1、对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用典例 1(1)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B两点，且ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为_(2)若 F1，F2 是双曲线x216
2、y291 的左、右焦点，点 M 在双曲线上，且满足|MF1|5|MF2|，则MF1F2 的面积等于_解析：(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，因为 AB 过 F1且 A，B 在椭圆上，如图，则ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又离心率 eca 22，c2 2，b2a2c28，椭圆 C 的方程为x216y281.(2)由已知，得 a216，b29，c225，所以 a4，c5.由于点 M 在双曲线上，且|MF1|5|MF2|，则 M 在右支上，根据双曲线定义有|MF1|MF2|2a8，又|MF1|5|MF2|，所以|MF1|10，
3、|MF2|2，而|F1F2|2c10，则MF1F2 为等腰三角形，取 MF2 中点为 N，则 F1NMF2，且|F1N|102123 11，从而 SMF1F21223 113 11.答案：(1)x216y281(2)3 11对点训练1抛物线 y22px(p0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()Ax1，x2，x3 成等差数列 By1，y2，y3 成等差数列Cx1，x3，x2 成等差数列 Dy1，y3，y2 成等差数列解析：选 A 如图，过 A、B、C 分别作准线的垂线，垂足分别为 A，B，C，由抛物线定
4、义得，|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x1p2，|BB|x2p2，|CC|x3p2，2x2p2 x1p2x3p22x2x1x3，选 A.2若点 M(2，1)，点 C 是椭圆x216y271 的右焦点，点 A 是椭圆上的动点，则|AM|AC|的最小值是_解析：设点 B 为椭圆的左焦点，则 B(3，0)，点 M(2，1)在椭圆内，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而 a4，|BM|（23）21 26，所以(|AM|AC|)min8 26.答案：8 261.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
5、，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素 a，b，c，e 之间的关系等2求离心率的值或取值范围的主要方法有：(1)定义法：利用 a，b，c 之间的关系以及 eca，知道 a，b，c 中任意两个可求 e.(2)方程法：建立 a 与 c 的齐次关系式，可求离心率 e.(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观典例 2 已知椭圆 x23m2 y25n21 和双曲线 x22m2 y23n21 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线
6、方程是()Ax 152 y By 152 xCx 34 y Dy 34 x解析：选 D 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，椭圆焦点(3m25n2，0)，双曲线焦点(2m23n2，0)，3m25n22m23n2，m28n2，即|m|2 2|n|.又双曲线渐近线为 y 6|n|2|m|x，将|m|2 2|n|代入上式，得 y 34 x.典例 3 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1，F2，若椭圆上存在一点 P，使得F1PF23，求椭圆离心率 e 的范围解：F1PF2 中，F1PF23，由椭圆定义及余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|co
7、s3(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，即 4c24a23|PF1|PF2|.故 4a24c23|PF1|PF2|3|PF1|PF2|223a2，由此可得离心率 e12，1.对点训练3双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A2 B.3 C.2 D.32解析：选 C 双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线方程为 ybax，依题意有baba 1，故b2a21，所以c2a2a21，即 e22，所以双曲线的离心率 e 2.4椭圆x2a2y251(a 为定值，且 a 5)的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A、B，FAB 的周长的最大值是
8、 12，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的另一个焦点为 F，则FAB 的周长|FA|AB|FB|FA|FA|FB|FB|4a.所以 4a12，a3，e a25a23.答案：235如图，已知椭圆 C1 的中心为原点 O，长轴左、右 端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设 e12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解：(1)因为 C1，C2 的离心率相同，故依题意可设 C1：x2
9、a2y2b21，C2：b2y2a4 x2a21，其中 ab0.设直线 l：xt(|t|a)，分别与 C1，C2 的方程联立，求得At，aba2t2，Bt，baa2t2.当 e12时，b 32 a，分别用 yA，yB 表示 A，B 的纵坐标，可知|BC|AD|2|yB|2|yA|b2a234.(2)t0 时的 l 不符合题意t0 时，BOAN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，即baa2t2taba2t2ta，解得 t ab2a2b21e2e2 a.因为|t|a，又 0e1，所以1e2e2 1，解得 22 e1.所以当 0e 22 时，不存在直线 l，使得 BOAN；当
10、 22e1 时，存在直线 l，使得 BOAN.求动点的轨迹方程问题主要有以下三种常用的、简单的方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求 x，y 之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标 x，y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x，y 之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程典例 4(1)已知动点 P 在曲线 2x2y0 上，则点
11、 A(0，1)与点 P 连线的中点的轨迹方程是()Ay2x2 By8x2Cy8x21 D2y8x21(2)已知两定点 F1(1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点 P 的轨迹方程是()A.x216y291 B.x216y2121C.x24 y231D.x23 y241(3)已知点 A(2，0)，B(4，0)，点 P(x，y)满足则点 P 的轨迹方程为_解析：(1)设 AP 的中点 M(x，y)，点 P(x1，y1)，由中点坐标公式，得xx12，yy112，解得x12x，y12y1.由于 P(x1，y1)在曲线 2x2y0 上，代入化简，得 2y8x2
12、1.(2)由已知 2|F1F2|PF1|PF2|4|F1F2|2，则点 P 在以 F1，F2为焦点且长轴长为 4 的椭圆上，设其轨迹方程为x2a2y2b21(ab0)，易知 2a4，c1，则 b2a2c23.故点 P 的轨迹方程为x24 y231.(3)由已知，则有（2x）2y22（4x）2y2，整理得 x2y212x200，故点 P 轨迹方程为 x2y212x200.答案：(1)D(2)C(3)x2y212x200对点训练6若动圆 P 过点 N(2，0)，且与另一圆 M：(x2)2y28相外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程解：设 P(x，y)，因为动圆 P 过点 N，所以|PN|是该圆的半径
13、 又因为动圆 P 与圆 M 外切，所以|PM|PN|2 2，即|PM|PN|2 2，故点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，实轴长为 2 2，焦距|MN|为 4 的双曲线的左支，即 a 2，c2，故 b c2a2 2，从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为x22 y221(x 2)7已知定点 A(4，0)和圆 x2y24 上的动点 B，点 P 分 AB 之比为 21，求点 P 的轨迹方程解：设点 P 的坐标为(x，y)，点 B 的坐标为(x0，y0)，即(x4，y)2(x0 x，y0y)，x42x02x，y2y02y，即x03x42，y03y2，代入圆的方程 x2y24，得3x4229y24 4，即x
14、432y2169.所求轨迹方程为x432y2169.1.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，内容涉及直线与圆锥曲线的公共点的个数、弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值等问题，题型主要以解答题的形式出现，这类问题综合性较强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合，突出考查函数与方程、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力2解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式 来进行判断，还要注意二次项系数是否为 0；涉及弦长问题时，利
15、用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化典例 5 已知椭圆 G：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，右焦点为(2 2，0)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3，2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求PAB 的面积解：(1)由已知得，c2 2，ca 63.解得 a2 3.又 b2a2c24，所以椭圆 G 的方程为x212y241.(2)设直线 l 的方程为 yxm，由yxm，x212y241，得 4x26mx3m2120.设 A，B
16、的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB 中点为 E(x0，y0)，则 x0 x1x223m4，y0 x0mm4，因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB.所以 PE 的斜率 k2m433m41，解得 m2，此时方程为 4x212x0.解得 x13，x20.所以 y11，y22.所以|AB|3 2.此时，点 P(3，2)到直线 AB：xy20 的距离 d|322|23 22，所以PAB 的面积 S12|AB|d92.对点训练8直线 ykx 与双曲线 x2y21 没有公共点，则 k 的取值范围是_解析：数形结合得 k1 或 k1.答案：(，11，)9已知直线 l：y(
17、a1)x1 与曲线 C：y2ax 恰有一个公共点，求实数 a 的值解：联立方程y（a1）x1，y2ax，当 a0 时，此方程组恰有一组解x1，y0，当 a0 时，消去 x，得a1a y2y10.()若a1a 0，即 a1，方程变为一元一次方程y10.方程组恰有一组解x1，y1.()若a1a 0，即 a1，令 0，得 14（a1）a0，可解得 a45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点 综上所述，当 a0，1，45时，直线与曲线 y2ax 只有一个公共点.1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是
18、通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明2圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决典例 6 如图所示，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，A1、A2 为椭圆 C 的左、右顶点(1)设 F1 为椭圆 C 的左焦点，证明：当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；(2)若椭圆 C
19、上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1，求椭圆 C 的标准方程；(3)若直线 l：ykxm 与(2)中所述椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点)，且满足 AA2BA2，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)证明：设点 P 的坐标为(x，y)，令 f(x)|PF1|2(xc)2y2.又点 P 在椭圆 C 上，故满足x2a2y2b21，则 y2b2b2a2x2.代入 f(x)得，f(x)(xc)2b2b2a2x2c2a2x22cxa2，则其对称轴方程为 xa2c，由题意，知a2c a 恒成立，f(x)在区间a，a上单调递增当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的
20、左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值(2)由已知与(1)得：ac3，ac1，a2，c1.b2a2c23.椭圆 C 的标准方程为x24 y231.(3)证明：如图所示，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykxm，x24 y231，得(34k2)x28mkx4(m23)0，则 64m2k216(34k2)(m23)0，即 34k2m20，x1x2 8mk34k2，x1x24（m23）34k2.又 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23（m24k2）34k2.椭圆的右顶点为 A2(2，0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20.y1y2x1x22(
21、x1x2)40.即3（m24k2）34k24（m23）34k2 16mk34k240.7m216km4k20，解得 m12k，m22k7，且均满足 34k2m20.当 m12k 时，l 的方程为 yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾 当 m22k7 时，l 的方程为 ykx27，直线过定点27，0.综上，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.典例 7 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，椭圆上两点 A，B 坐标分别为 A(a，0)，B(0，b)，若ABF2 的面积为 32，BF2A120.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点
22、 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 M，N 两点，证明：点 O 到直线 MN 的距离为定值解：(1)由题意易知 a2c，b 3c，S2ABF 12(2cc)3c 32 c2 32，所以 c1，a2，b 3，所以椭圆方程为x24 y231.(2)证明：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线 MN 的斜率不存在时，MNx 轴，MNO 为等腰直角三角形，所以|y1|x1|，又x214 y2131，解得|x1|127 2 217，即 O 到直线 MN 的距离 d2 217.当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ykxm，与椭圆x24 y231 联立消去 y 得(34
23、k2)x28kmx4m2120，所以 x1x2 8km34k2，x1x24m21234k2，因为 OMON，所以 x1x2y1y20，所以 x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(k21)x1x2km(x1x2)m20，所以(k21)4m21234k2 8k2m234k2m20，整理得 7m212(k21)所以 O 到直线 MN 的距离 d|m|1k2127 2 217.综上，点 O 到直线 MN 的距离为定值对点训练10已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线 x24 2y 的焦点是它的一个焦点，又点 A(1，2)在该椭圆上(1)求椭圆 E 的方程；(2)若斜率为 2的直线
24、l 与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，当ABC 面积为最大值时，求直线 l 的方程解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，2)，故设椭圆方程为y2a2x2a221.将点 A(1，2)代入方程，得 2a21a221，整理得 a45a240，解得 a24 或 a21(舍去)，故所求椭圆方程为y24x22 1.(2)设直线 BC 的方程为 y 2xm，设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简，得 4x22 2mxm240，由 8m216(m24)8(8m2)0，可得 m28.(*)又 x1x2 22 m，x1x2m244，故|BC|3|x1x2|3 162m22.又点 A 到 BC
25、的距离为 d|m|3.故 SABC12|BC|d m2（162m2）4 14 22m2（162m2）2 2，当且仅当 2m2162m2，即 m2 时取等号(满足(*)式)，S取得最大值 2，此时直线 l 的方程为 y 2x2.在解决平面向量与解析几何的综合问题时，应注意以下两点：一是注意在题目中，用向量表达式表述的题目条件的转化与翻译，能准确地将一些向量表达式表示的关系，在几何图形中反映出来二是善于用向量的方法和向量的运算解决几何问题，例如：证明直线的平行与垂直问题时，可以通过向量的共线和数量积运算解决，研究角的大小、范围问题时，可以通过数量积的坐标运算来实现等典例 8 已知椭圆的中心在原点，
26、焦点在 x 轴上，离心率为 32，过点 M(1，0)的直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点(1)若直线 l 的斜率为 1，且求椭圆的标准方程；(2)若(1)中椭圆的右顶点为 A，直线 l 的倾斜角为，问 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值解：(1)由 e 32，得c2a234，即 a24b2，故椭圆方程为 x24y24b2，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由，得 y135 y2，由yx1，x24y24b2消去 x，得 5y22y14b20，y1y225，y1y214b25，由此得 b21，a24，故椭圆方程为x24 y21.(2)当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 yk(x1
27、)，代入椭圆方程，得 x24k2(x1)24，即(14k2)x28k2x4k240，则x1x2 8k214k2，x1x24k2414k2，所以(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(1k2)x1x2(k22)(x1x2)4k2 33k214k2 331k24334.当直线 l 的斜率不存在，即 90时，334，因此当 90时，取得最大值，最大值为334.对点训练11如图，平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|2，P 为该平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 的直线交
28、轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 N，已知，求证：12 为定值解：(1)法一：如图，以线段 FM 的中点为原点O，以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy，则 F(0，1)，设动点 P 的坐标为(x，y)，则动点 Q 的坐标为(x，1)，由，得动点 P 的轨迹方程为 x24y.法二：所以，动点 P 的轨迹 C 是抛物线，以线段 FM 的中点为原点 O，以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy，可得轨迹 C 的方程为x24y.(2)设直线 AB 的方程为 ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N2k，1.联立方程x24y，ykx1，消去 y，得 x24kx40，因为(4k)2160，所以x1x24k，x1x24.得，x12k1x1，x22k2x2，整理得，11 2kx1，21 2kx2，1222k1x1 1x2 22kx1x2x1x2 22k 4k40.故 12 为定值 0.
