1、第一节计数原理与排列组合考情解读命题规律考点分类加法计数原理 分步乘法计数原理排列组合问题分组分配问题考查频次卷,5年1考卷,5年2考近年为单独命题卷,5年1考考查难度中等中等/中等常考题型及分值选择题,5分选择题,5分/选择题,5分命题趋势 预计高考对本部分的考查以两个计数原理与排列组合的综合题为主,复习时应注意加强对两个计数原理的理解,应用排列组合解决分组分配问题等基础导学知识梳理1.两个计数原理2.排列完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案,第 1 类方案中有 种不同的方法,第 2 类方案中有 种不同的方法=1 种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤,第 1
2、步有 种不同的方法,第 2 步有 种不同的方法=2 种不同的方法+组合的定义从 个 3 元素中,任意取出()个元素 4 ,叫做一个组合组合数的定义从 个 5 元素中取出()个元素后,6 个数组合数公式 =(1)(2)(+1)!=7 组合数的性质（1）=8 （2）+1=9 3.组合不同并成一组不同所有不同组合的!()!+1 知识拓展1.计数原理的两个不同点（1）分类问题中的每一个方法都能完成这件事.（2）分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分.2.排列与组合问题（1）三个原则有序排列、无序组合.先选后排.复杂问题分类化简或正难则反.（2）两个优先特殊元素优先.特殊位置优先.即先考虑特
3、殊的元素（或位置）,再考虑其他元素（或位置）.3.正确理解组合数的性质（1）=从 个不同元素中取出 个元素的方法数等于取出剩余 个元素的方法数.（2）+1=+1 从 +1 个不同元素中取出 个元素可分以下两种情况：不含特殊元素 有 种方法;含特殊元素 有 1 种方法.重难突破考点一 计数原理典例研析【例1】B（1）已知集合=,1,=,1,2,其中,1,2,3,9,且 .把满足上述条件的一对有序整数对(,)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21 解析 因为=,1,=,1,2,且 ,所以 ,2.所以当=2 时,=3,4,5,6,7,8,9,共有 7 种情况;当
4、=时,=3,4,5,6,7,8,9,共有 7 种情况.故共有7+7=14 种情况,即这样的点的个数为 14.（3）从0,1,2,3,4这5个数字中任选3个组成三位数,其中偶数的个数为 .30BA.24 B.18 C.12 D.9解析 按个位数字是否为 0 进行分类,因为 0 不能排在首位.若 0 在个位,则十位数字有 4 种排法,百位数字有 3 种排法,共有 4 3=12 种.若 2 或 4 在个位,个位数字有 2 种排法,再分类,若 0 在十位,则百位数字有 3 种排法.若 0 不在十位,十位数字有 3 种排法,百位数字有 2 种排法.共有 2 (1 3+3 2)=18,故共有 12+18=
5、30.（2）2016全国卷如图,小明从街道的 处出发,先到 处与小红会合,再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()解析分两步,第一步,从 ,有 6 条可以选择的最短路径;第二步,从 ,有 3 条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6 3=18 条可以选择的最短路径.故选.方法技巧：应用计数原理的三个注意点（1）注意完成“这件事”是做什么.（2）弄清完成“这件事”是分类还是分步.根据完成事件的特点,进行“分类”,根据事件的发生过程进行“分步”.分类要按照同一个标准,任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.分步时各步相互依存,只有各步都完
6、成时,才算完成这件事.（3）合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰,还要注意元素是否可以重复选择.对点训练1.从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有 种不同的方法.12D解析分三类：一类是乘汽车有 8 种方法;一类是乘火车有 2 种方法;一类是乘飞机有 2 种方法.由分类加法计数原理知,共有8+2+2=12(种)方法.2.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()A.10 种 B.25 种 C.52 种 D.24 种 解析共分 4 步：一层到二层有 2 种,二层到三层有 2 种,三层到四层有 2 种,四层到五层有 2 种,一
7、共有24 种.3.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为 .五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列）,则获得冠军的可能性有 种.45 54 解析五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有 4 种报名方法,共有45 种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对 4 个冠军逐一落实,每个冠军有 5 种获得的可能性,共有54 种获得冠军的可能性.重难突破考点二 排列问题（1）室内体育课上王老师为了丰富课堂内容,调动同学们的积极性,他把第四排的 8 名同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.通过观察这 8 名同学的身体特征,王老
8、师决定,按照 1,2 号相邻,3,4 号相邻,5,6 号相邻,而 7 号与 8号不相邻的要求站成一排做一种游戏,则有 种排法.（用数字作答）典例研析【例2】576（2）航天员拟在太空授课,准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中0号实验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则实验顺序的编排方法种数为 （用数字作答）.300解析优先安排第一项实验,再利用定序问题相除法求解.由于 0 号实验不能放在第一项,所以第一项实验有 5 种选择.最后两项实验的顺序确定,所以共有55522=300 种不同的编排方法.解析把编号相邻的 3 组同学每两名同学
9、捆成一捆,这 3 捆之间有33=6(种)排序方法,并且形成 4 个空当,再将7 号与 8 号插进空当中,有42=12(种)插法,而捆好的 3 捆中每相邻的两名同学都有22=2(种)排法.所以不同的排法种数为23 6 12=576.方法技巧：有限制条件的排列问题的解题方法方法解读适合题型优先法对问题中的特殊元素或位置首先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置题设有“在”或“不在”等限制条件捆绑法在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数相邻问题插空法先把不受限制元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中不相邻问题缩倍法在排列问题中限制某几
10、个元素必须保持一定顺序称为定序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便规定某几个元素顺序固定间接法当正面问题分的类较多,而反面问题分的类较少时,不妨改变思维方向,即从结论或条件的反面进行思考,这种方法就称为“间接法”有“至多”“至少”等条件限制先取后排法 解决从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,先取后排法解决选排问题的关键在于明确选排的要求选排问题对点训练D5.6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有 种不同站法.4804.将,五种不同的文件放入编号依次为 1,2,3,4,5,6,7 的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件,若文件,必须放入相邻的抽
11、屉内,文件,也必须放入相邻的抽屉内,则所有不同的放法有()A.120 种 B.210 种 C.420 种 D.240 种 解析可先排相邻的文件,再作为一个整体与其他文件排列,则有222253=240 种排法.故选.解析先从其他 5 人中安排 2 人站在最左边和最右边,再安排余下 4 人的位置,分为两步：第 1 步,从除甲外的 5人中选 2 人站在最左边和最右边,有52 种站法;第 2 步,余下 4 人（含甲）站在剩下的 4 个位置上,有44 种站法.由分步乘法计数原理可知,共有5244=480（种）不同的站法.重难突破考点三 组合问题及混合问题典例研析【例3】（1）2018全国卷从2位女生,4
12、位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）16（2）2017全国卷安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种D解析按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有2142 种,有 2 位女生参加有2241 种.故共有2142+2241=2 6+4=16（种）.解析 第一步：将 4 项工作分成 3 组,共有42 种分法.第二步：将 3 组工作分配给 3 名志愿者,共有33 种分配方法,故其有42 33=36 种安排方式.故选.方法技巧：解决简单的排列与组合
13、的综合问题的思路（1）根据附加条件将要完成事件先分类.（2）对每一类型取出符合要求的元素组合,再对取出的元素排列.（3）由分类加法计数原理计算总数.（3）将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少放一个球,且红球和蓝球不能放在同一个盒子,则不同的放法的种数为()A.18 B.24 C.30 D.36C解析 将 4 个小球放入 3 个不同的盒子,先在 4 个小球中任取 2 个作为 1 组,再将其与其他 2 个小球对应 3 个盒子,共有4233=36 种情况,若红球和蓝球放到同一个盒子,则黑、黄球放进其余的盒子里,有33=6 种情况,则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36
14、 6=30 种.对点训练6.有甲、乙、丙3项任务,甲需2个人承担,乙、丙各需1个人承担,从10个人中选出4个人承担这3项任务,不同的选法有 .2 520解析要从 10 个人中选出 4 个人承担 3 项任务,甲需 2 个人承担,乙、丙各需 1 个人承担,先从 10 个人中选出 2 个人承担甲项任务,不同的选法有102 种;再从剩下 8 个人中选 1 个人承担乙项任务,不同的选法有81 种;最后从另外 7 个人中选 1 个人承担丙项任务,不同的选法有71 种.综上,不同的选法共有102 8171=2 520（种）.7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去
15、,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案种数是()A.150 B.300 C.600 D.900C解析若甲去,则乙不去,丙去,再从剩余的 5 名教师中选 2 名,有5244=240种方法;若甲不去,则丙不去,乙可去可不去,从 6 名教师中选 4 名,共有6444=360种方法.因此共有 600 种不同的选派方案.课时作业一、单项选择题B2.把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为15号的箱子中,每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中,则所有的放法种数为()A.36 B.20 C.12 D.10C1.一个学习小组有 6 个人,从中选正、副组长各一个,则不同的选法种数为(
16、)A.62 B.62 C.62 D.26 解析问题可转化为从 6 个元素中任选两个元素的排列问题,共有62 种不同的选法.解析依题意,满足题意的放法种数为22 33=12.故选.4.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.24 B.18 C.12 D.6BB解析当从 0,2 中选取 2 时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,十位、百位全排列即可,共有322122=12 个.当选取 0 时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,0 必须在十位,共有3221=6 个.综上,共有12+6=18 个.故选.3.已知集合=1,2,3,4,5,6,则集合 的
17、含偶数个元素的子集的个数为()A.16 B.32 C.64 D.128 解析由题意,集合 的含偶数个元素的子集的个数为60+62+64+66=1+15+15+1=32.5.书架上原来并排放着5本不同的书,现要再插入3本不同的书,那么不同的插法共有()A.336种B.120种 C.24种 D.18种A6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24D解析分三步完成：第一步,插入第 1 本书,有 6 种方法;第二步,插入第 2 本书,有 7 种方法;第三步,插入第 3 本书,有 8 种方法,所以不同的插法有6 7 8=336 种.解析先把
18、三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有 4 个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有43=24 种放法.故选.7.若从1,2,3,9这9个数字中同时取4个不同的数字,其和为偶数,则不同的取法共有()A.60种 B.63种 C.65种 D.66种D8.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.72 B.56 C.49 D.28C解析共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使和为偶数,则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数和2 个偶数,故不同的取法有54+44+5242=66（种).解析分两类：甲、乙中只有 1 人入选且丙没
19、有入选,甲、乙均入选且丙没有入选,计算可得所求选法种数为2172+2271=49.9.某会议室第一排有9个座位,现安排4人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法种数为()A.8 B.16 C.24 D.60C10.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,若2与4相邻,且1与2不相邻,则这样的五位数共有()A.12个 B.24个 C.36个 D.48个C解析根据题意,9 个座位中满足要求的座位只有 4 个,现有 4 人就座,把 4 人进行全排列,即有44=24 种不同的坐法.解析分步完成,先排 2,4,有22 种排法,再把排好的 2,4 看成一个整体,与 3,5 再排,有33 种排
20、法;最后把 1 插空,仅有 3 个空位可选,有 3 种插法,故共有2233 3=2 6 3=36 个不同的五位数.11.7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为()A.120 B.240 C.360 D.480C12.2020年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中（1)班、（2)班、（3)班、（4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中（1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()
21、A.18种 B.24种 C.48种 D.36种B解析第一步,从甲、乙、丙三人选一个加到前排,有 3 种,第二步,前排 3 人形成了 4 个空,任选一个空加一人,有 4种,第三步,后排 4 人形成了 5 个空,任选一个空加一人有 5 种,此时形成 6 个空,任选一个空加一人,有 6 种,根据分步乘法计数原理有3 4 5 6=360 种方法.解析由题意,有两类：第一类,一班的 2 名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个,有32=3 种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生,有2121=4 种,故有 3 4=12 种.第二类,一班的 2 名同学不在甲车上,则从剩下的 3
22、个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,有31=3 种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人,有2121=4 种,这时共有 3 4=12 种,根据分类计数原理得,共有 12+12=24 种不同的乘车方式.故选 .二、填空题214.已知6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有 种（用数字作答).24013.已知15 16=7107,则=.解析由组合数公式化简整理得 2 23+42=0 解得=2 或=21（舍去).解析特殊位置优先考虑,既然甲、乙都不能参加生物竞赛,则从另外 4 个人中选择一人参加,有41 种方案;然后从剩下
23、的 5 个人中选择 3 个人参加剩下 3 科,有53 种方案.故共有4153=4 60=240 种方案.12345678910815.国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教,现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有 种不同的分派方法.9016.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,.,9 的 9 个小正方形,使得任意相邻（有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种.解析首先看图形中的 3,5,7,有31=3 种涂法.对于 2,有两种涂法,对于 4 有两种涂法.当 2,4 涂的颜色相同时,1有 2 种涂法;当 2,4 涂的颜色不同时,1 有 1 种涂法.根据对称性可知共有3 (2 2+2 1)2=108 种涂法.解析先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有62422233 33=90 种分派方法.
