1、广东2021届高三数学5月卫冕联考试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=-2,-1,0,1,2,3 ， B=x|x2-4x0 ，则 AB= （ ） A.0,1,2,3B.1,2,3C.0,1,2D.-1,1,2,32.复数 z=1-i31+2i 的虚部为（ ） A.-15iB.15iC.-15D.153.“ a0,b0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，M是C的渐近线上一点， |F1F2|=|MF2| ， F1F2M=120 ，则双曲线C的离心率为（ ） A.52B.72C.32D.38.已知函数 f(x) 的定义域为 R ， f(5)=4 ， f(x+3) 是偶函数，任意
2、x1,x23,+) 满足 f(x1)-f(x2)x1-x20 ，则不等式 f(3x-1)lny0 ，则下列结论正确的是（ ） A.1x(13)yC.logyxlogxyD.x2+4y(x-y)811.已知函数 f(x)=23sinxcosx+sin2x-cos2x ，则下列结论正确的是（ ） A.f(x) 的图象关于点 (512,0) 对称B.f(x) 在 4,2 上的值域为 1,2C.若 f(x1)=f(x2)=2 ，则 x1-x2=2k ， kZD.将 f(x) 的图象向右平移 6 个单位长度得 g(x)=-2cos2x 的图象12.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 为正三棱柱，且 AA1
3、=2 ， AB=23 ， D 是 B1C1 的中点，点 P 是线段 A1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A.正三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球的表面积为 20B.若直线 PB 与底面 ABC 所成角为 ，则 sin 的取值范围为 77,12C.若 A1P=2 ，则异面直线 AP 与 BC1 所成的角为 4D.若过 BC 且与 AP 垂直的截面 与 AP 交于点 E ，则三棱锥 P-BCE 的体积的最小值为 32三、填空题（共4题；共20分）13.二项式 (x2+1)(2x-1)7 的展开式中的常数项为_. 14.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长 l 与
4、太阳天顶距 (080) 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度 l 等于表高 h 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 l=htan .若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记 1 ， 2 )，则 tan(1-2)= _. 15.若函数 f(x)=2x-2-2m,x12x3-6x2,x1 有最小值，则 m 的一个正整数取值可以为_. 16.已知抛物线 x2=8y 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 是 l 上一点，过点 P 作 PF 的垂线交 x 轴的正半轴于点 A ， AF 交抛物线于点 B ， PB 与 y 轴平行，则 |
5、FA|= _. 四、解答题（共6题；共70分）17.在条件 2a+c=2bcosC ， sinA=5314 ， bsin2A-asinAcosC=12csin2A ， a=7b ， (2tanB+tanA)sinA=2tanBtanA ， 2c=3b 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c=3 ， ， 求 ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2=20 ， Sn=4n2+kn . （1）求数列 an 的通项公式； （2）若数列
6、bn 满足 b1=3 ， bn-bn-1=an-1(n2) ，求数列 1bn 的前 n 项和 Tn . 19.如图所示，在三棱台 ABC-A1B1C1 中， BCBB1 ， ABBB1 ， AB=BC=BB1=2A1B1 ， D ， E 分别为 CC1 ， A1B1 的中点. （1）证明： DE/ 平面 AB1C ； （2）若 ABC=120 ，求平面 AB1C 和平面 A1B1C 所成锐二面角的余弦值. 20.某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m(m100,400)，得到下图的频率分布直方图.并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m150m350100m
7、b0) 的离心率为 32 ，椭圆 C 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P(4,2) ，且 PF1F2 的面积为 26 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点 (2,0) 的直线 l 与椭圆C相交于 A ， B 两点，直线 PA ， PB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，当 k1k2 最大时，求直线 l 的方程. 22.已知函数 f(x)=ln(x+m)-xe-x . （1）若 f(x) 的图象在点 (1,f(1) 处的切线与直线 x-2y=0 平行，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当 x0 时， f(x)0 ； （3）当 m1 时，求 f(x) 的零点个数. 答案解析
8、部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合 A=-2,-1,0,1,2,3 ， B=x|x2-4x0 ，则 AB= （ ） A.0,1,2,3B.1,2,3C.0,1,2D.-1,1,2,3【答案】 B 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】由不等式 x2-4x=x(x-4)0 ，解得 0x4 ，即 B=x|0x4 ， 又由 A=-2,-1,0,1,2,3 ，所以 AB=1,2,3 .故答案为：B. 【分析】 可以求出集合B,然后进行交集的运算即可.2.复数 z=1-i31+2i 的虚部为（ ） A.-15iB.15iC.-15D.15【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】
9、【解答】由复数的运算法则，可得 z=1-i31+2i=1+i1+2i=(1+i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=35-15i ， 所以复数 z 的虚部为 -15 .故答案为：C. 【分析】 根据复数的四则运算进行化简，然后根据虚部的定义即可得到结论.3.“ a0 ，解得 a5所以“ a8 ”是“ a0 ，解得 a5 ，所以“ a8 ”是“ a0 ，排除C.故答案为：D. 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，排除A、B；代入特殊值，可排除C，即可得出答案。5.在梯形 ABCD 中， AB/CD ， AB=4CD ， M 为 AD 的中点， BM=BA+BC ，则 += （ ） A.98B.5
10、8C.54D.32【答案】 A 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】连接 BD ，因为 M 为 AD 的中点，所以 BM=12BA+12BD ， 因为 BD=BC+CD=BC+14BA ，所以 BM=12BA+12(BC+14BA)=58BA+12BC ，所以 +=58+12=98 .故答案为：A. 【分析】连接 BD ，得到BM=12BA+12BD ，进而得到BM=12BA+12(BC+14BA)=58BA+12BC ， 得到，的值，即可求解。6.核酸检测分析是用荧光定量 PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标 DNA 实时监测，在
11、PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时， DNA 的数量 Xn 与扩增次数 n 满足 lgXn=nlg(1+p)+lgX0 ，其中 p 为扩增效率， X0 为 DNA 的初始数量.已知某被测标本 DNA 扩增 10 次后，数量变为原来的 100 倍，那么该样本的扩增效率 p 约为（ ） (参考数据： 100.21.585 ， 10-0.20.631 )A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631【答案】 C 【考点】对数的运算性质 【解析】【解答】由题意知， lg(100X0)=10lg(1+p)+lgX0 ， 即 2+lgX0=10lg(1+p)+lgX0 ，所以 1+p
12、=100.21.585 ，解得 p0.585 .故答案为：C. 【分析】由 lgXn=nlg(1+p)+lgX0 得2+lgX0=10lg(1+p)+lgX0 ，从而可求出p的值。7.已知双曲线C： x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，M是C的渐近线上一点， |F1F2|=|MF2| ， F1F2M=120 ，则双曲线C的离心率为（ ） A.52B.72C.32D.3【答案】 B 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】设 M(m,n) ， F1(-c,0) ， F2(c,0) ， 由对称性不妨设点 M 在第一象限，可知点 M 在直线 y=bax 上，因
13、为 |F1F2|=|MF2| ， F1F2M=120 ，所以 m=2c ， n=3c ，将 M(2c,3c) 代入 y=bax ，得 ba=32 ，所以双曲线 C 的离心率 e=1+b2a2=72 .故答案为：B. 【分析】由对称性不妨设点 M 在第一象限，可知点 M 在直线 y=bax 上，将 M(2c,3c) 代入 y=bax ，得 ba=32 ， 即可得出双曲线 C 的离心率.8.已知函数 f(x) 的定义域为 R ， f(5)=4 ， f(x+3) 是偶函数，任意 x1,x23,+) 满足 f(x1)-f(x2)x1-x20 ，则不等式 f(3x-1)0 ，所以 f(x) 在 3,+)
14、 上单调递增，在 (-,3) 上单调递减，故 f(3x-1)4 等价于 13x-15 ，解得 23xlny0 ，则下列结论正确的是（ ） A.1x(13)yC.logyxlogxyD.x2+4y(x-y)8【答案】 A,C,D 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点，基本不等式 【解析】【解答】因为 lnxlny0 ，可得 xy1 ，所以 1x1y ，所以A符合题意； 又由函数 y=(13)x 为单调递减函数，所以 (13)xlogyy=1 ， logxylogxy ，所以C项正确；由 y(x-y)y+(x-y)22=x24 ，所以 x2+4y(x-y)x2+16x28 ，
15、当且仅当 x=2 ， y=1 时等号成立，所以D项正确.故答案为：ACD. 【分析】由对数函数的单调性即可判断A、C；由指数函数的单调性即可判断B；由基本不等式可判断D。11.已知函数 f(x)=23sinxcosx+sin2x-cos2x ，则下列结论正确的是（ ） A.f(x) 的图象关于点 (512,0) 对称B.f(x) 在 4,2 上的值域为 1,2C.若 f(x1)=f(x2)=2 ，则 x1-x2=2k ， kZD.将 f(x) 的图象向右平移 6 个单位长度得 g(x)=-2cos2x 的图象【答案】 B,D 【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数
16、的定义域和值域，函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】由题得， f(x)=23sinxcosx+sin2x-cos2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6) ， 令 x=512 ，则 2x-6=23 ， f(512)=3 ，A项错误，当 x4,2 时， 2x-63,56 ， f(x)=2sin(2x-6)1,2 ，B项正确，因为 f(x) 的周期 T=22= ，所以若 f(x1)=f(x2)=2 ，则 x1-x2=k ， kZ ，C项错误，将 f(x) 的图象向右平移 6 个单位长度得 g(x)=f(x-6)=2sin(2x-2)=-2cos2x 的图象，D项正确.故答
17、案为：BD. 【分析】 首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论.12.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 为正三棱柱，且 AA1=2 ， AB=23 ， D 是 B1C1 的中点，点 P 是线段 A1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A.正三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球的表面积为 20B.若直线 PB 与底面 ABC 所成角为 ，则 sin 的取值范围为 77,12C.若 A1P=2 ，则异面直线 AP 与 BC1 所成的角为 4D.若过 BC 且与 AP 垂直的截面 与 AP 交于点 E ，则三棱锥 P-
18、BCE 的体积的最小值为 32【答案】 A,D 【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，异面直线及其所成的角 【解析】【解答】选项 A ：因为 ABC 外接圆的半径 r=3323=2 ， AA1=2 ，所以正三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球的半径 R=4+1=5 ，所以外接球的表面积为 4R2=20 ，故 A 项正确； 选项 B ：取 BC 的中点 F ，连接 DF ， AF ， BD ， A1B ，由正三棱柱的性质可知平面 AA1DF 平面 ABC ，所以当点 P 与 A1 重合时， 最小，当点 P 与 D 重合时， 最大，所以 sin12,277 ，故 B 错
19、误；选项 C ：将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则 GAP (或其补角)为异面直线 AP 与 BC1 所成的角，易得 AG=GP=4 ， AP=22 ，所以 GAP4 ，故 C 项错误；选项 D ：如图所示，因为 VP-ABC=13234(23)2=23 ，所以要使三棱锥 P-BCE 的体积最小，则三棱锥 E-ABC 的体积最大，设 BC 的中点为 F ，作出截面如图所示， 因为 AP ，所以 E 在以 AF 为直径的圆上，所以点 E 到底面 ABC 距离的最大值为 322312=32 ，所以三棱锥 P-BCE 的体积的最小值为 23-133234(23)2=32 ，故 D 项正确.故答案为
20、：AD. 【分析】根据正三棱柱体的结构特征，逐项进行分析，即可得出答案。三、填空题（共4题；共20分）13.二项式 (x2+1)(2x-1)7 的展开式中的常数项为_. 【答案】 -561 【考点】二项式定理 【解析】【解答】二项式 (2x-1)7 展开式的通项为： Tr+1=C7r(2x)7-r(-1)r=(-1)rC7r27-rxr-72 ，则二项式 (x2+1)(2x-1)7 的展开式中的常数项为：(-1)3C7324+(-1)7C7720=-561 ，故答案为：-561. 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.14.我国古代数学家僧一行应用
21、“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长 l 与太阳天顶距 (080) 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度 l 等于表高 h 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 l=htan .若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记 1 ， 2 )，则 tan(1-2)= _. 【答案】-17【考点】两角和与差的正切公式 【解析】【解答】由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得 tan1=2 ， tan2=3 ， 所以 tan(1-2)=tan1-tan21+tan1tan2=2-31+23=-17 .故答案为： -17 . 【
22、分析】由题意可得 tan1=2 ， tan2=3 ，再结合两角差的正切公式求解即可。15.若函数 f(x)=2x-2-2m,x-2m ；当 x1 时， y=2x3-6x2 ，此时， y=6x2-12x=6x(x-2) . y=2x3-6x2 在 (1,2) 上单调递减，在 (2,+) 上单调递增， y=2x3-6x2 在 1,+) 上的最小值为 -8 ，函数有最 f(x) 有最小值，则 -2m-8 ，即 m4 ，故 m 的一个正整数取值可以为4.故答案为：4 【分析】先求导函数，确定函数的单调区间，再利用 y=2x3-6x2 在 1,+) 上的最小值为 -8 ，求出m4 ，故 m 的一个正整数
23、取值可以为4.16.已知抛物线 x2=8y 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 是 l 上一点，过点 P 作 PF 的垂线交 x 轴的正半轴于点 A ， AF 交抛物线于点 B ， PB 与 y 轴平行，则 |FA|= _. 【答案】 6 【考点】两点间的距离公式，抛物线的简单性质 【解析】【解答】由抛物线 x2=8y 的方程，可得焦点为 F(0,2) ，准线方程为 y=-2 ， 设 P(m,-2) ，则 kPF=-4m ，因为 PFPA ，所以 kPA=m4 ，直线 PA ： y+2=m4(x-m) ，令 y=0 ，得 x=8m+m ，即 A(8m+m,0) ，设 B(m,m28) ，由
24、F ， A ， B 三点共线，得 m28-2m=-28m+m ，整理得 m4+8m2-128=0 ，解得 m=22 或 -22 (舍)，所以 A(42,0) ，所以 |FA|=22+(42)2=6 .故答案为：6 【分析】由抛物线 x2=8y 的方程，可得焦点为 F(0,2) ，准线方程为 y=-2 ，设 P(m,-2) ，B(m,m28) ，由 F ， A ， B 三点共线，得 m28-2m=-28m+m ，再利用两点间的距离公式即可求出 |FA|。四、解答题（共6题；共70分）17.在条件 2a+c=2bcosC ， sinA=5314 ， bsin2A-asinAcosC=12csin2
25、A ， a=7b ， (2tanB+tanA)sinA=2tanBtanA ， 2c=3b 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c=3 ， ， 求 ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】 选择：由 2a+c=2bcosC 及正弦定理，得 2sinA+sinC=2sinBcosC . 又 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ，所以有 2cosBsinC+sinC=0 .因为 C(0,) ，所以 sinC0 .从而有 cosB=-12 .又 B(0,
26、) ，所以 B=23 ，因为 sinA=5314 ， B=23 ，由正弦定理得 bsinB=asinA ，所以 ba=75 ，不妨设 b=7k ， a=5k(k0) ，由余弦定理得 49k2=9+25k2-235k(-12) ，解得 k=1 ，所以 a=5 .所以 SABC=123532=1534 .选择：因为 bsin2A-asinAcosC=12csin2A ，由正弦定理可得 sinBsin2A-sin2AcosC=12sin2AsinC ，即 2sinBsinAcosA=sin2AcosC+sinAcosAsinC .又因为 A(0,) ， sinA0 ，所以 2sinBcosA=sin
27、AcosC+cosAsinC=sinB ，所以 cosA=12 ，所以 A=3 .因为 a=7b ， c=3 ，所以由余弦定理得 7b2=b2+9-2b312 ，解得 b=1 ，所以 SABC=121332=334 .选择：因为 (2tanB+tanA)sinA=2tanBtanA ，所以 2sinBcosB+sinAcosA=2sinBcosAcosB ，即 2cosAsinB+cosBsinA=2sinB ，由正弦定理得 2bcosA+acosB=2b ，由余弦定理可得 2bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=2b ，整理得 3c2+b2-a2=4bc ，因为 c=32b ，
28、 c=3 ，所以 b=2 ， a=7 ，所以 cosA=4+9-712=12 ，所以 A=3 .所以 SABC=122332=332 .【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】 若选:由正弦定理，余弦定理可求 cosB=-12 ， 结合范围 B(0,) ， 可求 B=23 ， 由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可得解; 若选:由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 cosA=12 ，结合范围 A(0,) ,可得 A=3 ， 由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解; 若选:由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得s cosA=4+9-712=12 ， 进而可求 A=3
29、 ， 利用余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解.18.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2=20 ， Sn=4n2+kn . （1）求数列 an 的通项公式； （2）若数列 bn 满足 b1=3 ， bn-bn-1=an-1(n2) ，求数列 1bn 的前 n 项和 Tn . 【答案】 （1）由题意，数列 an 的前 n 项和为 Sn=4n2+kn ， 可得 S1=4+k ， S2=16+2k ，因为 a2=20 ，所以 16+2k-(4+k)=20 ，解得 k=8 ，所以 a1=S1=12 ， Sn=4n2+8n ，因为当 n2 时， Sn-1=4(n-1)2+8
30、(n-1) ，所以 an=Sn-Sn-1=4n2+8n-4(n-1)2-8(n-1)=8n+4 .当 n=1 时，符合上式，所以数列 an 的通项公式为 an=8n+4 .（2）由（1）知 an-1=8n-4 ，可得 bn-bn-1=8n-4(n2) ， 所以 b2-b1=12 ，b3-b2=20 ，b4-b3=28 ，bn-bn-1=8n-4 ，所以 bn-b1=12+20+28+8n-4=(n-1)(12+8n-4)2=4n2-4 ，又由 b1=3 ，可得 bn=4n2-1(n2) ，当 n=1 时， b1=3 ，满足上式，所以 bn=4n2-1 .所以 1bn=14n2-1=1(2n-1
31、)(2n+1)=12(12n-1-12n+1) ，所以 Tn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1 .【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】 (1)由数列递推式得到 数列an的通项公式； (2)利用累加法求得bn,取倒数后由裂项相消法求得数列1bn的前n项和Tn.19.如图所示，在三棱台 ABC-A1B1C1 中， BCBB1 ， ABBB1 ， AB=BC=BB1=2A1B1 ， D ， E 分别为 CC1 ， A1B1 的中点. （1）证明： DE/ 平面 AB1C ； （2）若 ABC=120 ，求平面 AB1C 和平面 A1
32、B1C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明：取 AA1 的中点 F ，连接 DF ， EF ， 由三棱台的性质知四边形 ACC1A1 是梯形，因为 F 是 AA1 的中点， D 是 CC1 的中点.所以 DF/AC ，因为 DF 平面 ACB1 ， AC 平面 ACB1 ，所以 DF/ 平面 AB1C ，因为 E 是 A1B1 的中点， F 是 AA1 的中点所以为 EF/AB1 ，因为 EF 平面 ACB1 ， AB1 平面 ACB1 ，所以 EF/ 平面 AB1C ，又 EFDF=F ，所以平面 DEF/ 平面 AB1C ，因为 DE 平面 DEF ，所以 DE/ 平面 AB1C
33、 .（2）因为 ABBB1 ， BCBB1 ， ABBC=B ， 所以 BB1 平面 ABC ，在平面 ABC 内过 B 点作 BGBC 交 AC 于 G ，则 BC ， BG ， BB1 两两垂直，以 B 为原点， BC ， BB1 ， BG 的方向为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设 BC=2 ，则 B(0,0,0) ， B1(0,2,0) ， C(2,0,0) ， A(-1,0,3) ， A1(-12,2,32) ，设平面 AB1C 的法向量 n=(x1,y1,z1) ，因为 CA=(-3,0,3) ， B1C=(2,-2,0) ，所以由 CAn=0,B1Cn=0
34、, 得 -3x1+3z1=0,2x1-2y1=0,取 y1=1 ，得 n=(1,1,3) ，设平面 A1B1C 的法向量 m=(x2,y2,z2) ，因为 B1C=(2,-2,0) ， B1A1=(-12,0,32) ，所以由 B1A1m=0,B1Cm=0, 得 -x2+3z2=0,2x2-2y2=0,取 x2=3 ，得 m=(3,3,1) ，设平面 AB1C 和平面 A1B1C 所成锐二面角为 ，则 cos=|cosn,m|=3357=310535 .故平面 AB1C 和平面 A1B1C 所成锐二面角的余弦值为 310535 .【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】
35、【分析】（1） 取AA1的中点F ， 连接DF ， EF ， 由三棱台的性质知四边形ACC1A1是梯形，得 DF/AC ，根据线面平行的判定定理可得 DF/平面AB1C ，同理可得 EF/平面AB1C ， 再根据面面平行的判定定理可得平面DEF/平面AB1C， 再利用面面平行的性质定理可得DE/平面AB1C ； （2） 以B为原点，BC ， BB1 ， BG的方向为x ， y ， z轴的正方向建立空间直角坐标系， 利用向量法可求出平面AB1C和平面A1B1C所成锐二面角的余弦值 。20.某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m(m100,400)，得到下图的频率分布
36、直方图.并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m150m350100mb0) 的离心率为 32 ，椭圆 C 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P(4,2) ，且 PF1F2 的面积为 26 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点 (2,0) 的直线 l 与椭圆C相交于 A ， B 两点，直线 PA ， PB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，当 k1k2 最大时，求直线 l 的方程. 【答案】 （1）设椭圆C： x2a2+y2b2=1(ab0) 的焦点为 F1(-c,0) ， F2(c,0) ， 由点 P(4,2) ，且 PF1F2 的面积为 26 ，可得 122c2=26 ，解
37、得 c=6 ，又由 ca=32 ，可得 a=22 ，所以 b=a2-c2=2 ，所以椭圆C的标准方程为 x28+y22=1 .（2）当直线 l 的斜率为0时，则 k1k2=24-2224+22=12 ； 当直线 l 的斜率不为0时，设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，直线 l 的方程为 x=my+2 ，由 x2+4y2=8x=my+2 ，整理得 (m2+4)y2+4my-4=0 ，则 y1+y2=-4mm2+4 ， y1y2=-4m2+4 ，又 x1=my1+2 ， x2=my2+2 ，所以 k1k2=2-y14-x12-y24-x2=(2-y1)(2-y2)(2-my1)(2-my
38、2)=4-2(y1+y2)+y1y24-2m(y1+y2)+m2y1y2=4-2(-4mm2+4)+(-4m2+4)4-2m(-4mm2+4)+m2(-4m2+4)=m2+2m+32m2+4=12+2m+12m2+4 ，令 t=2m+1 ，当 t=0 时， k1k2=12 ；当 t0 时， k1k2=12+2tt2-2t+9=12+2t+9t-21 ，当且仅当 t=3 ，即 m=1 时，取等号，所以所求直线 l 的方程为 x-y-2=0 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）由 PF1F2的面积为26求得 c=6 ， 再根据离心率求得 a=22 ，进而求得 b=a2-c2=
39、2 ， 即可求得椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率为0时，则k1k2=24-2224+22=12 ；当直线l的斜率不为0时，设A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 直线l的方程为x=my+2 ， 由x2+4y2=8x=my+2 ， 整理得(m2+4)y2+4my-4=0 ， 由韦达定理可得 y1+y2=-4mm2+4 ， y1y2=-4m2+4 ， k1k2=2-y14-x12-y24-x2=(2-y1)(2-y2)(2-my1)(2-my2)=m2+2m+32m2+4=12+2m+12m2+4 ， 令t=2m+1，当t=0时，k1k2=12；当t0时，k1k2=12+2tt2-2
40、t+9=12+2t+9t-21，即可求得直线l的方程。22.已知函数 f(x)=ln(x+m)-xe-x . （1）若 f(x) 的图象在点 (1,f(1) 处的切线与直线 x-2y=0 平行，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当 x0 时， f(x)0 ； （3）当 m1 时，求 f(x) 的零点个数. 【答案】 （1）因为 f(x) 的图象在点 (1,f(1) 处的切线与直线 x-2y=0 平行， 所以 f(1)=12 ，因为 f(x)=1x+m+(x-1)e-x ，所以 f(1)=11+m=12 ，解得 m=1 .（2）由（1）得当 m=1 时， f(x)=1x+1+(x-1
41、)e-x=ex+x2-1(x+1)ex ， 当 x0 时，因为 f(x)0 ，所以 f(x) 在 (0,+) 上单调递增，因为 f(0)=0 ，所以 f(x)0 在 (0,+) 上恒成立.（3）由（2）可知当 m1 且 x0 时， f(x)ln(x+1)-xe-x0 ， 即 f(x) 在 (0,+) 上没有零点，当 x(-m,0) 时， f(x)=1x+m+(x-1)e-x=ex+x2+(m-1)x-m(x+m)ex ，令 g(x)=ex+x2+(m-1)x-m ， x(-m,0) ，则 g(x)=ex+2x+m-1 单调递增，且 g(-m)=e-m-2m+m-1=e-m-m-10 ，所以 g
42、(x) 在 (-m,0) 上存在唯一零点，记为 x0 ，且 x(-m,x0) 时， g(x)0 ，所以 g(x) 在 (-m,x0) 上单调递减，在 (x0,0) 上单调递增，因为 m1 ，所以 g(-m)=e-m0 ， g(0)=1-m0 ，因为 g(x0)g(0) ，所以 g(x0)0 ； x(x1,0) 时， g(x)0 ，所以 f(x) 在 (-m,0) 上至多有一个零点，取 x2=-m+e-mem(-m,0) ，则有 f(x2)0时，因为f(x)0 ， 所以f(x)在(0,+)上单调递增， 可证得； （3） 由（2）可知当m1且x0时，f(x)ln(x+1)-xe-x0 ， 对函数求导， 令g(x)=ex+x2+(m-1)x-m ， x(-m,0) ，对函数求导可得单调性， 由零点存在定理可知f(x)在(-m,0)上只有一个零点，又f(0)不为0，所以f(x)在(-m,+)上只有一个零点.
