1、2015-2016学年宁夏银川九中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（）ABCD2函数y=（2x+1）3在x=0处的导数是（）A0B1C3D63下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）Ai20Bi20Ci=20Di=204袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A至少有一个白球；都是白球B至少有一个白球；至少有一个红球C恰有一个白球；一个白球一个黑球D至少有一个白球；红、黑球各一个5设函数f（x）的导函数为f
2、（x），且f（x）=x2+2xf（1），则f（0）等于（）A0B4C2D26在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y21的概率是（）A0BCD7函数y=1+3xx3有（）A极小值1，极大值3B极小值2，极大值3C极小值1，极大值1D极小值2，极大值28在如图的程序框图表示的算法中，输入三个实数a，b，c，要求输出的x是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入（）AxcBcxCcbDca9以A=2，4，6，7，8，11，12，13中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）ABCD10对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由
3、此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A92%B24%C56%D5.6%11由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于1，则样本1，x1，x2，x3，x4，x5的中位数为（）ABCD12已知函数y=（x1）f（x）的图象如图所示，其中f（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13在区间1，2上随机取一个数x，则|x|1的概率为14已知f（x）=sinx，则f（1）=15已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是16已知曲线y=x
4、3+3x2+6x10上一点P，则过曲线上P点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是三、解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明）17对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下寿命（h）100200200300300400400500500600个 数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100400h以内的在总体中占的比例18一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？19袋中有五张卡片，其中红
5、色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2（）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率20已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值（3）若曲线y=f（x）（0x2）与y=m有两个不同的交点，求实数m的取值范围21某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070（
6、1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额参考公式：22设a0，f（x）=x1ln2x+2alnx（x0）（）令F（x）=xf（x），讨论F（x）在（0，+）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx+12015-2016学年宁夏银川九中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】本题是一个等可能事件的概率，把18个人平均分成2组，再从每组
7、里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等【解答】解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率是故选：B2函数y=（2x+1）3在x=0处的导数是（）A0B1C3D6【考点】导数的运算【分析】要求函数在x=0时的导数，先求函数的导数用求复合函数导数的方法求导，然后在y中令x=0求出即可【解答】解：设u=2x+1，则函数y=u3；y=3u2u=6（2x+1）2当x=0时，y=6故答案为D3下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线
8、上应填充的语句为（）Ai20Bi20Ci=20Di=20【考点】伪代码【分析】根据程序的功能为一个求20个数的平均数的程序，得到循环次数，从而得到判定的条件【解答】解：根据题意为一个求20个数的平均数的程序，则循环体需执行20次，从而横线上应填充的语句为i=20故选：D4袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A至少有一个白球；都是白球B至少有一个白球；至少有一个红球C恰有一个白球；一个白球一个黑球D至少有一个白球；红、黑球各一个【考点】互斥事件与对立事件【分析】写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案【
9、解答】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；至少有一个白球，没有白球互斥且对立；至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，故选：D5设函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）=x2+2xf（1），则f（0）等于（）A0B4C2D2【考点】函数的值；导数的运算【分析】先求出导函数，令导函数中x=1求出f（1），将f（1）代入导函数，令导函数中的x=0求出f（0）【解答】解：f（x）=x2+2xf（1
10、），f（x）=2x+2f（1）f（1）=2+2f（1）解得f（1）=2f（x）=2x4f（0）=4故选B6在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y21的概率是（）A0BCD【考点】几何概型【分析】首先根据题意，做出图象，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，易得其面积，x2+y21表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部
11、及边界，其面积为1；x2+y21表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y21的概率是=；故选C7函数y=1+3xx3有（）A极小值1，极大值3B极小值2，极大值3C极小值1，极大值1D极小值2，极大值2【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案【解答】解：y=1+3xx3，y=33x2，由y=33x20，得1x1，由y=33x20，得x1，或x1，函数y=1+3xx3的增区间是（1，1），减区间是（，
12、1），（1，+）函数y=1+3xx3在x=1处有极小值f（1）=13（1）3=1，函数y=1+3xx3在x=1处有极大值f（1）=1+313=3故选A8在如图的程序框图表示的算法中，输入三个实数a，b，c，要求输出的x是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入（）AxcBcxCcbDca【考点】选择结构【分析】由于该程序的作用输出a、b、c中的最大数，因此在程序中要比较数与数的大小，第一个判断框是判断最大值x与b的大小，故第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小【解答】解：则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，第一个判断框是判断x与b的大小第二个判断框一定是判断最大值x
13、与c的大小，并将最大数赋给变量x故第二个判断框应填入：cx故选B9以A=2，4，6，7，8，11，12，13中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】分析出共可得到多少个分数，再在其中分析有多少个分子与分母能约分的分数，相比即为所求的概率【解答】解：因为以A=2，4，6，7，8，11，12，13中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，故这种分数是可约分数的共有个，则分数是可约分数的概率为P=，故答案为：D10对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（
14、分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（）A92%B24%C56%D5.6%【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距，求出这次测验的优秀率【解答】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为0.03210+0.02410=0.56故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%故选C11由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于1，则样本1，x1，x2，x3，x4，x5的中位数为（）ABCD【考点】众数、中位数、平均数【分析】将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位
15、数根据这个定义求出【解答】解：因为x1x2x3x4x51，题目中数据共有六个，排序后为x1x3x51x4x2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是（x5+1）故选：C12已知函数y=（x1）f（x）的图象如图所示，其中f（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先结合函数y=（x1）f（x）的图象得到当x1时，f（x）0，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到y=f（x）在（1，+）上单调递增，从而得到正确选项【解答】解：结合图象可知当x1时，（x1）f（x）0即f（x）0
16、y=f（x）在（1，+）上单调递增故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13在区间1，2上随机取一个数x，则|x|1的概率为【考点】几何概型【分析】本题利用几何概型求概率先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间1，2的长度求比值即得【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度|x|1得1x1，|x|1的概率为：P（|x|1）=故答案为：14已知f（x）=sinx，则f（1）=sin1+cos1【考点】导数的运算【分析】利用导数的运算法则即可得出【解答】解：f（x）=sinx+cosx，f（1）=sin1+cos1故答案为： sin1+cos115已知f（x）=x3+3x2+
17、a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是57【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在3，3上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可【解答】解析：f（x）=3x2+6x，令f（x）=0，得3x（x+2）=0x=0，x=2（i）当0x3，或3x2时，f（x）0，f（x）单调递增，（ii）当2x0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（3）或f（0）f（3）=（3）3+3（3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（2）或f（3），f（2）=（2）
18、3+3（2）2+3=7，f（3）=33+332+3=57，则最大值为57故答案为：5716已知曲线y=x3+3x2+6x10上一点P，则过曲线上P点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是3xy+11=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出斜率最小的切线方程【解答】解：函数的导数为y=f（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+33，即切线斜率的最小值为k=3，此时x=1，当x=1时，y=1+3610=14，即切点P（1，14），此时的切线方程为y+14=3（x+1），即3xy+11=0，故答案为：3xy+11=0三、解答题（本题共6题，共70
19、分，解答应写出文字说明）17对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下寿命（h）100200200300300400400500500600个 数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100400h以内的在总体中占的比例【考点】频率分布直方图【分析】（1）列出频率分布表时，频率=；（2）以频率/组距为纵轴，以组距为横轴；（3）频率之和为估计总数【解答】解：（1）列出频率分布表如下表：寿命频数频率100200200.10200300300.15300400800.40400500400.20500600300.15总计2001（2）频率分布直方图如下
20、：（3）元件寿命在100400h以内的在总体中占的比例约为0.1+0.15+0.40=0.6518一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用【解答】解：设船速度为x（x0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx3，由6=k103可得，总费用，令y=0得x=20，当x（0，20
21、）时，y0，此时函数单调递减，当x（20，+）时，y0，此时函数单调递增，当x=20时，y取得最小值，答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小19袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2（）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，
22、计算可得答案；（）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红
23、3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，所以概率为20已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值（3）若曲线y=f（x）（0x2）与y=m有两个不同的交点，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）观察图象满足f（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极
24、大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f（1）=0，f（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可；（3）由（1）知，函数在0，1上单调递增，在1，2上单调递减，求出相应函数值，即可求实数m的取值范围【解答】解：（1）由图象可知，在（，1）上f（x）0，在（1，2）上f（x）0在（2，+）上f（x）0故f（x）在（，1），（2，+）上递增，在（1，2）上递减因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1（2）f（x）=3ax2+2bx+c，由f（1）=0，f（2）=0，f（1）=5，得，解得a=2，b=9，c=12（3）由（1）知，函数在0，1上单调递增，在1，2上单调递减，f（
25、x）=2x39x2+12x，f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，y=f（x）（0x2）与y=m有两个不同的交点，m4，5）21某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额参考公式：【考点】线性回归方程【分析】（1）直接根据表格数据作出散点图即可；（2）可以观察到这些点分布在一条直线附近，这样可以计算出，然后利用最小二乘法得解；（3）要预测当广告费支出为7百万元时的销售额，只需将7代入x即可求出所求【解答】解：（1）（2）=5， =50，=60+160
26、+250+360+560=1390， =4+16+25+36+64=145b=7，a=15，=7x+15（3）当x=7时，=77+15=64即当广告费支出为7百万元时的销售额为64（百万元）22设a0，f（x）=x1ln2x+2alnx（x0）（）令F（x）=xf（x），讨论F（x）在（0，+）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx+1【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值【分析】（1）先根据求导法求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求出单调区间及极值即可（2）欲证xln2x2a ln x+1，即证x1ln2x+2alnx0，也就是要证f（x）f（1），根据第一问的单调性即可证得【解答】解：（）根据求导法则有，故F（x）=xf（x）=x2lnx+2a，x0，于是，知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F（2）=22ln2+2a（）证明：由a0知，F（x）的极小值F（2）=22ln2+2a0于是知，对一切x（0，+），恒有F（x）=xf（x）0从而当x0时，恒有f（x）0，故f（x）在（0，+）内单调增加所以当x1时，f（x）f（1）=0，即x1ln2x+2alnx0故当x1时，恒有xln2x2alnx+12016年7月23日
