步：排 4 个音乐节目，在第二、五、七、十的位置进行全排列，有 A44种排法第二步：排 3 个舞蹈节目，在第三、六、九的位置进行全排列，有 A33种排法第三步：排 2 个曲艺节目，在第四、八的位置进行全排列，有 A22种排法根据乘法原理，节目的演出顺序共有 A44A33A22288 种排法
