1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp常用结论集合与充要条件的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，(1)p是q的充
2、分不必要条件AB；(2)p是q的必要不充分条件AB；(3)p是q的充要条件AB.思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立()答案：(1)(2)诊断自测1命题“若a2b20，a，bR，则ab0”的逆否命题是_答案：若a0或b0，a，bR，则a2b202已知命题“对任意a，bR，若ab0，则a0”，则它的否命题是_答案：对任意a，bR，若ab0，则a03已知p：x2，q：x2，则p是q的_条件解析：当x2时，两边平方可得(x2)22x，即(x2)(x1)0，解得x12，x21.当x1时，1，不成立，故舍去
3、，则x2.所以p是q的充要条件答案：充要四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21解析：选D命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若q，则p”的形式，所以“若x21，则1x1”的逆否命题是“若x1或x1，则x21”2有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题是()ABC D解析：选D原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则x
4、y1”，是真命题；原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；若m1，44m0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；由ABB，得BA，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故正确3已知集合P，Q，记原命题：“xP，则xQ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A0 B1C2 D4解析：选C因为P，Q，所以PQ，所以原命题“xP，则xQ”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题原命题的逆命题“xQ，则xP”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点对于不是“若p，则q”形式的命题，需
5、先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提提醒四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”(2)判断命题真假的2种方法直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假充分条件、必要条件的判断(师生共研) (1)设xR，则“|x2|0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2020高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相
6、交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】(1)解不等式|x2|1，即1x21，解得1x0即(x1)(x3)0，得x1.记Px|1x3，Qx|x1显然PQ，所以“|x2|0”的充分不必要条件故选A(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设lmA，lnB，mnC，且An，所以点A和直线n确定平面，而B，Cn，所以B，C，所以l，m，所以m，n，l在同一平面内，故选B【答案】(1)A(2)B充分条件、必要条件的两种判断方法(1
7、)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 1“ab”是“aln abln b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当a1，b0时，a，b满足ab，但ln b无意义，故充分性不成立易知函数yxln x在(0，)上单调递增，若aln abln b，则ab0，所以必要性成立，所以“ab”是“aln abln b”的必要不充分条件，故选B2若a，b是非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分
8、必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为a，b为非零向量，ab0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，ab0成立故“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件故选B充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移) 已知条件p：集合Px|x28x200，条件q：非空集合Sx|1mx1m若p是q的必要条件，求m的取值范围【解】由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由p是q的必要条件，知SP.则所以0m3.所以当0m3时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是0，3【迁移探究】1(变问法)本例条件不变，若x
9、P的必要条件是xS，求m的取值范围解：由例题知Px|2x10，若xP的必要条件是xS，即xS是xP的必要条件，所以PS，所以可以得到解得m9.故m的取值范围是9，)2(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使xP是xS 的充要条件？解：由例题知Px|2x10若xP是xS的充要条件，则PS，所以所以故满足题意的m不存在利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍 1已知a，b为任意实数，则ab的一个充分
10、不必要条件是()A ab|b| Bb2 Da3b3解析：选A对于选项A，ab|b|，因为|b|0，所以ab，故充分性成立，反之，若a3，b2，则ab，但ab|b|，故必要性不成立，故A满足题意；对于选项B，C，取a2，b1，满足b2，但ab3ab，故a3b3是ab的充要条件，故D不满足题意选A2关于x的方程ax2bxc0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是_解析：ax2bxc0(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是即ac0.答案：ac0)若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围为_【解析】条件p：2x10，条件q：1mx1m，又p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件故有，所以0
11、m3.【答案】(0，3本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键 1如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选C方法一：设集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则A的补集C(x，y)|xy，B的补集D(x，y)|cos xcos y，显然CD，所以BA，于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件方法二(等价转化法)：因为xycos xcos y，而cos xcos yxy，所以“cos xcos y”是“xy”的必要不充分条件，故“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件2王昌龄的从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件故选B
