1、广东省阳东广雅中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，的实部与虚部相等，则（）A. -2B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【详解】设 （），则 即 .故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.2. 下列求导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故
2、选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图像和导数的几何意义即可判断得解.【详解】从函数的图像可知，函数值的增长越来越快，故函数在该点的斜率也越来越大.因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的变化率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.4. 把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（ ）A. B.
3、C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案.【详解】选择两个球看成整体，共有种取法，再把三个球放入三个盒子中，有种放法，故共有种放法.故选：D.【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关键.5. 的展开式中，所有的二项式系数之和等于，则第项是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由所有的二项式系数之和等于，可得可得n值，然后利用二项式定理展开式求解即可.详解：由题可得故n=9，故，选B.点睛：考查二项式系数和，二项式定理展开式，属于基础题.6. 从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人
4、中既有男生又有女生，则不同的选法有()种A. 1190B. 420C. 560D. 3360【答案】B【解析】分析】根据分类计数原理和组合的应用即可得解.【详解】要求参赛的3人中既有男生又有女生,分为两种情况：第一种情况：1名男生2名女生，有 种选法；第二种情况：2名男生1名女生，有种选法，由分类计算原理可得.故选B.【点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题.7. 某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】试题分析：从五个科技馆的中选两个的可
5、能有种选法,剩下的三年级任意选择四个科技馆,每个科技馆的都是等可能的,故有,由分步计数原理可得所有可能有种选法，所以应选D考点：排列数组合数公式及计数原理的运用8. 在处有极小值，则常数c的值为（ ）A. 2B. 6C. 2或6D. 1【答案】A【解析】函数，又在x=2处有极值，f(2)=128c+=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时,函数在x=2处有极大值，故选A.点睛：已知函数的极值点求参数的值时，可根据建立关于参数的方程（组），通过解方程（组）得到参数的值后还需要进行验证，因为“”是“为极值点”的必要不充分条件，而不是等价条件，因此在解答此类问题时不要忘了
6、验证，以免产生增根而造成解答的错误二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A. B. C. z的共轭复数为D. z的虚部为【答案】BD【解析】【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，A错误；，B正确；z共轭复数为，C错误；z的虚部为，D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.10. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结
7、论正确的是（ ）A. -3是的一个极小值点；B. -2和-1都是的极大值点；C. 的单调递增区间是；D. 的单调递减区间是【答案】ACD【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断【详解】当时，时，是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反11. 若且，则实数值可以为（ ）A. 3B. 1C. 0D. 1【答案】AD【解析】【分析】根据，令得到，令得到，然后根据求解.【详解】因为，令得：，令得：，因为，所以，所以，所以或，解得：或.故选：AD【点睛】本题主要考查二项展开式的项的系数及系数的和，还考
8、查了运算求解的能力，属于中档题.12. 已知函数，给出下面四个命题：函数的最小值为；函数有两个零点；若方程有一解，则；函数的单调减区间为.则其中错误命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由函数，求导，当时，当时，作出函数图象逐项判断.【详解】因为函数，所以当时，当时，所以当时， 的最小值为；如图所示：当时，当时，所以函数有一个零点；若方程有一解，则或，函数的单调减区间为.故错误命题的序号是 故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的图象和性质中的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中，
9、x3的系数是_.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.14. 函数的最大值为_【答案】【解析】试题分析：易知函数的定义域为由题，得，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即考点：1、导数的运算；2、导数与函数最值的关系15. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.【答案】36【解析】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A
10、、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.考点：排列组合，容易题.16. 函数图像上的点到直线的最小距离为_【答案】【解析】【分析】根据函数图象，结合几何关系，寻找与直线平行的直线与相切，切点到直线的距离即为所求.【详解】根据函数图象，只需寻找与直线平行的直线与相切，切点到直线的距离就是函数图像上的点到直线的最小距离，由题，令，则到直线的距离最小，最小距离为.故答案为：【点睛】此题考查求曲线上的点到直线距离的最小值，通过等价转化，只需寻找与直线平行的直线与相切，且点即为所求点，数形结合求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字
11、说明、证明过程或演算步骤.17. ，为虚数单位，为实数（1）当为纯虚数时，求的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）由为纯虚数得，解得；（2）复数，因为复数位于第四象限，所以，解得或故的取值范围为.【点睛】本题考查根据复数的概念与几何意义求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18. 在数列 中， (1)证明：数列 是等比数列，并求
12、的通项公式；(2)求数列前n项【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】试题分析：由,知数列是首项公比为的等比数列，由此能求出的通项公式由的通项公式为，知,从而得到数列的前项证明：（1） 是以4为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）得 19. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值点.【答案】（1）；（2）的减区间是，增区间是；为的极小值点，为的极大值点【解析】【分析】（1）求导计算，得到切线方程（2）求导，根据导数的正负得到单调区间，进而得到极值点.【详解】（1）时，在点处的切线方程为，即.（2）时，由解得，当或时，当时，在，上单减，在上单增，故
13、为的极小值点，为的极大值点.综上，的减区间是，增区间是；为的极小值点，为的极大值点.【点睛】本题考查导函数的几何意义求切线方程，求导得单调性及极值，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档题.20. 设的内角所对的边长分别为，且（）求的值； （）求的最大值【答案】（）4 （）【解析】【详解】（）在中，由正弦定理及可得即，则；（）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.21. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，是上异于 ，的点 （1）证明：平面平面 ； （2）当三棱锥体积最大时，求面 与面所成二面角的正弦值 【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】（1）先证平面
14、CMD, 得,再证 ，进而完成证明 （2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面 和平面的法向量，进而求得平面与平面 所成二面角的正弦值 【详解】解：（1）由题设知,平面CMD平面 ABCD,交线为CD.因为BC CD,BC平面ABCD ,所以BC平面CMD,故 BCDM. 因为M为 上异于C，D的点, 且DC为直径，所以 DMCM. 又 BCCM= C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD, 故平面AMD平面BMC. （2）以D为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz . 当三棱锥MABC体积最大时，M 为的中点. 由题设得 ， 设 是平面MAB的法
15、向量,则 即 可取 . 是平面 MCD的法向量,因此 ， ， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 . 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题22. 函数.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：，时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；(2)由第（1）问的结论，取 时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.【详解】（1）解：，在上为增函数，在上恒成立，即在上恒成立，的取值范围是.（2）证明：由（1）知时，在上为增函数，令，其中，则，则，即，即，累加得，.【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题
