1、2020-2021学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合A0，1，2，By|y2x，xA，则AB（）A0，1，2B1，2C1，2，4D1，42设复数z满足（1i）z2i，则z在复平面内对应的点在（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限3已知数列an为等比数列，a23，a5，则a1（）A2BCD4设一组样本数据x1，x2，xn的方差为1，则数据x1+6，x2+6，xn+6的方差为（）A36B7C6D15已知是第二象限的角，则sin2（）ABCD6函数的图象大致为（）ABCD7一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
2、（）A2BCD8某班的迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的3个红球和2个白球规定：随机地一次从纸箱中摸出2个小球，恰好摸到2个红球即为获奖，则获奖的概率为（）ABCD9已知双曲线C：1（a0，b0）的顶点、焦点到C的一条渐近线的距离分别为和2，则C的方程为（）A1B1C1D110蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（
3、球）的直径所在的区间是（单位：cm）（）A10，11）B11，12）C12，13）D13，1411函数f（x）2x3ax2+2在0，2上的最大值为2，则a的取值范围为（）A4，6）B6，+）C（0，4）D4，+）12在ABC中，ABAC，D是AB的中点，若CD3，则ABC面积的最大值为（）A6B3C4D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知非零向量，（1，1），若，则向量的坐标可以是 14若x，y满足约束条件，则z2x+y的最小值为 15已知抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若|FA|3，|FB|5，|AB|2，则直线AB的倾斜角为 1
4、6已知函数f（x）sin（x+）的图象如图所示，若f（x）在a，a上有4个零点，则a的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某公司员工年收入的频率分布直方图如图：（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明18在n；an+1an2，S39；an（a21）n1三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答已知数列an
5、的前n项和为Sn，满足_（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn19ABC是边长为8的等边三角形，D是线段BC上一点（异于B，C），且BDCD，若AD的长为整数（1）求sinADB；（2）求ACD的面积20如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E，F，D1分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上（1）若AA1AB，证明：BA1平面EC1D1；（2）证明：MF平面EC1D121已知函数f（x）x+lnx（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）证明：ex+xf（ex）22已知椭圆E：+1（ab1）的离心率为，依次连结E
6、的四个顶点所构成的四边形面积为2，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）设F为E的右焦点，A是E上位于第一象限的点，且AFx轴，直线l平行于OA且与E交于B，C两点，设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k20参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合A0，1，2，By|y2x，xA，则AB（）A0，1，2B1，2C1，2，4D1，4【分析】根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得AB解：集合A0，1，2，By|y2x，xA1，2，4，AB0，1，21，2，41，2故选：B2设复数z满足（1i）z2i，则z在复平面内对应的点在（）A第四象限B第三
7、象限C第二象限D第一象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出解：（1i）z2i，（1+i）（1i）z2i（1+i），化为zi1则z在复平面内对应的点（1，1）在第二象限故选：C3已知数列an为等比数列，a23，a5，则a1（）A2BCD【分析】设等比数列an的公比为q，由a5a2q3解出q值后再利用a2a1q进行求解即可解：设等比数列an的公比为q，由a23，a5，得q3，解得q，所以a132故选：A4设一组样本数据x1，x2，xn的方差为1，则数据x1+6，x2+6，xn+6的方差为（）A36B7C6D1【分析】利用方差的性质直接求解解：一组样本数据x1，x2，xn的方差为1，数据x
8、1+6，x2+6，xn+6的方差为1故选：D5已知是第二象限的角，则sin2（）ABCD【分析】由已知结合诱导公式可求tan，然后结合则sin22sincos，代入可求解：因为是第二象限的角，所以tan，则sin22sincos故选：D6函数的图象大致为（）ABCD【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）、f（1）的值，分析选项可得答案解：根据题意，f（x）cosx，x，则f（1）cos10，f（1）cos10，排除ACD，故选：B7一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A2BCD【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积解：根据几何体的三视图转换为
9、直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥体；如图所示：由于ABE为等边三角形，所以AF，则故选：C8某班的迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的3个红球和2个白球规定：随机地一次从纸箱中摸出2个小球，恰好摸到2个红球即为获奖，则获奖的概率为（）ABCD【分析】利用古典概型及其概率计算公式、排列组合的相关知识直接求解即可解：由条件，可知获奖的概率P故选：B9已知双曲线C：1（a0，b0）的顶点、焦点到C的一条渐近线的距离分别为和2，则C的方程为（）A1B1C1D1【分析】设一个顶点为A（a，0），一个焦点为（c，0）以及双曲线的一条渐近线bxay0
10、，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可解：设双曲线的一个顶点为A（a，0），一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为bxay0，则 ，整理可得，b2，a2+b2c2，a2则双曲线C的方程为：故选：A10蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：cm）（）A10，11）B11，12）C12，13）D13，14
11、【分析】由已知利用勾股定理求出截面圆O1的半径，得到蹴鞠的直径，进一步分析得答案解：由题意可知，足球的半径R11，球心到截面圆O1的距离为9，则截面圆O1的半径为r，蹴鞠的直径为2r，122144132169，该蹴鞠的直径所在的区间是12，13）故选：C11函数f（x）2x3ax2+2在0，2上的最大值为2，则a的取值范围为（）A4，6）B6，+）C（0，4）D4，+）【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导函数研究原函数的性质，分类讨论确定实数a的取值范围即可解：由函数的解析式可得：f（x）6x22axx（6x2a），当 时，导函数在区间0，2上单调递增，而f（0）2，不合题意；当 时，导
12、函数在区间0，2上单调递减，而f（0）2，满足题意；当 时，导函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，满足题意时有f（2）f（0），即：164a+22，a4，此时4a6，综上可得，实数a的取值范围是4，+）故选：D12在ABC中，ABAC，D是AB的中点，若CD3，则ABC面积的最大值为（）A6B3C4D3【分析】设ABAC2x，则ADx，在ACD中，由余弦定理表示出cosA，再结合sinA和SABACsinA，将S表示成关于x的函数，即可得解解：设ABAC2x，则ADx，在ACD中，由余弦定理知，cosA，sinA，ABC面积SABACsinA2x2x6，当x25时，ABC面积取得最大值
13、，为6故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知非零向量，（1，1），若，则向量的坐标可以是 （1，1）（答案不唯一）【分析】根据题意，设（x，y），由数量积的坐标计算公式可得x+y0，变形可得x、y的关系，令x1可得答案解：根据题意，设（x，y），若，则x+y0，则有xy，令x1可得：（1，1），故答案为：（1，1），（答案不唯一）14若x，y满足约束条件，则z2x+y的最小值为 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），由z2x+y，得y2x+z，由图
14、可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故答案为：15已知抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若|FA|3，|FB|5，|AB|2，则直线AB的倾斜角为 【分析】设A，B在准线上的射影分别为M，N，过A作AHBN于H，求得tanABH，即可求得直线AB的倾斜角解：如图，设A，B在准线上的射影分别为M，N，根据抛物线定义可得AM3BN5，过A作AHBN于H，在RtABH中，AB2，BH2，tanABH1，则直线AB的倾斜角为故答案为：16已知函数f（x）sin（x+）的图象如图所示，若f（x）在a，a上有4个零点，则a的取值范围为
15、，）【分析】由图象可求得最小正周期T，从而可求得，由五点作图法可求得，从而可得f（x）的解析式，结合图象可求得a的取值范围解：由图知T2（），2，f（x）sin（2x+），由五点作图法可得2+，函数f（x）的解析式为：f（x）sin（2x+）令2x+k，kZ，解得x，kZ，所以函数的零点为，若f（x）在a，a上有4个零点，a，即a的取值范围为，）故答案为：，）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某公司员工年收入的频率分布直方图如图：（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告
16、诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明【分析】（1）由频率分布直方图即可计算众数、中位数和平均数（2）比较平均数与中位数、众数的大小，利用比较相近的数据更能客观反映该公司员工年收入的实际情况解：（1）由频率分布直方图可知该公司员工年收入的众数为（7.5+12.5）10（万元）；由于（0.04+0.1）50.70.5，所以员工年收入的中位数在7.5，12.5）内，设中位数为a，由0.045+0.1（a7.5）0.5，解得a10.5，所以估计该公司员工年收入的中位数约为10.5万元
17、；由题意知，员工年收入的平均数为：（0.045+0.110+0.0215+0.0120+0.0125+0.00830+0.00835+0.00440）513.15，所以估计该公司员工年收入的平均数约为13.15万元（2）招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况，由（1）知，有一半员工年收入不超过10.5万元，多数员工年收入是10万元，少数员工年收入很高，在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大的多，所以用中位数或众数更能客观反映该公司员工年收入的实际情况18在n；an+1an2，S39；an（a21）n1三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答已知数列an的前n项和为Sn，满足
18、_（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）选时，利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；选时，利用等差数列的定义求出数列的通项公式；选时，利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果【解答】解（1）选，由得，则所以因为a11211，所以数列an的通项公式为an2n1选由an+1an2知数列an是公差d2的等差数列，则，得a11所以数列an的通项公式为ana1+（n1）d2n1选 an（a21）n1：由an（a21）n1，知a22（a21）12a23，得a23，所以数列an的通项公式为an（a
19、21）n12n1，（2）因为an2n1，所以，则数列bn的前n项和19ABC是边长为8的等边三角形，D是线段BC上一点（异于B，C），且BDCD，若AD的长为整数（1）求sinADB；（2）求ACD的面积【分析】（1）先得BC边上的高，从而推出，进而知AD的长，再在ABD中，由正弦定理，得解；（2）在ABD中，由余弦定理可得BD5，再由SCDACsinC，即可得解解：（1）因为ABC的边长为8的等边三角形，所以BC边上的高，所以，又线段AD的长度为整数，所以AD7，在ABD中，由正弦定理得，所以，解得（2）由（1）知，AD7，在ABD中，由余弦定理有，AD2AB2+BD22ABBDcosB，所
20、以4964+BD28BD，解得BD5或3，因为BDCD，所以BD5，CD3，所以SCDACsinCS38sin60620如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E，F，D1分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上（1）若AA1AB，证明：BA1平面EC1D1；（2）证明：MF平面EC1D1【分析】（1）结合正三棱柱的特征，得AA1平面A1B1C1，由线面垂直的性质定理可得AA1C1D1，再由面面垂直的判定定理可得C1D1平面ABB1A1，进而得到C1D1BA1，连结AB1，由于四边形ABB1A1为正方形，得到AB1BA1，由面面垂直的判定定理可得BA1平面EC1D1，（2
21、）连结CF，DF，DD1，由E，F，D，D1分别为棱AA1，BB1，AB，A1B1的中点，推出四边形CDD1C1为平行四边形，得到CD/D1C1，进而得到CDF平面EC1D1，由面面平行的性质定理可得MF平面EC1D1解：（1）证明：在正三棱柱中，AA1平面A1B1C1，所以AA1C1D1，又D1为A1B1的中点，A1C1B1C1，所以C1D1A1B1，而AA1A1B1A1，所以C1D1平面ABB1A1，故C1D1BA1，连结AB1，因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为正方形，所以AB1BA1，又ED1/AB1，所以BA1ED1，又ED1C1D1D1，所以BA1平面EC1D1，（2）证明：
22、连结CF，DF，DD1，因为E，F，D，D1分别为棱AA1，BB1，AB，A1B1的中点，所以DFED1，DD1AA1，CC1AA1，又DD1AA1，CC1AA1，所以四边形CDD1C1为平行四边形，所以CD/D1C1，又CDDFD，C1D1D1ED1，所以平面CDF平面EC1D1，又MF平面CDF，所以MF/平面EC1D121已知函数f（x）x+lnx（1）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）证明：ex+xf（ex）【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后确定切线的斜率和切点坐标即可求得切线方程；（2）首先将不等式进行恒等变形，然后构造新函数，利用导数研究新构造函数的最小
23、值即可证得题中的结论【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+），因为，所以f（1）2，则切线斜率为2，又因为f（1）1，所以切点坐标为（1，1），则切线方程为：y12（x1），化简得y2x1（2）证明：要证ex+xf（ex），即证ex+xexln（ex）0设g（x）ex+xexln（ex），则，所以g（x）在（0，+）内单调递增，又因为g（1）e+1e10，所以当x（0，1）时，单调递减；当x（1，+）时，单调递增所以g（x）g（1）e+1e10所以ex+xf（ex）22已知椭圆E：+1（ab1）的离心率为，依次连结E的四个顶点所构成的四边形面积为2，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）设F为E的右焦点，A是E上位于第一象限的点，且AFx轴，直线l平行于OA且与E交于B，C两点，设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k20【分析】（1）依题意可得：，解得a，b即可求得椭圆E的方程（2）设直线l的方程为，联立，消去y利用韦达定理即可证明k1+k2+0解：（1）依题意可得：，解得：，所以椭圆E的方程为（2）证明：由（1）的椭圆方程可求得A的坐标为，所以OA的斜率为，故设直线l的方程为，联立，消去y得：，由题意知42m20，则，且m0设点B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2m，x1x2m21， 所以k1+k2+
