1、2019-2020学年高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|12x8，若AB1，则集合B可以是（）A0，1B1，2C0，1，2D1，2，32设复数z满足（1+i）z2，则复平面内表示z的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设a（），blog，c（），则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca4在（x）4的展开式中，二次项的系数为（）A6B4C4D65已知正项等比数列an中，a3，若a1+a2+a37，则数列的前十项和S10（）A511B512C1023D10246函数f（x）x2sin|x|的部分图象大致为（）ABCD7现有
2、甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（）ABCD8已知单位向量，满足|+|，则（+）（）AB1CD09如图所示的程序框图，是为计算S1+，则在空白判断框中应填入的是（）Ai50？Bi51？Ci50？Di51？10已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线l：y（x）与抛物线C在第一象限的交点为M，若|MF|2，则抛物线C的方程为（）Ay28xBy24xCy22xDy2x11设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则（M+m+1）2020的值是（）A0B1C22019D2202012已知函数f（
3、x）xexlnxx，若存在x0（0，+），使f（x0）a，则a的取值范围是（）A1，+）Be1，+）C2，+）De，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线yx2+lnx+1在点（1，2）处的切线方程为 14若变量x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值是 15在等腰ABC中，ABC，若点C在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 16数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：（x2+y2）34x2y2被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）给出下列四个结论：曲线C与直线yax（a0）交于不同于原点O的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2+y1+y20；存在一个
4、以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；曲线C上至少有一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于其中，正确结论的序号是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32天数711YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.8（1）求Y、Z的值；（2）把日最高气温高于32称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月
5、份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面22列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由高温天气非高温天气合计旺销不旺销合计附：K2P（K2k）0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828 18已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b2，4+c2a22c（1）求A的值；（2）从a2sinB，B两个条件中选一个作为已知条件，求sinC的值19设数列an满足a12，an+1an+2n（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2（a1a2an），求数列的前n项和Sn20如图，直三
6、棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA12，BC2，D，E分别是BC，CC1的中点（1）证明：BD1平面ADE；（2）若AB2，求平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值21已知点N（1，0）和直线x2，设动点M（x，y）到直线x2的距离为d，且|MN|d（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（2，0），若直线l：yk（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线22已知函数（x）lnx+1（1）若f（x）0，求实数a的取值范围；（2）设an，数列an的前n项和为Sn，证明：Snln（n+1）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60
7、分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|12x8，若AB1，则集合B可以是（）A0，1B1，2C0，1，2D1，2，3【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可解：Ax|0x3，AB1，B可以为0，1故选：A2设复数z满足（1+i）z2，则复平面内表示z的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则即可得出解：（1+i）z2，则复平面内表示z的点位于第四象限故选：D3设a（），blog，c（），则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c的大小关系解：，bac故选：C4在
8、（x）4的展开式中，二次项的系数为（）A6B4C4D6【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得二次项的系数解：的展开式中的 二次项为，故选：B5已知正项等比数列an中，a3，若a1+a2+a37，则数列的前十项和S10（）A511B512C1023D1024【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出解：设等比数列an的公比为q，由a2a3a4得，所以a11，又因为a1+a2+a37，得1+q+q27，所以q2，故选：C6函数f（x）x2sin|x|的部分图象大致为（）ABCD【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A，C，又由函数的解析式可得当x时，f（x）0，排除D，即可得答案解
9、：根据题意，f（x）x2sin|x|，其定义域为R，有f（x）（x）2sin|x|x2sin|x|f（x），则函数f（x）x2sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C，当x时，f（x）0，排除D，故选：B7现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有1种被选取的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n10，其中甲、乙至少有1种被选取包含的基本事件个数m7，由此能求出甲、乙至少有1种被选取的概率解：现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取2种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n1
10、0，其中甲、乙至少有1种被选取包含的基本事件个数m7，甲、乙至少有1种被选取的概率故选：C8已知单位向量，满足|+|，则（+）（）AB1CD0【分析】对条件式两边平方计算，再计算（+）解：是单位向量，1，|，+2+1，故，（+）+0故选：D9如图所示的程序框图，是为计算S1+，则在空白判断框中应填入的是（）Ai50？Bi51？Ci50？Di51？【分析】模拟程序的运行，根据输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容解：模拟程序的运行，可得SNT中的，则空白判断框应填i50？故选：A10已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线l：y（x）与抛物线C在第一象限的交点为M，若|MF|2，则抛物
11、线C的方程为（）Ay28xBy24xCy22xDy2x【分析】设抛物线C的准线为l，作MHl于H，由抛物线定义可得|MH|MF|2，直线l焦点F且倾斜角为60，推出MHF为正三角形，HFO60，所以p2cos60，进而计算出答案解：设抛物线C的准线为l，作MHl于H，由已知得：|MH|2，直线l：过焦点F且倾斜角为60，所以HMF60，所以MHF为正三角形，所以|HF|2，HFO60，所以p2cos601，所以抛物线C的方程为y22x故选：C11设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则（M+m+1）2020的值是（）A0B1C22019D22020【分析】化简函数f（x）g（x）1，由g（x
12、）的奇偶性即可求解解：，设，则g（x）为奇函数，所以g（x）max+g（x）min0，则M+m2，所以（M+m+1）20201故选：B12已知函数f（x）xexlnxx，若存在x0（0，+），使f（x0）a，则a的取值范围是（）A1，+）Be1，+）C2，+）De，+）【分析】求导得f（x）exxex1（x+1）（ex），定义域为（0，+），令f（x）0，则ex，设，x1（0，1），于是有1，即lnx1+x10易推出f（x）在（0，+）上的单调性，然后求出f（x）的最小值即可得解解：f（x）xexlnxx（x0），f（x）exxex1（x+1）（ex），令f（x）0，则ex，设，x1（0，1）
13、，1，即lnx1+x10，当x（0，x1）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（x1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增f（x）minf（x1）（lnx1+x1）1+01，a1故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线yx2+lnx+1在点（1，2）处的切线方程为y3x1【分析】先对原函数求导，再令x1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程解：曲线f（x）x2+lnx+1，可得f（x）2x+，f（1）2+13，所以k3，切线方程为：y23（x1），即y3x1故答案为：y3x114若变量x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值是4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为
14、直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：满足约束条件的可行域如图所示，目标函数zx+2y对应直线，当z最大时，纵截距最大，直线过点A（0，2）时，纵截距最大，此时zmax4故答案为：415在等腰ABC中，ABC，若点C在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为【分析】设ABBC2，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可解：设ABBC2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cosB，AC2 ，所以222a，2c2，所以双曲线的离心率为：故答案为：16数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：
15、（x2+y2）34x2y2被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）给出下列四个结论：曲线C与直线yax（a0）交于不同于原点O的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2+y1+y20；存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；曲线C上至少有一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于其中，正确结论的序号是【分析】利用图形的对称性结合函数的对称性判断，基本不等式判断，推出结果即可解：曲线关于原点O对称，直线yax（a0）关于原点对称，所以x1+x2y1+y20，所以正确；由，所以（x2+
16、y2）3（x2+y2）2，即：x2+y21，当取等号，此时，点在曲线上，而|PO|1，所以错误，正确，因为，所以错误，综上所述，正确故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32天数711YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.8（1）求Y、Z的值；（2）把日最高气温高于32称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完
17、成下面22列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由高温天气非高温天气合计旺销不旺销合计附：K2P（K2k）0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828 【分析】（1）由已知求得日最高气温高于32oC的频率，计算Z和Y的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照附表得出结论解：（1）由已知，得日最高气温高于32oC的频率为10.80.2，所以Z300.26，Y30（7+11+6）6；（2）根据题意填写列联表如下；高温天气非高温天气合计旺销21820不旺销4610合计62430计算K23.75，因为3.753.841，所以没有9
18、5%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关18已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b2，4+c2a22c（1）求A的值；（2）从a2sinB，B两个条件中选一个作为已知条件，求sinC的值【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0A，可求A的值（2）选择作为已知条件，由正弦定理可求sinB的值，结合，得B为锐角，可求，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值；选择作为已知条件，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值解：（1）由b2，4+c2a22c，得：，又因为0A，所以（2）选择作为已知条件在ABC中，由，以及
19、正弦定理，得，解得，由，得B为锐角，所以，因为在ABC中，A+B+C，所以，所以选择作为已知条件，因为在ABC中，A+B+C，所以，所以19设数列an满足a12，an+1an+2n（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2（a1a2an），求数列的前n项和Sn【分析】（1）直接利用数列的递推关系式中的叠加法求出数列的通项公式（2）直接利用（1）的结论，首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和解：（1）因为an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2），所以（n2），当n1时，a12，所以数列an的通项公式为（2）因为，所以，所以，20如图，直三棱柱ABC
20、A1B1C1中，ABAC，AA12，BC2，D，E分别是BC，CC1的中点（1）证明：BD1平面ADE；（2）若AB2，求平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值【分析】（1）推导出RtB1BDRtDCE，B1DDE，ADBC，从而AD平面BCC1B1，ADB1D，由此能证明B1D平面ADE（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值解：（1）证明：由已知得：，所以RtB1BDRtDCE，所以BB1DCDE，所以，所以B1DDE，又因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC，所以AD平面BCC1
21、B1，所以ADB1D，而ADDED，所以B1D平面ADE（2）解：AB2+AC2BC2，所以ABAC，以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，所以B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），则，设为平面AB1C1的一个法向量，则，得，平面ADE的法向量为，所以，所以，所以，平面AB1C1与平面ADE所成二面角的正弦值为21已知点N（1，0）和直线x2，设动点M（x，y）到直线x2的距离为d，且|MN|d（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（2，0），若直线l：yk（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三
22、点共线【分析】（1）由已知，整理即可得到动点M的轨迹E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，y1），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，写出A与B横坐标的和与积，再由直线方程的两点式写出BC的方程，取y0求得x值，即可证明P，B，C三点共线解：（1）由已知，化简得动点M的轨迹E的方程：；证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，y1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，此时0，由直线BC的方程：，得：，令y0，则，直线BC过点P（2，0），即P，B，C三点共线22已知函数（x）lnx+1（1）若f（x）0，求实数a的取值
23、范围；（2）设an，数列an的前n项和为Sn，证明：Snln（n+1）【分析】（1）已知条件化为ax（1lnx），令g（x）x（1lnx），则g（x）lnx，通过导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的最值推出结果（2）化简，求出函数的导数判断函数的单调性，推出，利用放缩法转化求解证明：Snln（n+1）解：（1）f（x）的定义域为（0，+），由（x0）得ax（1lnx），令g（x）x（1lnx），则g（x）lnx，由g（x）0得0x1，由g（x）0得x1，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以g（x）maxg（1）1，所以a1，所以a的取值范围为1，+）（2）证明：由（1）得a1时，而f（1）0，（x1），所以f（x）在（1，+）上单调递增，所以f（x）f（1）0（x1），即（x1）令，则，所以，所以，所以，而，所以，即Snln（n+1）
