1、仁寿一中南校区高2021级高二（上）期末考试 理科数学试题本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4考试结束后，将答题卡交回.第卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、命题“”的否定是（）A B C D，【答案】B2、在空间直角
2、坐标系中，点在平面上的射影到坐标原点的距离为（）ABCD【答案】C3、已知圆与抛物线的准线相切，则（）ABC8D2【答案】D4、设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若，则. B若，则.C若，则. D若，则.【答案】B5、已知，则是的A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C6、已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（）A B CD【答案】B7、某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）ABCD【答案】A8、执行如图所示的程序框图，输出的值为（）ABCD【答案】B9、如图，在三棱锥中，二面角的正切值是，则三
3、棱锥外接球的表面积是（）ABCD【答案】A10、已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B11、已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A B C D【答案】A12、如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：当时，异面直线与所成角的正切值为2；当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；存在点P满足；满足的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（）A1B2 C3 D4【答案】D对于，
4、如图，CP与AD所成的角即CP与BC所成的角，因为，所以，由余弦定理，由正弦定理，所以，即CP与AD所成的角的正切值为2，正确；对于，点P到平面的距离即点P到直线的距离，点P到直线的距离即点P到的距离，依据抛物线的定义当两距离相等时点P的轨迹为抛物线一部分，正确；对于选项，假设，点到距离可以转化成，正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可，点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，同理，只需要让即可，点P轨迹是以C1为圆心，长度为的圆上，如图1.又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足，选项正确；对于选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则，因为，所以，同理，平面，平面平面，所以点的轨迹为
5、，所以选项正确.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为 【答案】214、设分别为直线和圆上的动点，则的最小值为 【答案】15、在菱形ABCD中，将沿BD折叠，使平面ABD平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为_【答案】16、过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则_【答案】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，点在线段上且.(1)证明：平面;(2)证明：平面.【详解】（1）证明：连接交于点，连接,，, ,即， 又， 又、（2）平面
6、，平面，又，且是直角梯形，即，又，且平面，平面.18、圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点.(1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程；(2)若圆与圆相交于E，F两点，求【答案】（1）即 （2）19、已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程【答案】（1）根据题意可得，又，解得，故所求抛物线C方程，（2）设点，抛物线的焦点坐标为当直线l的斜率等于0时，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，设过抛物线焦点的直线l的方程为：；由，消去x得：，得，由韦达定理得，因为所以当时，取
7、得最小值为13此时直线l的方程为20、如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）面，且，.是中点,所以.同理可证：.又面，面，, 平面.面，平面平面.（2），.以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，如图：则.设平面的法向量则，得，不妨取，则.由（1）得是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21、已知椭圆，长轴是短轴的倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点(1)求椭圆的方程；(2)设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请
8、求出常数的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：依题意，即，所以椭圆即，又椭圆过点，所以，解得，所以，所以椭圆方程为；（2）解：因为直线不与轴垂直，所以设直线为，由，消去整理得，所以，因为，所以，所以，即，即，即，解得.22、椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值；(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为.（2） 依题意，设，设直线为，联立，消去，得，恒成立，故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知：面积的最大值为.（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为，联立，消去，得，易得,，又因为点关于轴的对称点的坐标为，又，则，所以，则三点共线，所以；综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且.
