1、第 3 节机械能守恒定律及其应用(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。()(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。()(3)被举到高处的物体重力势能一定不为零。()(4)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。()(5)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。()(6)弹力做正功弹性势能一定增加。()(7)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。()(8)物体的速度增大时，其机械能可能减小。()(9)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。()突破点(一)机械能守恒的理解与判断1对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。(2
2、)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。2机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。(2)利用守恒条件判断。(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。多角练通1(2017兰州模拟)以下情形中，物体的机械能一定守恒的是()A下落的物体受到空气阻力的作用B物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑
3、动C一物体匀速上升D物体沿光滑斜面自由下滑解析：物体下落的过程中受到空气阻力的作用，且阻力做负功，故物体的机械能不守恒，A 错误；物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动时势能不变，动能减小，机械能不守恒，B 错误；物体匀速上升过程动能不变，势能增大，机械能不守恒，C 错误；物体沿光滑斜面自由下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，故 D 正确。答案：D 2(2017保定模拟)如图所示，倾角为 的光滑斜面体 C 固定于水平地面上，小物块 B 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体 A 相连接，释放后，A 将向下运动，则在 A 碰地前的运动过程中()AA 的加速度大小为 gB物体 A 机械能守恒C由
4、于斜面光滑，所以物块 B 机械能守恒DA、B 组成的系统机械能守恒解析：物体 A 向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，故物体 A 下落的加速度一定小于 g，A 项错误；物体 A 下落过程中，细绳的拉力做负功，A 的机械能不守恒，故 B 项错误；由于斜面光滑，A、B 组成的系统在整个运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力对 B 做正功，B 的机械能增加，故 C 项错误，D 项正确。答案：D3把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至 A 位置，如图甲所示。迅速松手后，球升高至最高位置 C(图丙)，途中经过位置 B 时弹簧正处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力。则
5、小球从 A 位置运动到C 位置的过程中，下列说法正确的是()A经过位置 B 时小球的加速度为 0B经过位置 B 时小球的速度最大C小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小解析：分析小球从 A 位置到 B 位置的过程中受力情况，开始时弹力大于重力，中间某一位置弹力和重力相等，接着弹力小于重力，在 B 点时，弹力为零，小球从 B 到 C 的过程中，只受重力。根据牛顿第二定律可以知道小球从 A 位置到 B 位置过程中，小球先向上做加速运动再向上做减速运动，所以速度最大位置应该是加速度为零的位置，在 AB 之间某一位置，选项 A、B 错误；从 A 位置到
6、C 位置过程中小球、地球、弹簧组成的系统只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒，选项 C 正确，D 错误。答案：C 突破点(二)单个物体的机械能守恒1机械能守恒的三种表达式对比守恒角度转化角度转移角度表达式E1E2EkEpEA增EB减物理意义系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等守恒角度转化角度转移角度注意事项应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减
7、少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题2求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象物体。(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1Ep1Ek2Ep2、EkEp)进行求解。典例(2017贵州七校高三联考)如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。传送带的运行速度为 v06 m/s，将质量 m1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在
8、传送带 A 端，传送带长度 L12.0 m，“9”形轨道高H0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为 R0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为 0.3，重力加速度 g10 m/s2，试求：(1)滑块从传送带 A 端运动到 B 端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点 C 时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道 D 点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角 45的斜面上 P 点，求 P、D 两点间的竖直高度 h(保留两位有效数字)。审题指导第一步：抓关键点关键点获取信息内壁光滑的“9”形固定轨道滑块在“9”形轨道内运动时机械能守恒滑块无初速地放在传送带 A 端滑块从 A 点开始做初速度为
9、0的匀加速运动滑块从“9”形轨道 D 点水平抛出滑块由 D 到 P 做平抛运动，机械能守恒恰好垂直撞在倾角 45的斜面上的 P 点滑块在 P 点的速度 vP 垂直于斜面，其水平分速度为 vD 第二步：找突破口(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达 B 点，则剩余部分将做匀速直线运动。(2)在轨道的 C 点，根据 FNmgmvC2R 求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到 C 点的速度 vC。(3)滑块由 D 点到 P 点做平抛运动，故滑块在 P 点速度vP 在水平方向的分速度与在 D 点速度相等，即 vDvPsin。解析(1)滑块在传送带运动时，由牛顿第二定律得：mgm
10、a得：ag3 m/s2加速到与传送带达到共速所需要的时间：t1v0a 2 s前 2 s 内的位移：x112at126 m之后滑块做匀速运动的位移：x2Lx16 m时间：t2x2v01 s故滑块从传送带 A 端运动到 B 端所需时间为：tt1t23 s。(2)滑块由 B 运动到 C，由机械能守恒定律得：mgH12mvC212mv02在 C 点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力提供做圆周运动的向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得：FNmgmvC2R解得：FN90 N。(3)滑块由 B 到 D 运动的过程中，由机械能守恒定律得：12mv0212mvD2mg(H2R)设 P、D 两点
11、间的竖直高度为 h，滑块由 D 到 P 运动的过程中，由机械能守恒定律得：12mvP212mvD2mgh又 vDvPsin 45由以上三式可解得 h1.4 m。答案(1)3 s(2)90 N(3)1.4 m方法规律(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。集训冲关1(2016全国甲卷)小球 P 和 Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于 Q 球的质量，悬挂 P 球的绳比悬挂 Q 球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自
12、轨迹的最低点，()AP 球的速度一定大于 Q 球的速度BP 球的动能一定小于 Q 球的动能CP 球所受绳的拉力一定大于 Q 球所受绳的拉力DP 球的向心加速度一定小于 Q 球的向心加速度解析：两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得 mgL12mv2，v 2gL，因 LPLQ，则 vPvQ，又 mPmQ，则两球的动能无法比较，选项 A、B 错误；在最低点绳的拉力为 F，则 Fmgmv2L，解得 F3mg，因 mPmQ，则 FPFQ，选项 C 正确；向心加速度 aFmgm2g，选项 D 错误。答案：C2(2016海南高考)如
13、图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为 m 的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为 N1，在高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为 g，则 N1N2 的值为()A3mg B4mgC5mgD6mg解析：设小球在最低点时速度为 v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N1mgmv12R，在最高点：N2mgmv22R；从最高点到最低点，根据动能定理有 mg2R12mv1212mv22，联立可得：N1N26 mg，故选项 D 正确。答案：D 3.如图所示，ABDO 是处于竖直平面内的光滑固定轨道，AB 是半径为 R15 m 的14圆周轨道，半径 O
14、A 处于水平位置，BDO是直径为 15 m 的半圆轨道，D 为 BDO 轨道的中央。一个小球 P 从 A 点的正上方高 H 处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过 D 点时对轨道的压力等于其重力的143 倍。取 g10 m/s2。(1)求 H 的大小。(2)试讨论小球能否到达 O 点，并说明理由。(3)求小球再次落到轨道上的速度大小。解析：(1)设小球通过 D 点的速度为 v，则有：mv2R2F143 mg小球从 P 点落下直到沿光滑轨道运动到 D 点的过程中，机械能守恒，有 mgHR2 12mv2，可得高度 H23R10 m。(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到 O 点的最小速度为vm，有 mv
15、m2R2mg小球至少应从 Hm 高处落下，mgHm12mvm2解得 HmR4，由 HHm，小球可以通过 BDO 轨道的 O 点。(3)小球由 H 落下通过 O 点的速度为v0 2gH14.1 m/s小球通过 O 点后做平抛运动，设小球经时间 t 落到 AB 圆弧轨道上，有 xv0ty12gt2且 x2y2R2可解得时间 t1 s(另解舍弃)落到轨道上的速度大小 v v02g2t217.3 m/s。答案：(1)10 m(2)能。理由见解析(3)17.3 m/s突破点(三)多个物体的机械能守恒典例 物体 A 的质量为 mA，圆环 B 的质量为 mB，通过绳子跨过定滑轮连结在一起，圆环套在光滑的竖直
16、杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，如图所示，长度 l4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，取 g10 m/s2。求：(1)若 mAmB52，则圆环能下降的最大距离 hm。(2)若圆环下降 h23 m 时的速度大小为 4 m/s，则两个物体的质量应满足怎样的关系？(3)若 mAmB，请定性说明圆环下降过程中速度大小变化的情况及其理由。解析(1)设圆环所能下降的最大距离为 hm，由机械能守恒定律得 mBghmmAghAhm2l2(lhA)2代入数据得2125hm2165 hm0解得 hm8021 m3.8 m。(2)由机械能守恒mBgh2mAghA12mBvB212mAvA2vAvB
17、cos vBh2h22l2433242 m/s2.4 m/sh22l2(lhA)2，解得 hA1 m解得两个物体的质量关系：mAmB2751611.71。(3)当 mAmB，且 l 确定时，根据几何关系可知圆环下降的高度大于 A 上升的高度，则在圆环下降过程中，系统的重力势能一直在减少，根据系统的机械能守恒可知系统的动能一直在增加，所以圆环在下降过程中速度一直增大。答案(1)3.8 m(2)mAmB1.71(3)速度一直增大，当 mAmB，且 l 确定时，根据几何关系可知圆环下降的高度大于 A 上升的高度，则在圆环下降过程中，系统的重力势能一直在减少，根据系统的机械能守恒可知系统的动能一直在增
18、加，所以圆环在下降过程中速度一直增大。易错提醒(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用 EkEp 或EAEB 的形式。集训冲关1(2017淄博、莱芜二模如图所示，不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球 a 和 b。a 球质量为 m，静置于水平地面上；b 球质量为 3m，用手托住，高度为 h，此时轻绳刚好拉紧。现将 b 球释放，则 b 球着地瞬间 a 球的速度大小为()A gh B 2gh Cgh2 D2 gh解析：在 b 球落地前，a、b 两球组成的系统机械
19、能守恒，且 a、b 两球速度大小相等，设为 v，根据机械能守恒定律有：3mghmgh12(3mm)v2，解得：v gh，故 A正确。答案：A 2(多选)(2016全国甲卷)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于 O 点，另一端与小球相连。现将小球从 M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了 N 点。已知在 M、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN2。在小球从 M 点运动到 N点的过程中，()A弹力对小球先做正功后做负功B有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D小球到达 N 点时的动能等于其在 M、N 两点的重力势能差解析：在 M、
20、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN2，则小球在 M 点时弹簧处于压缩状态，在 N 点时弹簧处于拉伸状态，小球从 M 点运动到 N 点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项 A 错误；在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项 B 正确；弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项 C 正确；由机械能
21、守恒定律知，在 M、N 两点弹簧弹性势能相等，在 N 点动能等于从 M 点到 N 点重力势能的减小值，选项 D 正确。答案：BCD 3.(2017邯郸一中调研)如图，在半径为 r的轴上通过细绳悬挂着一个质量为 M的水桶 P，轴上均匀分布着 6 根手柄，每个手柄端固定有质量均为 m 的金属球，球离轴心的距离为 l，轮轴、细绳和手柄的质量及摩擦均不计。现由静止释放水桶，整个装置开始转动。(1)当水桶下降的高度为 h 时，水桶的速度为多少？(2)已知水桶匀加速下降，下降过程中细绳的拉力为多少？解析：(1)设水桶下降的高度为 h 时，水桶的速度为 v1，金属球的速度为 v2，系统机械能守恒，有：Mgh
22、12Mv12126mv22，又：v1v2rlrl，解得：v12Mghr2Mr26ml2。(2)设水桶匀加速下降的加速度为 a，则：v122ah，av122hMgr2Mr26ml2，对水桶：MgTMa，解得：TM(ga)6Mmgl2Mr26ml2。答案：(1)2Mghr2Mr26ml2(2)6Mmgl2Mr26ml2像“液柱”、“链条”、“过山车”类物体，在其运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。非质点类机械能守恒问题(一)“液柱”类问题1.如图所示，粗细均匀，两端开口的 U 形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为 h，管中液柱总长度为 4h
23、，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为()A.18gh B.16ghC.14gh D.12gh解析：当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有18mg12h12mv2，解得：v18gh，故 A 正确。答案：A(二)“链条”类问题2如图所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为 的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为 L 的均匀柔软链条开始时静止的放在 ABC 面上，其一端 D 至 B 的距离为 La。现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；(2)链条的 D 端滑到
24、 B 点时，链条的速率为多大？解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面 BC 和水平面 AB 均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。(2)设链条质量为 m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由 La 段下降引起的，高度减少量 haLa2sin La2sin 该部分的质量为 mmL(La)由机械能守恒定律可得：mL(La)gh12mv2，可解得：vgLL2a2sin。答案：(1)守恒 理由见解析(2)gLL2a2sin(三)“过山车”类问题3.如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道
25、，若列车全长为 L(L2R)，R 远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为 M，轨道上那部分列车的质量 MML2R由机械能守恒定律可得：12Mv0212Mv2MgR又因圆形轨道顶部车厢应满足：mgmv2R，可求得：v0gR14RL。答案：gR14RL反思领悟(1)物体虽然不能看作质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。(3)非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为12mv2。
