1、第四节指数与指数函数考情解读命题规律考点指数与指数运算指数函数的图象与性质考查频次此考点近5年新课标全国卷未涉及卷,5年3考 卷,5年2考考查难度/中等常考题型及分值/选择题,5分;填空题,5分命题趋势 高考主要考查简单的指数式的运算以及比较大小问题,指数型函数图象的识别与应用、指数型函数的单调性等.复习时,应着重注意底数的不同取值对指数函数图象及其性质的影响基础导学知识梳理1.根式（1）根式的概念 若 1 ，则 叫做 的 次方根,其中 1 且 .式子 叫做根式,这里 叫做根指数,叫做被开方数.a 的 次方根的表示：=2 _ (当为奇数且 时），(当为偶数且 时）.（2）根式的性质()=().
2、=,为奇数 =,0,0,且 1);负分数指数幂：=4 =1(0,且 1);0 的正分数指数幂等于 5 ,0 的负分数指数幂 6 .（2）有理数指数幂的运算性质：=7 (0,);()=8 (0,);()=9 (0,0,).0无意义 1 +函数=(0,且 1)图象0 1图象特征在 轴 10 ,过定点 11 当 逐渐增大时,图象逐渐下降当 逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域12 值域13 单调性14 15 函数值变化规律当=0 时,16 当 0 时,18 当 0 时,20 3.指数函数的图象及性质上方减增(0,1)(0,+)=1 1 0 1 0 1 1.一个关注点 开方化简,要看 的奇偶性.2.指数
3、函数图象和性质的注意点（1）指数函数=(0,1)的图象和性质与 的取值有关,应分 1 与0 0,且 1)的图象,应抓住三个关键点：(1,),(0,1),(1,1).3.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）=,（2）=,知识拓展（3）=,（4）=的图象,底数,与 1 之间的大小关系为 1 .规律：在 轴右（左）侧图象越高（低）,其底数越大.4.指数函数图象的对称规律 函数=的图象与=的图象关于 轴对称,=的图象与=的图象关于 轴对称,=的图象与=的图象关于坐标原点对称.重难突破考点一 实数指数幂的运算典例研析【例1】D（1）化简 16844(0,0,将2 23 表示成分数指数幂的
4、形成,其结果是()A.12 B.56 C.76 D.32 解析2 23=2 53=2 53=256=256=78.故选.2.()2+()55 的值是()A.0 B.2 2 C.0 或2 2 D.解析当 0 时,原式=+=2 2;当 0,且 1,则4+的值为 .解析因为 2+=22,=28,所以 得3=26.所以=22.将=22 代入得22 =28,所以=26.所以4+=4 =()4 =(22)4 26=22=4 重难突破考点二 指数函数的图象典例研析【例2】A.B.C.D.B（1）2018全国卷函数()=2 的图象大致为()解析 =是奇函数,=2 是偶函数,()=2 是奇函数,图象关于原点对称
5、,排除 选项.(1)=11=1,2,1 1,排除,选项.故选.方法技巧：解析 曲线|=2+1 与直线=的图象如图所示,由图可知：如果|=2+1 与直线=没有公共点,则 应满足的条件是 1,1.与指数函数有关图象问题的求解方法（1）已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.（2）对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.（3）有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.（2）若曲线|=2+1 与直线=没有公
6、共点,则 的取值范围是 .1,1 对点训练DA.B.C.D.B4.函数()=2+1(0 且 1)的图象必经过点()A.（0,1）B.（1,1）C.（2,0）D.（2,2）解析 0=1,(2)=2.故()的图象必过点（2,2）.5.函数()=2|1|的图象是()解析|1|0,()1,排除、.又=1 时,()min=1,排除 A.故选.重难突破考点三 指数函数的性质解析 因为()=3(13),且定义域为,所以()=3(13)=(13)3=3(13)=(),即函数()是奇函数.又 =3 在 上是增函数,=(13)在 上是减函数,所以()=3(13)在 上是增函数.故选 .典例研析【例3】A（1）20
7、17北京卷已知函数()=3(13),则()()A.是奇函数,且在 上是增函数B.是偶函数,且在 上是增函数C.是奇函数,且在 上是减函数D.是偶函数,且在 上是减函数（2）2015山东卷已知函数()=+(0,1)的定义域和值域都是1,0,则+=.32 解析 当 0 1 时,函数()在 1,0 上单调递增,由题意可得（1）=1,（0）=0,即 1 =1,0 =0,显然无解.所以 +=32.1解析 因为(1+)=(1 ),所以函数()关于直线=1 对称,所以=1,所以函数()=2|1|的图象如图所示,因为函数()在,+）上单调递增,所以 1,所以实数 的最小值为 1.（3）若函数()=2|()满足
8、(1+)=(1 ),且()在,+）上单调递增,则实数 的最小值等于 .方法技巧：有关指数函数性质的问题类型及解题思路（1）比较指数幂大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值（0 或 1）.（2）简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数 的取值范围,并在必要时进行分类讨论.（3）求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.（4）在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系
9、不明确时,要分类讨论.对点训练C6.设 0,且 1 ,则()A.0 1 B.0 1 C.1 D.1 解析 1 ,0 0,1.1.0,1 .1 .故选.7.不等式22 4 的解集为 .(1,2)解析由已知得：22 22,2 2,解得1 2 成立的 的取值为()A.(23,+)B.(1,+)C.(13,+)D.(13,+)解析231 2 3 1 1 23.故选.B3.函数=在0,1 上的最大值与最小值的和为 3,则=()A.12 B.2 C.4 D.14 解析(解法一)当 1 时,=为 上的增函数,在0,1 上min=0=1,max=1=,则1+=3,故=2.当0 1 时,=是 上的减函数,max
10、=0=1,min=1=,+1=3,=2 这与0 )的图象如图所示,则函数()=+的图象是()解析由函数()的图象可知,1 1,则()=+为增函数,当=0 时,(0)=1+0.故选.CDB5.若不论 为何值,函数=(1)2 2 恒过定点,则这个定点的坐标是()A.(1,12)B.(1,12)C.(1,12)D.(1,12)解析由已知得=1 时,=12(1)2=12 与 的值无关,故定点为(1,12).6.已知=(35)13,=(35)14,=(32)34,则,的大小关系是()A.B.C.D.解析因为13 14 (35)14 (35)0=1,即 1,且(32)34 (32)0=1.所以 1.综上,
11、0,且 1)满足(1)=19,则()的单调递减区间是()A.(,2 B.2,+)C.2,+)D.(,2 解析由(1)=19 得2=19,又 0,所以=13,因此()=(13)|24|因为()=|2 4|在2,+)上单调递增,所以()的单调递减区间是0,+).二、多项选择题ACABD8.若函数()=(12 3)(0,且 1)是指数函数,则下列说法正确的是()A.=8 B.(0)=3 C.(12)=2 2 D.=4 解析因为函数()是指数函数,所以12 3=1,所以=8,所以()=8,所以(0)=1,(12)=812=2 2,(2)=82=64,故、错误,、正确.9.对于给定的函数()=(,0,1),下列结论正确的是()A.函数()的图象关于原点对称 B.函数()在 上不具有单调性 C.函数(|)的图象关于 轴对称 D.当0 1 时,()在 上为增函数,错误;=(|)是偶函数,其图象关于 轴对称,正确;当0 0 时,指数函数()=(1)1 恒成立,则实数 的取值范围是 .1 0 时,(1)1 恒成立,0 1 1.1 2.11.函数=(14)(12)+1 在 3,2 上的值域为 .34,57 解析令=(12),则=2 +1=(12)2+34,3,2,14,8.当=12 时,min=34.当=8 时,=57.故所求函数的值域为34,57.
