1、第五节抛物线考情解读命题规律考点抛物线的定义抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线考查频次卷,5年2考 卷,5年1考卷,5年2考 卷,5年2考 卷,2年1考卷,5年1考 卷,5年1考考查难度中等较难较难常考题型及分值选择题,5分选择题,5分解答题,12分命题趋势 高考考查仍以抛物线的定义、标准方程、几何性质为主,与平面向量、直线、圆、函数等知识综合考查的可能性较大,应予以足够重视基础导学知识梳理1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内.（2）与一个定点 和一条定直线 距离1 .（3）不经过点 .相等标准方程 2=2(0)2=2(0)2=2(0)2=2(0)的几何意义
2、:焦点 到准线 的距离图形顶点(0,0)对称轴2 3 焦点 4 5 6 7 离心率 =1 准线方程8 9 10 11 范围12 13 14 15 焦半径（其中(0,0)|=16|=17|=18|=19 2.抛物线的标准方程与几何性质=0（轴）=0（轴）(2,0)(2,0)(0,2)(0,2)=2 =2 =2 =2 0,0,0,0,0+2 0+2 0+2 0+2 焦点弦性质 设 是过抛物线 2=2(0)焦点 的弦,若(1,1),(2,2),则（1）12=24,12=2.（2）弦长|=1+2+=2sin2（为弦 的倾斜角）.（3）1|+1|=2.（4）以弦 为直径的圆与准线相切.（5）以 或 为直
3、径的圆与 轴相切.（6）通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于 2.知识拓展重难突破考点一 抛物线的定义,标准方程及简单几何性质解析（1）由题意,知抛物线的焦点坐标为(2,0),椭圆的焦点坐标为(2,0),所以 2=2,解得 =8,故选 .典例研析【例1】D（1）2019全国卷若抛物线 2=2(0)的焦点是椭圆 23+2=1 的一个焦点,则 =()A.2 B.3 C.4 D.8 （2）如图,已知抛物线 2=2 的焦点是 ,点 是抛物线上的动点,又有点(3,2),求|+|的最小值,并求此时 点坐标.答案解：如图,作 于点 .将 =3 代入抛物线方程 2=2,得 =6.6 2,在抛物线内部.设抛物线
4、上点 到准线:=12 的距离为 ,由定义知|+|=|+.由图可知,当 即,三点共线时,|+最小,最小值为 72.|+|的最小值为 72,此时 点纵坐标为2,代入 2=2,得 =2.点 坐标为(2,2).方法技巧：利用抛物线的定义可解决的常见问题（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,可以利用定义进行相互转化.对点训练C1.抛物线 =22 的焦点坐标是()A.(18,0)B.(12,0)C.(0,18)D.(0,12)解析抛物线的标准方程为 2=12 ,所以焦点坐标是(0,18).2.若
5、点 到直线 =1 的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点 的轨迹为()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析依题意,点 到直线 =2 的距离等于它到点(2,0)的距离,故点 的轨迹是抛物线.D3.设 是抛物线 2=4 上的一个动点,则点 到点(1,1)的距离与点 到直线 =1 的距离之和的最小值为 .5 解析如图,易知抛物线的焦点为(1,0),准线是 =1,由抛物线的定义知：点 到直线 =1 的距离等于点 到 的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点 ,使点 到点(1,1)的距离与点 到(1,0)的距离之和最小,显然,连接 与抛物线相交所得的点即为满足题意的点,此时最小值为|=1 (
6、1)2+(0 1)2=5.重难突破考点二 抛物线的综合应用典例研析【例2】（1）如图是抛物线形拱桥,当水面在 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 米.2 6 解析 建立坐标系如图所示.则可设抛物线方程为 2=2(0).因为点(2,2)在抛物线上,所以 =1,即抛物线方程为 2=2.当 =3 时,=6.所以水位下降1米后,水面宽为 2 6 米.（2）如图所示,点 是抛物线 2=8 的焦点,点 ,分别在抛物线 2=8 及圆(2)2+2=16 的实线部分上运动,且 总是平行于 轴,则 周长的取值范围是()A.(4,8)B.(4,12)C.(8,12)D.(6,8)C解析易知圆(2
7、)2+2=16 的圆心坐标为(2,0),则圆心为抛物线 2=8 的焦点,圆(2)2+2=16 与抛物线 2=8 在第一象限交于点(2,4),作抛物线 2=8 的准线 =2,过点 作 垂直于直线 =2,垂足为 ,由抛物线的定义可知,|=|,|+|=|+|=|,当点 位于圆(2)2+2=16 与 轴的交点(6,0)时,|取得最大值8,此时,在同一直线上.由于点 在实线上运动,因此当点 与点 重合时,|取最小值4,此时点 与点 重合.由于 ,构成三角形,因此 4|8,所以 8|+|0,解得 =2 或 =8.所以抛物线 的方程为 2=4 或 2=16,故选 .5.设抛物线:2=2(0)的焦点为 ,点
8、在 上,|=5.若以 为直径的圆过点(0,2),则 的方程为()A.2=4 或 2=8 B.2=2 或 2=8 C.2=4 或 2=16 D.2=2 或 2=16 C重难突破考点三 直线与抛物线的位置关系【例3】2019全国卷已知抛物线:2=3 的焦点为 ,斜率为 32 的直线 与 的交点为 ,与 轴的交点为 .（1）若|+|=4,求 的方程;答案由题设得(34,0),故|+|=1+2+32,由题设可得 1+2=52.由 =32 +,2=3,可得 92+12(1)+42=0,则 1+2=12(1)9.从而 12(1)9=52,得 =78.所以 的方程为 =32 78.典例研析答案由 =3 可得
9、 1=32.由 =32 +,2=3.可得 2 2+2=0.所以 1+2=2.从而 32+2=2,故 2=1,1=3.代入 的方程得 1=3,2=13.故|=4 133.（2）若 =3 ,求|.（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.（2）有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|=1+2+,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.（3）在解析几何中,要注意利用设而不求的方法,要充分利用题设条件,避免繁琐运算,以提高运算速度及结果的准确性.方法技巧：6.2019北京卷已知抛物线 ：2=2 经过点(2,1
10、).（1）求抛物线 的方程及其准线方程;答案解：由抛物线 ：2=2 经过点(2,1),得 =2.所以抛物线 的方程为 2=4,其准线方程为 =1.对点训练（2）设 为原点,过抛物线 的焦点作斜率不为0的直线 交抛物线 于两点,直线 =1 分别交直线,于点 和点 .求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点.答案证明：抛物线 的焦点为(0,1).设直线 的方程为 =1(0).由 =1,2=4 得 2+4 4=0.设(1,1),(2,2),则 12=4.直线 的方程为 =11 .令 =1,得点 的横坐标 =11.同理得点 的横坐标 =22.设点(0,),则 =(11,1 ),=(22,1 ),=12
11、12+(+1)2=12(124)(224)+(+1)2 =1612+(+1)2 =4+(+1)2.令 =0,即 4+(+1)2=0,得 =1 或 =3.综上,以 为直径的圆经过 轴上的定点(0,1)和(0,3).课时作业一、单项选择题C1.已知抛物线 2=18 ,则它的准线方程为()A.=2 B.=2 C.=132 D.=132 解析因为抛物线 2=18 ,所以 =116,2=132,它的准线方程为 =132.2.已知点 是抛物线 ：2=2(0)上一点,为 的焦点,的中点坐标是(2,2),则 的值 为()A.1 B.2 C.3 D.4 解析(2,0),那么(4 2,4)在抛物线上,即 16=2
12、(4 2),即 2 8+16=0,解得 =4.DD3.若抛物线 2=2(0)上的点(0,2)到其焦点 的距离是 到 轴距离的3倍,则 等于()A.12 B.1 C.32 D.2 解析根据焦半径公式|=0+2,所以 0+2=30 ，解得 0=4，代入抛物线方程(2)2=2 4，解得 =2.4.抛物线 ：2=2(0)的焦点为,是 上一点,若 到 的距离是 到 轴距离的两倍,且 的面积为1(为坐标原点),则 的值为()A.1 B.2 C.3 D.4 解析设点(,),根据已知可得 +2=2,解得：=2,|=,所以 =12 2 =1,解得 =2.B5.若抛物线 2=2(0)上一点(2,0)到其准线的距离
13、为4,则抛物线的标准方程为()A.2=4 B.2=6 C.2=8 D.2=10 解析因为抛物线 2=2,所以准线为 =2,因为点(2,0)到其准线的距离为4,所以 2+2=4,所以 =4,所以抛物线的标准方程为 2=8.CC6.设抛物线 ：2=4 的焦点为 ,直线 过 且与 交于 ,两点.若|=3|,则 的方程为()A.=1 或 =+1 B.=33(1)或 =33(1)C.=3(1)或 =3(1)D.=22(1)或 =22(1)解析如图所示,作出抛物线的准线 1 及点 ,到准线的垂线段 1,1 ，并设直线 交准线于点 .设|=,由抛物线的定义可知|1|=,|1|=|=3.由 1/1 可知|1|
14、1|=|,即 3=|+4,所以|=2,则|=6.故 1=30,得 =1=60,故选 .7.以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ,两点,交 的准线于,两点.已知|=4 2,|=2 5,则 的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8 解析由题意,不妨设抛物线方程为 2=2(0),由|=4 2,|=2 5,可取(4,2 2),(2,5),设 为坐标原点,由|=|,得 162+8=24+5,得 =4,故选 .BA8.焦点为 的抛物线 ：2=8 的准线与 轴交于点 ,点 在抛物线 上,则当|取得最大值时,直线 的方程为()A.=+2 或 =2 B.=+2 C.=2+2 或 =2+2 D.=2+
15、2 解析如图,过 作 与准线垂直,垂足为 ,则|=|=1cos=1cos,则当|取得最大值时,必须取得最大值,此时直线 与抛物线相切,可设切线方程为 =(+2),与 2=8 联立,消去 得 2 8+16=0,所以 =64 642=0,得 =1.则直线方程为 =+2 或 =2.二、多项选择题9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 轴上,抛物线上的点(,2)到焦点的距离为4,则实数 的值为()A.4 B.2 C.4 D.2 解析由题可设抛物线的标准方程为 2=2(0),点 到焦点的距离为 4,2+2=4,=4,2=8.将点(,2)代入 2=8,得 =4.AC解析对于 ,因为 =2,所以 1+2+2=|
16、,则|=8,正确.对于 ,设 为 的中点,点 在 上的射影为 1 ,点 在 上的射影为 1 ,则由梯形性质可得|1|=|1|+|1|2=|+|2=|2,正确.对于 ,因为(1,0),所以|+|1|=|+|=2,正确.对于 ,显然直线 =0,=1 与抛物线只有一个公共点.设过 的直线为 =+1,由 =+12=4,可得 22+(2 4)+1=0.令 =(2 4)2 42=0,解得 =1,所以直线 =+1 与抛物线也只有一个公共点,所以有三条直线符合题意,错误.故选 .10.已知抛物线:2=4 的焦点为 ,准线为 ,过点 的直线与抛物线交于点(1,1),(2,2),点 在 上的射影为 1 ,则()A
17、.若 1+2=6,则|=8 B.以 为直径的圆与准线 相切 C.设(0,1),则|+|1|2 D.过点(0,1)与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 ABC11.已知抛物线 2=4 的焦点为 ,准线为,为抛物线上一点,过 作 于点 ,当 =30（为坐标原点）时,|=.43 解析设 与 轴的交点为 ,在 中,=30,|=2,所以|=2 33,设(0,0),则 0=2 33,代入 2=4 中,得 0=13,从而|=|=0+1=43.三、填空题12.如图所示,过抛物线 2=2(0)的焦点 的直线 依次交抛物线及其准线于点 ,若|=2|,且|=3,则抛物线的方程是 .2=3 解析分别过点、作准
18、线的垂线、,分别交准线于点、（图略）,则 =,=2 ,|=2|,=30,又|=|=3,|=6,即点 是 的中点,根据题意得 =32,抛物线的方程是 2=3.13.2018全国卷设抛物线：2=4 的焦点为 ,过 且斜率为(0)的直线 与 交于 ,两点,|=8.（1）求 的方程;答案由题意得(1,0),的方程为 =(1)(0).设(1,1),(2,2).由 =（1），2=4 得 22 (22+4)+2=0.=162+16 0,故 1+2=22+42.所以|=|+|=(1+1)+(2+1)=42+42.由题设知 42+42=8,解得 =1（舍去）,=1.因此 的方程为 =1.四、解答题答案由（1）得
19、 的中点坐标为(3,2),所以 的垂直平分线方程为 2=(3),即 =+5.设所求圆的圆心坐标为(0,0),则 0=0+5 （0+1）2=（00+1）22+16，解得 0=3，0=2或 0=11，0=6 因此所求圆的方程为(3)2+(2)2=16 或(11)2+(+6)2=144.（2）求过点 ,且与 的准线相切的圆的方程.（1）当 =0 时,分别求 在点 和 处的切线方程;答案由题设可得(2,),(2,),或(2,),(2,).又 =2,故 =24 在 =2 处的导数值为 ,在点(2,)处的切线方程为 =(2),即 =0.=24 在 =2 处的导数值为 ,在点(2,)处的切线方程为 =(+2),即 +=0.故所求切线方程为 =0 和 +=0.14.在直线坐标系 中,曲线 ：=24 与直线:=+(0)交于,两点.（2）轴上是否存在点 ,使得当 变动时,总有 =？说明理由.答案存在符合题意的点,证明如下：设(0,)为符合题意的点,(1,1),(2,2),直线,的斜率分别为 1,2 .将 =+代入 的方程得 2 4 4=0.故 1+2=4,12=4.从而 1+2=11+22 =212+()(1+2)12 =(+).当 =时,有 1+2=0,则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补,故 =,所以点(0,)符合题意.
