1、第二节函数的性质考情解读命题规律考点函数的单调性函数的最值函数的奇偶性考查频次卷,5年3考此考点近5年新课标全国卷未涉及卷,5年2考 卷,5年3考 卷,2年1考考查难度中等/中等常考题型及分值选择题,5分/选择题,5分 填空题,5分命题趋势 高考命题的热点是简单的函数单调性与奇偶性的判断问题,根据函数的奇偶性求参数或求函数值、函数单调性与奇偶性的综合应用等.复习时,要树立定义域先行的原则来研究函数的基本性质基础导学知识梳理一、函数的单调性1.增函数、减函数 一般地,设函数()的定义域为,如果对于定义域 内某个区间 上的 1 两个自变量1,2.（1）增函数：当1 2 时,都有 2 那么就说函数(
2、)在区间 上是增函数;（2）减函数：当1 2 时,都有 3 那么就说函数()在区间 上是减函数.2.单调性、单调区间的定义 若函数=()在区间 上是 4 或 5 ,则称函数=()在这一区间具有（严格的）单调性,区间 叫做函数=()的单调区间.（增函数）（减函数）任意增函数减函数3.函数的最值(1)(2)前提设函数 =()的定义域为 ,如果存在实数 满足条件（1）对于任意 ,都有 6（2）存在0 ,使得(0)=（1）对于任意 ,都有 7（2）存在0 ,使得(0)=结论 为最大值 为最小值()()知识梳理二、函数的奇偶性原点奇偶性条件图象特点偶函数对于函数()的定义域内任意一个,都有 8 关于 9
3、 对称奇函数对于函数()的定义域内任意一个,都有 10 关于 11 对称()=()轴 ()=()知识梳理三、函数周期性1.周期函数：对于函数=(),如果存在一个非零常数,使得当 取定义域内的任何值时,都有 12 ,那么就称函数=()为周期函数,称 为这个函数的周期.2.最小正周期：如果在周期函数()的所有周期中 13 的正数,那么这个最小正数就叫做()的最小正周期.存在一个最小(+)=()知识拓展1.两个防范（1）单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.（2）有多个单调区间应分别写,不能用符号“”联结,也不能用“或”联结,只能用“逗号”或“和”联结.2.单调性的两种等价形式（1）设任意1,2
4、 ,且1 0 ()在,上是增函数;(1)(2)12 0 ()在,上是增函数;(1 2)(1)(2)0 可得 4 或 0时,=2 在(0,+)上为增函数,=lg为增,()=lg2 在(0,+)上为增函数;当 0,函数()在此不等式对应的区间上为增函数;函数()在不等式()B.C.D.（2）函数=()在0,2 上单调递增,且函数(+2)是偶函数,则下列结论成立的是()A.(1)(52)(72)B.(72)(1)(52)C.(72)(52)(1)D.(52)(1)log2=,即 .又=ln2=1log2 1 .所以 .故选.解析 函数=()在0,2 上单调递增,且函数(+2)是偶函数,函数=()在2
5、,4 上单调递减,且在0,4 上函数=()满足(2 )=(2+),(1)=(3),(72)(3)(52),即(72)(1)()型的不等式其实质就是利用单调性脱去“”符号,其关键点为：（1）判断,判断()、()是否在 ()的同一个单调区间内;（2）脱“”,利用单调性脱去“”：若 ()为增,则得到()(),若 ()为减,则得到()(),()();（4）结论,解得的 与定义域求交集.考查角度三利用单调性求最值或值域考查角度三 利用单调性求最值或值域A根据函数的单调性求函数的最值或值域,其关键点：（1）变形：对函数式变形或求导,确定函数的单调性.（2）根据单调性变化,确定取最值的条件及最值.（3）求出
6、最值或值域.方法技巧：【例 4】函数()=+1 在区间2,13 上的最大值是()A.32 B.83 C.2 D.2 解析 函数=,=1 在区间2,13 上单调递减,函数()在区间2,13 上单调递减,()max=(2)=32.故选.考查角度四 利用单调性求参数【例5】A（1）已知函数()=2+(0,),若()在区间2,+)上是增函数,则实数 的取值范围为()A.(,16B.(,4C.4,+)D.16,+)（2）若函数()=(1)2,2,2,在 上单调递减,则实数 的取值范围是 .22,1)解析 对函数求导可得()=2 2,因为函数()在区间2,+)上是增函数.所以()=2 2 0 在2,+)上
7、恒成立,即 23 在2,+)上恒成立.令()=23,则函数()在2,+)上是增函数,所以函数()在2,+)上的最小值为(2)=16,所以 16.故选.解析 由题意得,1 ,1,2 (1)2 2,解得22 1,所以实数 的取值范围是22,1).方法技巧：（1）根据函数单调性的定义确定函数的单调性,并结合不等式性质进行求解是求参数取值范围最基本的方法,破解此类题的关键点：设元,在题设条件所给出的区间内设出两个变量1,2.作差,对(1)与(2)作差,并通过通分、因式分解等方法进行恒等变形;确定符号,通过条件中的区间限制和两个变量1,2 的大小关系,确定函数差值(2)(1)的符号;得出结论,根据(2)
8、(1)的符号和2 1 的符号,判断函数()的单调性,并求参数的取值范围.（2）利用导数法,求参数,使()0 恒成立（或()0 恒成立）求参数.对点训练AA3.若(,)是函数=()的单调递增区间,1,2 (,)且1 2,则有()A.(1)(2)D.以上都不对 解析根据函数单调性的含义可知,若()在区间(,)上是增函数,且1,2 (,),1 2,则有(1)(2).故选.4.函数()=|2|的单调减区间是()A.1,2 B.1,0 C.0,2 D.2,+)解析由于()=|2|=2 2,2,2+2,0,0 1.7.已知函数()=(0),(3)+4(0)满足对任意的1,2 且1 2,都有(1)(2)12
9、 0 成立,则 的取值范围是 .(0,14 解析因为对任意的1,2 且1 2,都有(1)(2)12 0 成立,所以()是减函数.所以 0 1,3 0,0 (3)0+4,解得0 0,1 0,知 1,定义域不关于原点对称,故()为非奇非偶函数.解析 ,()=3 3=(),()为奇函数,又因1=3 为增函数,2=(13)为增函数,故=3 (13)为增函数.故选.方法技巧：（3）性质法：利用奇偶性的运算关系.（1）定义法：确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再化简解析式后验证()=()或其等价形式()()=0 是否成立.（2）图象法：对点训练DC8.下列函数为偶函数的是(
10、)A.=sin B.=3 C.=D.=ln 2+1 解析利用偶函数的定义求解.由函数奇偶性的定义知,为奇函数,为非奇非偶函数,为偶函数.解析由 2 1 0,1 2 0,得=1,()的定义域为1,1.又(1)+(1)=0,(1)(1)=0,故()既是奇函数,又是偶函数.故选.9.函数()=2 1+1 2,则()为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.非奇非偶函数重难突破考点四 函数奇偶性的应用（2）2018全国卷若函数()=ln(1+2 )+1,()=4,则()=.（1）2019全国卷已知()是奇函数,且当 0 时,0 时,()=()=,所以(ln2)=ln2=(12)=8 所以
11、=3.方法技巧：应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.（2）求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于()的方程（组）,从而得到()的解析式.（3）求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解,根据()()=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程（组）,进而得出参数的值.（4）画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.对点训练B10.已知()=2+是定义在 1,2 上的偶函数,则+的值是()A.13 B.13 C.12
12、 D.12 解析由已知得 1=2,=0,即=13,故+=13.解析当 0,()=()3+ln(1 ).()是 上的奇函数,当 (232)(223)B.(314)(223)(232)C.(232)(223)(log314)D.(223)(232)(log314)解析 ()是定义域为 的偶函数,(314)=(34).log34 1=20 232.又()在(0,+)单调递减,(log34)(223)(223)(log314),故选.C解析 ()是定义域为 的奇函数,(0)=0,且()=().又(1 )=(1+),()=(2+).由得(2+)=(),(4+)=(2+).由得()=(+4),()的最小正
13、周期为 4,对于(1+)=(1 )，令=1,得(2)=(0)=0;令=2,得(3)=(1)=(1)=2;令=3,得(4)=(2)=(2)=0.故(1)+(2)+(3)+(4)=2+0 2+0=0.(1)+(2)+(3)+(50)=12 0+(1)+(2)=0+2+0=2.故选.（2）2018全国卷已知()是定义域为(,+)的奇函数,满足(1 )=(1+).若(1)=2,则(1)+(2)+(3)+(50)=()A.50 B.0 C.2 D.50 方法技巧：求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数=(),如果能够找到一个非零常数,使得当 取定义域内的任何值时,都有(+)=(),那
14、么 就是函数=()的周期非零常数 容易确定的函数换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构,如：若(+)=(),令 =,则=+,则(+2)=(+)=(+)=(),所以2 为()的一个周期()=()型关系式递推法采用递推的思路进行,再结合定义确定周期.如：若(+)=(),则(+2)=(+)+=(+)=(),所以2 为()的一个周期含有(+)与()的关系式 对点训练CD13.函数()=lg|sin|是()A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为2 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为2 的偶函数 解析()=lg|sin()|=lg|sin|,函数()为偶函数.(+)=lg|
15、sin(+)|=lg|sin|,函数()的周期为.故选.14.已知定义在 上的奇函数()满足(+5)=(),且当 (0,52)时,()=3 3,则(2 018)=()A.2 B.18 C.18 D.2 解析()的周期=5,(2 018)=(404 5 2)=(2)=(2)=(23 3 2)=2.故选.课时作业一、单项选择题CC1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()A.=1 B.=C.=2+1 D.=lg|解析 中=1 是奇函数,不正确;中=(1)是非奇非偶函数,不正确;中=2+1 是偶函数且在(0,+)上是单调递减的,正确;中=lg|在(0,+)上是增函数,不正确.故选
16、.2.若函数()满足“对任意1,2 (0,+),当1 (2)”，则()的解析式可以是()A.()=(1)2 B.()=C.()=1 D.()=ln(+1)解析根据条件知,()在(0,+)上单调递减.对于,()=(1)2 在(1,+)上单调递 增,排除;对于,()=在(0,+)上单调递增,排除;对于,()=1 在(0,+)上单调递减,正确;对于,()=ln(+1)在(0,+)上单调递增,排除.DB3.设()=+sin(),则下列说法错误的是()A.()是奇函数 B.()在 上单调递增 C.()的值域为 D.()是周期函数 解析因为()=+sin()=(+sin)=(),所以()为奇函数,故 正确
17、;因为()=1+cos 0,所以函数()在 上单调递增,故 正确;因为()在 上单调递增,所以()的值域为 ,故 正确;()不是周期函数,故选.4.函数()=+3,0 且 1)是 上的减函数,则 的取值范围是()A.(0,1)B.13,1)C.(0,13 D.(0,23 解析 0 1,3 1,13 1.CA5.()是 上的奇函数,当 0 时,()=3+ln(1+),则当 0 时,()=()A.3 ln(1 )B.3+ln(1 )C.3 ln(1 )D.3+ln(1 )解析当 0,()=()3+ln(1 ),()是 上的奇函数,当 0 时,()=()=()3+ln(1 )=3 ln(1 ).解析
18、因为()=为奇函数,所以(0)=1 =0,即=1,则()=在 上单调递增,且(1)=1.则由(1)1,得(1)(1),即 1 1,解得 2,所以不等式(1)0,1 2,且(2 )(2 2),则实数 的取值范围为()A.1,2)B.0,2)C.0,1)D.1,1)解析函数()满足(1 2)(1)(2)0,1 2,函数在2,2 上单调递增,2 2 2,2 2 2 2,2 2 2 1 2,0 2,2,0 1.故选.8.已知偶函数()在区间0,+)上单调递增,则满足(2 1)(13)的 的取值范围是()A.(13,23)B.13,23)C.(12,23)D.12,23)解析偶函数满足()=(|),根据
19、这个结论,有(2 1)(13)=(|2 1|)(13).进而转化为不等式|2 1|0,则有()+()()+()解析由=22+1=2(+14)2+78 在14,+)上递增知,函数=22+1 在(0,+)上是增函数,故 正确;=1+1 在(,1),(1,+)上均是减函数,但在(,1)(1,+)上不是减函数,如2 ,但12+1 0 得 ,又()在 上递增,所以()(),同理,()(),所以()+()()+(),故 正确.12.已知()是定义在 上的偶函数,且(+4)=(2).若当 3,0时,()=6,则(919)=.三、填空题1611.若函数()=ln(+2)为偶函数,则=.解析由题意得()=ln(+2)=()=ln(+2 ),所以 +2+=1+2,解得=1.解析(+4)=(2),()的周期为6,919=153 6+1,(919)=(1).又()为偶函数,(919)=(1)=(1)=6.
