1、核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P34P37 的内容，回答下列问题观察教材 P34图 2.11 和图 2.12.(1)直线 yx 上任一点 M 到两坐标轴的距离相等吗？到两坐标轴距离相等的点都在直线 yx 上，对吗？提示：(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：(3)圆(xa)2(yb)2r2 上任一点 M 到点(a，b)的距离都是r 吗？到点(a，b)的距离为 r 的点都在圆(xa)2(yb)2r2上，对吗？提示：相等；不对到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 y|x|都是 r；对(4)到定点(a，b)的距离为定长 r 的点的轨迹方程是什么？提示：2归纳总结，核
2、心必记(1)曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：曲线上都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(xa)2(yb)2r2点的坐标(2)求曲线的方程的步骤问题思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，会出现什么情况？举例说明提示：(2)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，那么点 P(x0，y0)在曲线C 上的充要条件是什么？提示：如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的
3、点都在曲线上”，有可能扩大曲线的边界如方程 y 1x2表示的曲线是半圆，而非整圆若点 P 在曲线 C 上，则 f(x0，y0)0；若 f(x0，y0)0，则点 P 在曲线 C 上，所以点 P(x0，y0)在曲线C 上的充要条件是 f(x0，y0)0 课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)什么是曲线的方程，方程的曲线？；(2)如何求曲线的方程？思考 若方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程，应满足什么条件？名师指津：(1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0的解；(2)以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都是曲线上的点讲一讲1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点
4、 A(2，0)平行于 y 轴的直线与方程|x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系尝试解答(1)过点 A(2，0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解；但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2，0)且平行于 y 轴的直线上因此，|x|2 不是过点 A(2，0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程 xy5 的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5
5、的点的轨迹方程不是 xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0；反之，以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0.判断“方程是不是指定曲线的方程”，“曲线是不是所给方程的曲线”时，主要依据就是“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，二者缺一不可即一方面要证明曲线上任意一点的坐标都是方程的解，另一方面又要证明以这个方程的解为坐标的点都在这条曲线上练一练1命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程 f(x，y)0 的曲线是 CB方
6、程 f(x，y)0 的曲线不一定是 CCf(x，y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析：选 B“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0的解”，但“以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上，故 A、C、D 都不正确，B 正确2下列命题不正确的有_以坐标原点为圆心，半径为 2 的圆的方程是 y 4x2；方程(xy1)x2y240表示的曲线是一个圆或一条直线；点 A(4，3)，B(3 2，4)，C(5，2 5)都在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上解析：不对以坐标原点为圆心，半径为 2 的圆的方程应是 x2y24，而
7、y 4x2表示的只是圆的一部分不对由(xy1)x2y240，得xy10，x2y240 或 x2y240，则该方程表示的是一个圆或两条射线 不对把点 A(4，3)的坐标代入方程 x2y225，满足方程，且点 A 的横坐标满足 x0，则点 A 在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上把点 B(3 2，4)的坐标代入方程 x2y225.(3 2)2(4)23425，点 B 不在方程所表示的曲线上 尽管点 C 的坐标满足方程，但是点 C 的横坐标5 不满足 x0的条件，故点 C 不在曲线 x2y225(x0)上 答案：讲一讲2已知方程 x2(y1)210.(1)判断点 P(1，2)，Q(2，3)是否
8、在此方程表示的曲线上；(2)若点 Mm2，m 在此方程表示的曲线上，求 m 的值；(3)求该方程的曲线与曲线 x30 的交点的坐标尝试解答(1)12(21)210，(2)2(31)2610，P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，Q(2，3)不在此曲线上(2)Mm2，m 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，m22(m1)210，解得 m2 或 m185.(3)联立x2（y1）210，x30，将 x30 化为 x3，代入 x2(y1)210，解得 y0 或 y2，即方程组的解为x3，y0或x3，y2.因此两曲线的交点坐标是(3，0)和(3，2)(1)判断点是否在某个方程表示的
9、曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题(3)求两条曲线的交点的坐标，就是联立两条曲线的方程构成方程组，求解方程组，方程组的解就是交点的坐标，方程组的解的个数就是两曲线交点的个数练一练3若曲线 x2y2xy3xa0 经过点(2，1)，则实数 a 的值等于_解析：依题意，点(2，1)的坐标适合曲线的方程，所以22122132a0，解得 a1.答案：1讲一讲3设 M，N 两点的坐标分别是(0，2)和(0，2)，若动点 P 满足条件：P 与 M，
10、N 两点连线的斜率之积等于1，求动点 P 的轨迹方程(链接教材 P36例 3)尝试解答 设 P(x，y)，则直线 PM 的斜率 kPMy2x，直线PN 的斜率 kPNy2x，由已知可得 kPMkPN1，即y2x y2x 1，所以y24x2 1，整理得 x2y24.又因为在 kPMy2x 以及 kPNy2x 中，应有 x0，所以动点 P 的轨迹方程为 x2y24(x0)(1)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就可得到曲线的轨迹方程，这就是直接法求动点的轨迹方程(2)求动点的轨迹方程时，如果已知条件中
11、没有坐标系，则应首先建立坐标系，建立坐标系的方式不同，得到的轨迹方程可能也不同(3)求动点的轨迹方程时，还要注意题目中的隐含条件，根据隐含条件，对方程中变量 x，y 的取值进行必要的限制(4)本讲中容易漏掉条件 x0 而导致错误事实上，当 x0时，对应的曲线上的点为(0，2)和(0，2)与 M 或 N 恰好重合，这时直线 PM 或 PN 的斜率不存在，不符合题意因此在求轨迹方程时，要注意检查是否存在不符合要求的点练一练4已知在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，点 A(1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点 C 的轨迹方程解：如图，设 C(x，y)，(x1)(x1)y20.化简得 x2y
12、21.A、B、C 三点要构成三角形，A、B、C 不共线，y0，点 C 的轨迹方程为 x2y21(y0)讲一讲4已知圆 O：x2y24，点 A(3，5)，点 M 在圆 O 上移动，且点 P 满足，求点 P 的轨迹方程尝试解答 设 P(x，y)，M(x0，y0)因为(x3，y5)，(x03，y05)，且，所以(x3，y5)13(x03，y05)所以x313x01，y513y053，即x03x6，y03y10.因为点 M(x0，y0)在圆 O 上，所以 x20y204，即(3x6)2(3y10)24，即(x2)2y103249.故动点 P 的轨迹方程为(x2)2y103249.(1)在有些问题中，动
13、点满足的条件不方便直接用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)运动的如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关点法)(2)用代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤如下：设点：设被动点坐标 G(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)求关系式：求出两个动点之间的关系x1f（x，y），y1g（x，y）.代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程练一练5已知ABC，A(2，0)，B(0，2)，第三个顶点 C 在曲线 y3x21 上移动，求ABC 的重心的轨迹方程解：
14、设ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式，得x20 x13，y02y13，故x13x2，y13y2.因为点 C(x1，y1)在曲线 y3x21 上移动，所以 y13x211，即 3y23(3x2)21.所以 y9x212x3 即为所求轨迹方程课堂归纳感悟提升1本节课的重点是轨迹方程的求法，难点是对曲线方程定义的理解 2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用直接法求轨迹方程，见讲 3.(2)利用代入法(相关点法)求轨迹方程，见讲 4.3轨迹方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 f(x，y)0 化成 x，y 的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点 4“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状
