1、第三节平面向量的数量积与应用举例【知识重温】一、必记4个知识点1平面向量的数量积的定义(1)已知两个_a、b，过O点作a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的_.很显然，当且仅当两非零向量a、b同方向时，_，当且仅当a、b反方向时，_，特别地，0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题(2)如果a，b的夹角为90，则称a与b垂直，记作_.(3)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos 叫做a与b的数量积记作ab，即ab_.规定0a0.当ab时，90，这时_0.(4)ab的几何意义ab等于a的长度与b在a的方向上的_.2向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则aeea_.(2
2、)ab_且ab0_.(a，b为非零向量)(3)aa_，|a| _.(4)cosa，b_.(5)|ab|_|a|b|.3数量积的运算律(1)交换律ab_.(2)分配律(ab)c_.(3)对R，(ab)_.4数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则(1)ab_.(2)ab_.(3)|a|_.(4)cosa，b_.二、必明2个易误点1若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，若向量a，b，c满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量2数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)【小题热身】一、判断正误1
3、判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数量积是一个向量()(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab|b|，且a与b同向，则abB|ab|a|b|C|ab|a|b|D|ab|a|b|3若e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则a2e1e2与b3e12e2的夹角为()A30B60C120D150三、易错易混4已知a，b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.四、走进高考62020
4、全国卷设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.考点一平面向量的数量积自主练透型1已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则|_；_.22019全国卷已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2D332021南昌市高三年级摸底测试卷已知ABC中，AB4，AC3，A，BC的中点为M，等于()A. B11 C12 D1542021重庆第一中学月考已知非零向量a，b，c满足abc0，a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a，c的数量积为()A0 B2a2 C2a2 Da2考点二平面向量数量积的性质(高频考点)互动讲练型考向一：平面向量的模例1(1)2021惠州市高三调研考试
5、试题平面向量a与b的夹角为，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A2B.C0D2(2)2021河北省九校高三联考试题已知两个不相等的非零向量a，b满足|a|1，且a与ba的夹角为60，则|b|的取值范围是()A(0，) B，1)C，) D(1，)考向二：平面向量的夹角例2(1)2020全国卷已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab()A B C. D.(2)2021山西省八校高三联考已知向量a(1,2)，单位向量b满足b(ab)，则向量a，b的夹角为_考向三：平面向量的垂直与平行例3(1)2020全国卷已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_.(2)20
6、21贵阳市适应性考试已向量a(1,2)，b(m，1), 若a(ab)，则ab()A. B C. D悟技法平面向量数量积应用的技巧1求两向量的夹角，cos ，要注意0，2两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.3求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.变式练(着眼于举一反三)12021广东省七校联合体高三联考试题已知向量a、b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|ab|()A. B. C
7、2 D.22021福州市高三毕业班适应性练习卷已知两个单位向量e1，e2，若(e12e2)e1，则e1，e2的夹角为()A. B. C. D.32021黄冈中学，华师附中等八校联考已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，若ab与b垂直，则()A1 B1 C2 D2考点三平面向量与三角函数的综合应用互动讲练型例42021福建泉州模拟已知函数 f(x)de，其中d(2cos x，sin 2x)，e(cos x,1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c
8、的值悟技法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等.变式练(着眼于举一反三)42017江苏卷已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值第三节平面向量的数量积与应用举例【知识重温】 非零向量夹角0180ab|a|b|cos ab投影的乘积|a|co
9、sa，eab0ab|a|2baacbc(a)ba(b)0 【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析：对于A：向量不能比较大小，故A错误；对于B：由向量运算的三角形法则，可得B正确；对于C：ab|a|b|cos ，则必有|ab|a|b|，C错误；对于D：由向量运算的三角形法则，有|ab|a|b|，D错误答案：B3解析：由题意知e1e211cos 60.ab6ee1e22e62.|a|，|b| ，cosa，b.a与b的夹角为120.答案：C4解析：根据向量数量积的定义可知，若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0，所以“ab0”是“a与b的夹
10、角为锐角”的必要不充分条件，故选B.答案：B5解析：方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.答案：26解析：由|ab|1，得|ab|21，即a2b22ab1，而|a|b|1，故ab，|ab|.答案：课堂考点突破考点一1解析：解法一如图，在正方形ABCD中，由()得点P为BC的中点，|，() 11cos 1801.解法二()，P为BC的中点，以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，|，(0，1)，(2
11、,1)，(0，1)(2,1)1.答案：12解析：因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选C.答案：C3解析：解法一因为M为BC的中点，所以()，则()2843cos 11，故选B.解法二如图，以A为坐标原点，AC所在的直线为x轴，过点A与AC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(3,0)，B(2,2)因为M为BC的中心，所以M(，)，所以(，)，(2，2)，所以2211，故选B.答案：B4解析：由非零向量a，b，c满足abc0，可得c(ab)，所以aca(ab)a2aba2|a|b|cosa，b由于a，b的夹角为120，且|b|2|a|，所以
12、aca2|a|b|cos 120|a|22|a|20.故选A.答案：A考点二例1解析：(1)因为|a|2，|b|1，平面向量a与b的夹角为，所以ab21cos 21，所以|a2b|2，选D.(2) 如图所示，设a，ba，则b.因为a与ba的夹角为60，所以BAC60，则OAB120，则B为射线AD上的动点(不包括点A)，又|a|1，即|1，所以由图可知，|b|1，故选D.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)由题意得cosa，ab.故选D.(2)由b(ab)得ab|b|2，|b|1，ab，又|a|，cos ，而0，向量a，b的夹角.答案：(1)D(2)例3解析：(1)因为(kab)aka2ab
13、0，且单位向量a，b的夹角为45，所以k0，即k.(2)通解依题意得ab(m1,1)由a(ab)得(m1)2110，m，abm2，选B.优解由a0，及a(ab)得ab，因此ba，aba2.选B.答案：(1)(2)B变式练1解析：|ab|，故选A.答案：A2解析：因为(e12e2)e1，所以(e12e2)e10，所以e2e2e1，所以cos e1，e2，又e1，e20，所以e1，e2，故选B.答案：B3解析：由已知得ab(4，32)，因为ab与b垂直，所以(ab)b0, 即(4，32)(4，2)0，所以416640，解得2，故选D.答案：D考点三例4解析：(1)f(x)de2cos2 xsin
14、2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)因为f(A)12cos1，所以cos1.又2A，所以2A，即A.因为a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.因为向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，所以2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由可得b3，c2.变式练4解析：(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.
