1、考纲链接第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质2指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2
2、，3，10，12，13的指数函数的图象(4)体会指数函数是一类重要的函数模型3对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，12的对数函数的图象(3)体会对数函数是一类重要的函数模型(4)了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数4幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的图象，了解它们的变化情况5函数与方程 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方
3、程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数6函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2.1 函数及其表示1函数的概念一般地，设 A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有_f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个_，记作 yf(x)，xA，其中，x 叫做_，x 的取值范围 A 叫做函数的_；与 x
4、的值相对应的 y 值叫做_，其集合f(x)|xA叫做函数的_2函数的表示方法(1)解析法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法(2)图象法：就是用_表示两个变量之间的对应关系的方法(3)列表法：就是_来表示两个变量之间的对应关系的方法3构成函数的三要素(1)函数的三要素是：_，_，_.(2)两个函数相等：如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则称这两个函数相等4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数5映射的概念一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_元素 x，在集合 B 中都有_
5、元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_.(2)区别：函数是从非空数集A 到非空数集B 的映射；对于映射而言，A 和 B 不一定是数集.7.补充几个常用概念常数函数：也称常值函数，即值域是只含一个元素的集合的函数.有界函数、无界函数：值域是有界集的函数称为有界函数，否则称为无界函数.抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数.复合函数：指按一定次序把有限个函数合成得到的函数.一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，
6、y可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)，其中 yf(u)叫做复合函数 yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做复合函数 yf(g(x)的内层函数，u 称为中间变量.函数的复合是研究函数的一种工具.一方面它提供了构造各式各样新函数的方法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合.代数函数、超越函数：如果函数与其自变量的关系能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示，就称这样的函数为代数函数，否则称为超越函数.函数方程：未知量是函数的方程称为函数方程.使函数方程中的等号能够成立的函数，叫做这一函数方程的解.自查自
7、纠1唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域2(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3(1)定义域 对应关系 值域(2)定义域 对应关系5任意一个 唯一确定的6(1)映射 1.(2019湖南雅礼中学月考)下列函数为同一函数的是()A.yx22x 和 yt22tB.yx0 和 y1C.y（x1）2和 yx1 D.ylgx2 和 y2lgx 解：对于 A：yx22x 和 yt22t 的定义域都是 R，对应关系也相同，所以是同一函数；对于 B：yx0 的定义域是x|x0，而 y1 的定义域是 R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于C：y（x1）2|x1|和 yx1 的定义域都是 R
8、，但对应关系不相同，所以不是同一函数；对于 D：ylgx2 的定义域是x|x0，而 y2lgx 的定义域是x|x0，两函数的定义域不同，所以不是同一函数故选 A.2.函数 y1log2x2的定义域为()A.(0，4)B.(4，)C.(0，4)(4，)D.(0，)解：由题意得 log2x20 且 x0，解得 x(0，4)(4，)故选 C.3.(2018河南商丘第二次模拟)设函数 f(x)x21，x2，log2x，0 x2，若 f(m)3，则实数 m 的值为()A.2B.8C.1D.2解：当 m2 时，由 m213，得 m24，解得 m2；当 0m2 时，由 log2m3，解得 m238(舍去)综
9、上所述，m2.故选 D.4.函数 f(x)x1x1的值域为_.解：由题意得 f(x)x1x112x1，因为 x0，所以 02x12，所以22x10，所以112x11，故所求函数的值域为1，1)故填1，1)5.(2018定远县期末)已知函数 f(x)9，x3，x26x，x3，则不等式 f(x22x)f(3x4)的解集是_.解：当 x3 时，f(x)x26x，在(，3)上单调递增，故 f(x)9.由 f(x22x)f(3x4)，可得x22x3x4，3x43或x22x3，3x43，解得1x73或73x0，12x0，解得3x0，m24m0，解得 0m4.综上可得 0m4.故选 D.评析 求给定函数的定
10、义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助数轴，要特别注意端点值的取舍.求抽象函数的定义域：若 yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式 ag(x)b 即可求出 yf(g(x)的定义域；若 yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出 g(x)在(a，b)上的值域即得 f(x)的定义域.已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.变式 1(1)(2019衡水调研模拟二)函数 f(x)14x2ln(2x1)的定义域为_.解：要使函数 f(x)有意义，须满足4x20，2x10，解得12x0，364k（k8）0，解得 k1.故选 B.类型二 求函数的值域
11、例 2 求下列函数的值域：(1)y1x21x2；(2)y2x 1x；(3)y2x 1x2；(4)yx22x5x1；(5)f(x)|2x1|x4；(6)ysinx1x1，x2，.解：(1)解法一：(反解)由 y1x21x2，解得 x21y1y，因为 x20，所以1y1y0，解得1y1，所以函数值域为(1，1 解法二：(分离常数法)因为 y1x21x2121x2，又因为 1x21，所以 021x22，所以112x211，所以函数的值域为(1，1(2)(代数换元法)令 t 1x(t0)，所以 x1t2，所以 y2(1t2)t2t2t22t142178.因为 t0，所以 y178，故函数的值域为，17
12、8.(3)(三角换元法)令 xcost(0t)，所以 y2costsint 5sin(t)(其中 cos 15，sin 25)因为 0t，所以 t，所以 sin()sin(t)1.故函数的值域为2，5(4)解法一：(不等式法)因为 yx22x5x1（x1）24x1(x1)4x1，又因为 x1 时，x10，x1 时，x10，所以当 x1 时，y(x1)4x12 44，且当 x3，等号成立；当 x0 恒成立，所以函数的定义域为 R.由 y2x2x2x2x1，得(y2)x2(y1)xy20.当 y20，即 y2 时，上式化为 3x00，所以 x0R.当 y20，即 y2 时，因为当 xR 时，方程(
13、y2)x2(y1)xy20 恒有实根，所以(y1)24(y2)20，所以 1y5 且 y2.故函数的值域为1，5故填1，5 (4)(广东省深圳市宝安区 2020 届高三上期中)设函数 yex1exa 的值域为 A，若 A0，)，则实数 a 的取值范围是_.解：因为 ex0，所以 ex1ex2(当且仅当 ex1ex，即 x0 时取等号)，所以 yex1exa2a，即 A2a，)，因为 A0，)，所以 2a0，即 a2.故填(，2(5)函数 y（x3）216（x5）24的值域是_.解：如图，函数 y（x3）216（x5）24的几何意义为平面内 x 轴上一点 P(x，0)到点 A(3，4)和点 B(
14、5，2)的距离之和由平面解析几何知识，找出点 B 关于 x 轴的对称点 B(5，2)，连接AB交 x 轴于一点 P，此时距离之和最小，所以 ymin|AB|826210，又 y 无最大值，所以 y10，)故填10，)类型三 求函数的解析式 例 3(1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，则 f(x)_.解：(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)0，得 c0，由 f(x1)f(x)x1，得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，得 ab12.所以 f(x)12x212x.故填12x212x.(2)已知 fx1x x21x2，则 f(x)_.解：
15、(配凑法)fx1x x21x2x221x2 2x1x22，所以 f(x)x22(|x|2)故填 x22(|x|2)(3)已知 f2x1 lgx，则 f(x)_.解：(换元法)令2x1t，由于 x0，所以 t1 且 x 2t1，所以 f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)故填 lg 2x1(x1)(4)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f 1x x1，则 f(x)_.解：(消去法)在 f(x)2f 1x x1 中，将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f 1x 2f(x)1x1，由f（x）2f 1x x1，f 1x 2f（x）1x1，解得 f(x)23 x13.
16、故填23 x13.(5)已知函数 f(x)在 R 上是单调函数，且满足对任意 xR，都有 f(f(x)3x)4，则 f(2)的值是()A.4B.8C.10D.12 解：根据题意，f(x)是单调函数，且 f(f(x)3x)4，则 f(x)3x 为定值设 f(x)3xt，t 为常数，则 f(x)3xt 且 f(t)4，即有 3tt4，得 t1，则 f(x)3x1，故 f(2)10.故选 C.评析 函数解析式的求法：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法.配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便
17、得 f(x)的解析式.换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.消去法(即函数方程法)：已知 f(x)与 f 1x 或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).变式 3(1)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x)4x1，则 f(x)_.解：设 f(x)kxb(k0)，则 f(f(x)k2xkbb，所以k24，kbb1，所以k2，b13或k2，b1.故 f(x)2x13或f(x)2x1.故填 2x13或2x1.(2)已知 fx1x x21x2，则 f(x)_.解：fx1x x21x2x1x2
18、2，所以 f(x)x22.故填 x22.(3)已知 f(x1)x2 x，则 f(x)_.解：令 x1t，则 x(t1)2(t1)，代入原式得 f(t)(t1)22(t1)t21，所以 f(x)x21(x1)故填 x21(x1)(4)已知 f(x)3f(x)2x1，则 f(x)_.解：以x 代替 x 得 f(x)3f(x)2x1，所以 f(x)3f(x)2x1，代入 f(x)3f(x)2x1 可得 f(x)x14.故填x14.(5)(2018衢州期末)已知 f(x)是(0，)上的增函数，若 f(f(x)lnx)1，则 f(e)_.解：根据题意，f(x)是(0，)上的增函数，且 f(f(x)lnx
19、)1，则 f(x)lnx 为定值设 f(x)lnxt，t 为常数，则f(x)lnxt 且 f(t)1，即有 lntt1，得 t1，则 f(x)lnx1，故 f(e)lne12.故填 2.类型四 分段函数 例 4(1)(2018襄阳联考)已知函数 f(x)2x2，x1，log2（x1），x1，且 f(a)3，则 f(f(14a)_.解：当 a1 时，f(a)2a23 无解；当 a1 时，由 f(a)log2(a1)3，得 a18，解得 a7，所以f(f(14a)f(f(7)f(3)232158.故填158.(2)设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范
20、围是_.解：当 x1 时，ex12，解得 x1ln2，所以 x1.当 x1 时，x132，解得 x8，所以 1x8.综上可知 x 的取值范围是(，8故填(，8(3)(2019河南八市第一次测评)设函数 f(x)x，x1，R，2x，x1，若对任意的 aR 都有 f(f(a)2f(a)成立，则 的取值范围是()A.(0，2 B.0，2 C.2，)D.(，2)解：当 a1 时，2a2，所以 f(f(a)f(2a)22a2f(a)，所以 R；当 a1 时，f(f(a)f(a)2a，所以 a1，即 a1，由题意知(a1)max，所以 2.综上，的取值范围是2，)故选 C.评析 求分段函数的函数值，要先确
21、定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如 f(f(x0)的求值问题时，应从内到外依次求值.求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.变式 4(1)函数 f(x)sin（x2），1x0，ex1，x0满足 f(1)f(a)2，则 a 所有可能的值为()A.1 或 22B.22 C.1D.1 或 22 解：因为 f(1)e111 且 f(1)f(a)2，所以 f(a)1.当1a0 时，f(a)sin(a2)1，因为 0a21，所以 0a20，则满足f(x)fx12
22、 1 的 x 的取值范围是_.解：当 x12时，恒成立；当 0 x12时，恒成立，当 x0 时，14x0，故 x14.故填14，.(3)已知 f(x)（12a）x3a，x0，ln112a3a，所以1a12，即实数 a 的取值范围是1，12.故选 C.1.对应、映射和函数三者之间的关系对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的.对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数.也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应.2.判断两个函数是否相等判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的
23、定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同.3.函数的表示法函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数的性质需求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性.4.函数的定义域给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；另一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域).需要注意的是：(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集.(2)对于含有参数的函数求定义域
24、，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数进行分类讨论.(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集).5.求函数解析式的主要方法待定系数法、换元法、方程(组)法等.如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数 f(g(x)的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法.6.函数的值域 求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用.常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等.求函数值域的基本原则有：(1)当函数 yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合.(2)当函数 yf(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数 y 的集合.(3)当函数 yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定.(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定.
