1、规范答题示例10导数与不等式的恒成立问题典例10(12分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明:f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围审题路线图(1)(2) 规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明f(x)m(emx1)2x.1分若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,)时,emx10.4分所以f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增.6分(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x
2、)在x0处取得最小值所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是8分即设函数g(t)ette1,则g(t)et1.9分当t0时,g(t)0时,g(t)0.故g(t)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增又g(1)0,g(1)e12e1时,由g(t)的单调性,得g(m)0,即emme1;当m0,即emme1.11分综上,m的取值范围是1,1.12分第一步求导数:一般先确定函数的定义域,再求f(x)第二步定区间:根据f(x)的符号确定函数的单调性第三步寻条件:一般将恒成立问题转化为函数的最值问题第四步写步骤:通过函数单调性探求函数最值,对于最值可能在两点取到的恒成立问
3、题,可转化为不等式组恒成立.第五步再反思:查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则(1)求出导数给1分;(2)讨论时漏掉m0扣1分;两种情况只讨论正确一种给2分;(3)确定f(x)符号时只有结论无中间过程扣1分;(4)写出f(x)在x0处取得最小值给1分;(5)无最后结论扣1分;(6)其他方法构造函数同样给分跟踪演练10(2018全国)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f(x)0,得x或x.当x时,f(x)0.所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2ax10,所以x1x21,不妨设0x11.由于1a2a2a,所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x,由(1)知,g(x)在(0,)上单调递减,又g(1)0,从而当x(1,)时,g(x)0.所以x22ln x20,即a2.