1、山东省青岛胶州市2020-2021学年高二数学上学期期中试题本试卷4页，22小题，满分150分考试用时120分钟 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效；3考生必须保证答题卡的整洁，考试结
2、束后，请将答题卡上交一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1直线的倾斜角为（ ）ABCD2已知向量，且，则实数（ ）ABCD3若直线与直线平行，则实数（ ）ABCD4已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）ABCD5已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内，均垂直于棱，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6若过原点的直线与圆有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（ ）ABCD7已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，则直线的斜率等于（ ）ABCD8已知圆与直线交于两点，且，则圆与函数的图象交点个数为（ ）个ABCD二
3、、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知直线，则下述正确的是（ ）A直线的斜率可以等于B直线的斜率有可能不存在C直线可能过点D若直线的横纵截距相等，则10已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（ ）A椭圆的长轴长为B椭圆的两个焦点分别为和 C椭圆的离心率等于D若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则11已知点，动点到直线的距离为，则（ ）A点的轨迹是椭圆B点的轨迹曲线的离心率等于C点的轨迹方程为D的周长为定值12已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ）A异面直线与所成
4、角为B点到平面的距离为C四面体的外接球体积为D动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13圆与圆的位置关系为 14已知椭圆的离心率等于，则实数 15已知正方体的棱长为，点为线段上一点，则点到平面的距离为 16在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴上，则（1）的最小值是 ；（2）的最小值是 （第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知为坐标原点，直线（），圆（1）若的倾斜角为，求；（2）若与直线的倾斜角互补，求直线上的点到圆上的点的最小距离；（3）求点到的最大距离及此时
5、的值18（12分）在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于（1）求圆的标准方程；（2）若圆心在第一象限，为圆外一点，过点做圆的两条切线，切点分别为，四边形的面积为，求点的轨迹方程19（12分）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为中点（1）如果，求证：平面；（2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积20（12分）在平面直角坐标系中，圆，动圆过且与圆相切（1）求动点的轨迹的标准方程；（2）若直线过点，且与曲线交于，已知中点在直线上，求直线的方程21（12分）如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，平面平面 （1）证明：在线段上存在点，使得平面平面；（2）求二面角的余
6、弦值；（3）若平面，求线段的长度D22（12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于两点（）若直线的斜率等于，求面积的最大值；（）若，点在上，证明：存在定点，使得为定值2020-2021学年度第一学期期中检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1-8: A C B D B C D A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9. BD; 10. ACD; 11. AC; 12. BC; 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13. 相交； 14.
7、或； 15. ； 16. （1）；（2）；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）解：（1）由题知：直线的斜率等于2分解得3分（2）因为与直线的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数4分所以，即，所以5分则圆心到直线的距离6分所以直线上的点到圆上的点的最小距离为7分（3）直线恒过定点8分所以到的最大距离小于等于9分此时，所以，解得10分18（12分）解:（1）因为圆过点和点所以圆心在线段的垂直平分线上，所以可设圆心为 2分因为圆心到直线的距离等于所以，解得4分当时，圆心为，半径，圆的方程为：当时，圆心为，半径，圆的方程为：所以圆的标准方程为：或6分
8、（2）由题知：因为7分所以四边形的面积8分因为，所以9分所以10分所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆11分所以点的轨迹方程为：12分19（12分）证明：（1）在中，为中点，所以1分因为平面，平面所以又因为，所以平面3分因为平面所以4分因为所以平面5分（2）设，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则,6分设平面的法向量为，所以，所以，得，令，可得，8分所以与平面的法向量所成角的正弦值为（当且仅当，即时等号成立）10分所以三棱锥的体积12分20（12分）解:（1）设动圆的半径为，由题意知：，1分所以 2分所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 3分其长轴长焦距为，4分所以曲线的标
9、准方程为：5分（2）若直线斜率不存在，则关于轴对称，不合题意6分若直线斜率存在，设其方程为将代入得：7分所以8分所以9分所以，解得或11分所以，直线的方程为：或12分21（12分）解：（1）取线段的中点，连接，因为、均为等边三角形，所以，所以平面3分又因为平面，所以平面平面4分所以，线段的中点，使得平面平面（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直以为轴建立空间直角坐标系则 5分D设平面的一个法向量，因为，由，得，所以6分设平面的一个法向量，因为，由，得，所以7分设二面角的平面角为，所以8分所以二面角的余弦值为9分(3)因为，设，所以，则10分又因为平面的一个法向量为11分因为所以，所以12分22（12分）解:（1）由题意知：，1分由椭圆定义知，所以2分设椭圆的半焦距为，所以 ，所以所以椭圆的标准方程为：3分（2）（）设直线的方程为：将带入得：所以4分又因为，得5分点到直线的距离6分所以7分等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为8分（）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，由（）知：所以10分所以11分解得，直线过定点或所以在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于所以存在定点或，使得为定值12分
