1、第一节集 合【考纲下载】 1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集7能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算1元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作aA；若b不属于集合A，记作bA.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集及其符号
2、表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NNZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中AB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB且BAAB3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA4.空集(1)空集是任何集合的子集，A；(2)空集是任何非空集合的真子集，A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)A，AA.1集合Ax|x20，Bx|
3、yx2，Cy|yx2，D(x，y)|yx2相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A是以方程x20的解为元素的集合，即A0；B是函数yx2的定义域，即BR；C是函数yx2的值域，即Cy|y0；D是抛物线yx2上的点组成的集合2集合，0，中有元素吗？与0是同一个集合吗？提示：是不含任何元素的集合，即空集0是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.是含有一个元素的集合与0不是同一个集合3若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？提示：有2n个子集，2n1个真子集1(2013北京高考)已知集合A1,0,1，Bx|1x1，则AB() A0 B1,0
4、C0,1 D1,0,1解析：选B因为A1,0,1，Bx|1x1，所以AB1,02(2013重庆高考)已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，则U(AB)()A1,3,4 B3,4 C3 D4解析：选D因为AB1,2,3，U1,2,3,4，所以U(AB)43(教材习题改编)设A1,1,5，Ba2，a24，AB5，则实数a的值为()A3 B1 C1 D1或3解析：选D因为AB5，所以a25或a245.当a25时，a3；当a245时，a1，又a1时，B1,5，而此时AB1,55，故a1或3.4满足0,1,2A0,1,2,3,4,5的集合A的个数为_解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含
5、有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于3,4,5的非空子集的个数，即为2317.答案：75设集合Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为_解析：阴影部分是ARB.集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案：x|1x2考点一集合的基本概念 例1(1)(2013山东高考)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9(2)已知Aa2，(a1)2，a23a3，若1A，则实数a构成的集合B的元素个数是()A0 B1 C2 D3自主解答(1)当x0时，y0,1,2，此时xy的值分别为0，1，2；当x1时，y0,1,2，此时x
6、y的值分别为1,0，1；当x2时，y0,1,2，此时xy的值分别为2,1,0.综上可知，xy的可能取值为2，1,0,1,2，共5个(2)当a21时，a1，此时A1,0,1，不合题意，故a1；当(a1)21时，a0或a2.若a0，则A2,1,3，符合题意；若a2，则A0,1,1，不符合题意；当a23a31时，(a1)(a2)0，即a1或a2.由知，不符合题意综上可知a0，即实数a构成的集合B只有1个元素答案(1)C(2)B【互动探究】若将本例(1)中的集合B更换为B(x，y)|xA，yA，xyA，则集合B中有多少个元素？解：当x0时，y0；当x1时，y0或y1；当x2时，y0,1,2.故集合B(
7、0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，即集合B中有6个元素 【方法规律】 解决集合的概念问题应关注两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么如本例(1)中集合B中的元素为实数xy，在“互动探究”中，集合B中的元素为点(x，y)(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性1已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2 015_.解析：因为MN，所以或即或故(mn)2 0151或0.答案：1或02已知集合A，且2A,3A，则实数a的取值范围是_
8、解析：因为2A，所以0，即(2a1)(a2)0，解得a2或a.若3A，则0，即(3a1)(a3)0，解得a3或a，所以3A时，a3. 由可知，实数a的取值范围为(2,3答案：(2,3考点二集合间的基本关系 例2(1)(2014西安模拟)已知Mx|xa0，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值为()A1 B1 C1或1 D0或1或1(2)已知集合Ax|x1或x4，Bx|2axa3，若BA，则实数a的取值范围为_自主解答(1)因为MNN，所以NM.当a0时，N，M0，满足MNN；当a0时，Ma，N，所以a，即a1.故实数a的值为0，1.图1(2)当B时，只需2aa3，即a3；当B时，根据题意作出如
9、图所示的数轴，可 得图2 或解得a4或2a3.综上可得，实数a的取值范围为(，4)(2，)答案(1)D(2)(，4)(2，)【方法规律】根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解， 此时需注意端点值能否取到1Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是()Aa|a2 Ba|a2 Ca|a1 Da|a1解析：选A借助数轴可知a2，故选A.2若集合Ax|x2a
10、x10，xR，集合B1,2，且AB，则实数a的取值范围是_解析：若A，则a240，解得2a2；若1A，则12a10，解得a2，此时A1，符合题意；若2A，则222a10，解得a，此时A，不合题意综上所述，实数a的取值范围为2,2)答案：2,2)高频考点考点三 集合的基本运算 1有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题2高考对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集间的交、并、补运算；(2)连续型数集间的交、并、补运算；(3)已知集合的运算结果求集合；(4)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)例3(1)(2012山东高考)已知全
11、集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4(2)(2013浙江高考)设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)T()A(2,1 B(，4 C(，1 D1，)(3)(2010辽宁高考)已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3 B3,7,9 C3,5,9 D3,9(4)(2012天津高考)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.自主解答(1)由题意知UA0,4，又B2,4，(UA)B0,2,4(2)RSx|x2，
12、又Tx|4x1，故(RS)Tx|x1(3)法一：因为AB3，所以3A，又因为(UB)A9，所以9A，故选D.法二：如图所示，得A3,9，故选D.(4)AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.答案(1)C(2)C(3)D(4)11集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合借助数轴或Venn图求解；(4)根据集合运算求参数先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解1(2014抚州模拟)已知集合M1，0,1，N0,1,2
13、，则如图所示的Venn图中的阴影部分所表示的合为() A0,1 B1,0,1 C1,2 D1,0,1,2解析：选C由图可知，阴影部分为x|xMN且xMN，又MN1,0,1,2，MN0,1，所以x|xMN且xMN1,22(2014厦门模拟)已知集合A1,2,3，BA3，BA1,2,3,4,5，则集合B的子集的个数为()A6 B7 C8 D9解析：选C由题意知B3,4,5，集合B含有3个元素，则其子集个数为238.3(2014日照模拟)设集合Ax|x22x30，Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D(1，)解析：选BAx|x22x30x|x1
14、或x3，因为函数yf(x)x22ax1的对称轴为xa0，f(3)6a80，根据对称性可知，要使AB中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)0且f(3)0，即所以即a.课堂归纳通法领悟1组转化集合运算与集合关系的转化在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如ABABAABBUAUBA(UB)，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程2种技巧集合的运算技巧(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍(2)两个有限集合相等
15、，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相同求解就不方便，这时就根据两个集合相等的定义求解，即如果AB，BA，则AB.3个注意点解决集合问题应注意的问题(1)认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件(2)注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误(3)防范空集在解决有关AB，AB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解 前沿热点(一)以集合为载体的创新型问题1以集合为载体的创新型问题，是高考命题
16、创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力2解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化为熟知的基本运算求解典例(2013广东高考)设整数n4，集合X1,2,3，n令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A(y，z，w)S，(x，y，w)SB(y，z，w)S，(x，y，w)SC(y，z，w)S，(x，y，w)SD(y，z，w)S，(x，y，w)S解题指导先要理解新定义
17、集合S中元素的性质：(1)x，y，zX；(2)xyz，yzx，zxy恰有一个成立，然后根据已知集合中的两个元素(x，y，z)和(z，w，x)，分别讨论x，y，z，w之间的大小关系，进而检验元素(y，z，w)和(x，y，w)是否满足集合S的性质特征解析法一(直接法)：由(x，y，z)S，则有xyz，yzx，zxy，三个式子中恰有一个成立；由(z，w，x)S，则有zwx，wxz，xzw，三个式子中恰有一个成立配对后只有四种情况：第一种，成立，此时wxyz，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S；第二种，成立，此时xyzw，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S；第三种，成立，此时yzwx，于是(y
18、，z，w)S，(x，y，w)S；第四种，成立，此时zwxy，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S.综上所述，可得(y，z，w)S，(x，y，w)S.法二(特殊值法)：不妨令x2，y3，z4，w1，则(y，z，w)(3,4,1)S，(x，y，w)(2,3,1)S.答案B名师点评解决本题的关键有以下两点：(1)准确理解集合S的性质：xyz，yzx，zxy恰有一个成立，把已知集合的两个元素和要判断的两个元素的大小关系进行分类讨论(2)紧扣新定义集合的性质，结合不等式的性质，通过分类讨论或特殊值法，把问题转化为熟悉的知识进行求解有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两
19、个集合元素个数的多少例如，对于集合A1,2,3，n，与B2,4,6，2n，我们可以设计一种方法得出A与B的元素个数一样多的结论类似地，给出下列4组集合：A1,2,3，n，与B31,32,33，3n，；A(0,2与B3，)；A0,1与B0,3；Ax|1x3与Bx|x8或0x10其中，元素个数一样多的有()A1组 B2组 C3组 D4组解析：选D可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数，使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合y3x(xN*)；y(0x2)；y3x(0x1)；y综上，元素个数一样多的有4组全盘巩固1(2013新课标全国卷)已知集合Mx|(x1)25a，a3；当B2时
20、，解得a3，综上所述，实数a的取值范围为a|a3冲击名校1(2014青岛模拟)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B若A1,2，Bx|(x2ax)(x2ax2)0，且A*B1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C(S)()A4 B3 C2 D1解析：选B由A1,2，得C(A)2，由A*B1，得C(B)1或C(B)3.由(x2ax)(x2ax2)0，得x2ax0或x2ax20.当C(B)1时，方程(x2ax)(x2ax2)0只有实根x0，这时a0.当C(B)3时，必有a0，这时x2ax0有两个不相等的实根x10，x2a，方程x2ax20必有两个相等的实根，且异于x10，x2a，由
21、a280，得a2，可验证均满足题意，故S2，0,2，C(S)3.2(2014海淀模拟)已知集合M为点集，记性质P为“对(x，y)M，k(0,1)，均有(kx，ky)M”给出下列集合：(x，y)|x2y；(x，y)|2x2y21；(x，y)|x2y2x2y0；(x，y)|x3y3x2y0其中具有性质P的点集的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选B对于：取k，点(1,1)(x，y)|x2y，但(x，y)|x2y，故是不具有性质P的点集对于：(x，y)(x，y)|2x2y21，则点x，y在椭圆2x2y21内部，所以对0k1，点(kx，ky)也在椭圆2x2y21的内部，即(kx，ky)(x，y)|2x2y21，故是具有性质P的点集对于：2(y1)2，点在此圆上，但点不在此圆上，故是不具有性质P的点集对于：(x，y)(x，y)|x3y3x2y0，对于k(0,1)，因为(kx)3(ky)3(kx)2(ky)0x3y3x2y0，所以(kx，ky)(x，y)|x3y3x2y0，故是具有性质P的点集综上，具有性质P的点集的个数为2.
