1、江苏省如东高级中学2018-2019学年高二数学上学期第二次月考试题（含解析）一、填空题1.命题“ ，sinx1”的否定是_命题（填“真”或“假”） 2.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_ 3.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在2000，3500）范围内的人数为_ 4.若 是不等式 成立的充分不必要条件,则实数 的范围是_. 5.运行如图所示的伪代码，其结果为_ 6.已知双曲线 的离心率为 ，则C的渐近线方程为_ 7.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容
2、量为500的样本其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是_ 8.已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为_ 9.若椭圆 的离心率 ，则k的值为_. 10.已知 是直线， 是平面，给出下列命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 内不共线的三点到 的距离都相等，则 ；若 ，且 ，则 ；若 为异面直线， ，则 。则其中正确的命题是_（把你认为正确的命题序号都填上） 11.抛物线 上的点 到焦点的距离为5，则 的值为 _ 12.如图,用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为 的鸡蛋(
3、视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为_ 13.在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 是棱 上的动点，若点 为线段 上的动点，则 的最小值为_ 14.设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，其焦距为 ，点 在椭圆的内部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是_ 二、解答题15.设命题 :实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 （1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围 16.如图，在直三棱柱 中， 分别为棱 的中点，且 （1）求证：平面 平面 ； （2）求证： 平面 . 17.已知菱形
4、的边长为2， ， 四边形 是矩形，且 平面 ， （1）求证： 平面 ； （2）设 中点为 ，求证 平面 18.椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点. （1）求 的值； （2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范围. 19.某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G ， 且G在P的右侧，MNP为灯光区，用于美化环境. （1）若学校的另一条道路EF满足OE=3，tanOEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于 ，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭
5、圆 ( )的面积为 ) （2）若椭圆的离心率为 ，要求灯光区的周长不小于 ，求PG的取值范围. 20.已知椭圆C： ，圆Q（x2）2+（y ）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0， ）到椭圆C的右焦点的距离为 （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作互相垂直的两条直线l1.l2 ， 且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求MAB的面积的取值范围 答案解析部分一、填空题 1.【答案】假 【考点】全称命题 【解析】【解答】解：命题“ ，sinx1”是真命题， 故它的否定是假命题，故答案为：假【分析】根据命题和命题的否定的真假关系结合三角函数判断即可2.【答案】 【考
6、点】极差、方差与标准差 【解析】【解答】平均值为 ，所以方差为 . 【分析】求出平均数，结合方差的计算公式，即可得到该组数据的方差.3.【答案】 700 【考点】频率分布直方图 【解析】【解答】 内的频率为 ，故人数为 人. 【分析】根据频率分布直方图求出相应的频率，即可得到人数.4.【答案】 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】不等式可转化为 ，解得 ，由于 是 的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到 . 【分析】通过解不等式，结合充分必要条件，得到集合间的关系，即可求出实数m的取值范围.5.【答案】 【考点】伪代码 【解析】【解答】伪代码用于计算 .故结果为
7、. 【分析】根据未打码语句，依次计算，即可得到相应的结果.6.【答案】 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：因为双曲线C： 的离心率为 ， 所以 ，则C的渐近线方程为 【分析】根据双曲线的离心率确定a，b和c的关系，即可求出双曲线的渐近线方程.7.【答案】 7500 【考点】分层抽样方法 【解析】【解答】设总人数为 ，则分层抽取比例为 ，而大一，大二共抽取300人，且大一，大二的总人数为 ，所以 得 【分析】设出总人数，根据分层抽取比例，即可确定该校学生总人数.8.【答案】 12 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】由己知正六棱锥的高为 ，底面面积为 ，所以 . 【分析】
8、根据正六棱锥的几何特征，求出底面积和高，即可得到几何体的体积.9.【答案】 0或 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】由题意得： ，即 或 ， 【分析】根据椭圆的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出k的值.10.【答案】 【考点】平面与平面之间的位置关系 【解析】【解答】对于，由于 可能相交，故错误.对于，由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故正确. 如下图所示， 三个点不共线，它们到 的距离都相等，当时两个平面相交，故错误.对于，由于 两条直线不一定相交，所以无法判断两个平面平行，故错误.对于命题等价于平面内两条相交直线和另一个平面平行，可以推出面面平行，故正确.综上所述，正确的是.
9、【分析】根据空间平面与平面的位置关系，逐一判断即可.11.【答案】 【考点】抛物线的定义 【解析】【解答】根据抛物线的定义可知 ，故 ，所以抛物线方程为 ，当 时， . 【分析】根据抛物线的定义，求出p，得到抛物线的方程，代入即可求出m的值.12.【答案】 【考点】简单组合体的结构特征 【解析】【解答】根据球的体积公式，有 .题目所给图中，虚线的小正方形的边长为 ，其一半为 ，四个等腰直角三角形斜边上的高为 .画出截面图形如下图所示，其中 ，故 .所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 . 【分析】根据球的体积求出半径，作出截面图形，结合平面图形的特点，即可求出鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离
10、.13.【答案】 【考点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】作出 关于直线 的对称点 ，过 作 的垂线，交 于 ，交 与 ，过 作 ，交 于 ，连接 .画出图像如下图所示， 由于 ，故 为最短的距离.在三角形 中，设 ，则 ，而 ，故 ，所以 ，所以 . 【分析】根据几何体的结构特征，结合余弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系，即可求出相应的最小值.14.【答案】 【考点】椭圆的定义 【解析】【解答】解： 点Q（c， ）在椭圆的内部， ，2b2a2a22c2 |PF1|+|PQ|=2a|PF2|+|PQ|又因为|QF2|+|PQ|PQ|PF2|QF2|，且|QF2|= ，要|PF1|+|PQ|
11、5|F1F2|恒成立，即2a|PF2|+|PQ|2a+ 52c, ， ，则椭圆离心率的取值范围是 故答案为： 【分析】根据点在椭圆内部，确定a和b的大小关系，结合椭圆的定义，即可求出离心率的取值范围。二、解答题 15.【答案】 （1）解：当 时，由 ，得 由 ，得 ，所以 由pq为真，即p ， q均为真命题，因此 的取值范围是 （2）解：若p是q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件， 由题意可得 ， , 所以 ，因此 且 ，解得 【考点】复合命题的真假 【解析】【分析】（1）将a=1代入，通过解不等式确定命题p和q，结合为真，则p和q均为真命题，即可求出实数x的取值范围； （2）结合充
12、分必要性，解不等式组，即可得到实数a的取值范围.16.【答案】 （1）证明：因为 为棱 的中点，且 ， 所以 ，因为 是直三棱柱，所以 ，因为 ，所以 ， 又因为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以平面 （2）证明：取 的中点 ，连接 和 ， 因为 为棱 的中点，所以 ，且 ，因为 是棱柱，所以 ，因为 为棱 的中点，所以 ，且 ， 所以 ，且 ，所以 是平行四边形， 所以 ，又因为 ，所以 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到面面垂直； （2）根据线面平行的判定定理，证明平面内一条直线与平面外一条直线平行，即可得到
13、线面平行.17.【答案】（1）证明： 平面 /平面 /平面 （2）证明：因为 中点为 ，则由 ， 且计算可得： ， 又 ，所以， , 又 ，所以 平面 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）根据面面平行的判定定理，证明 平面 /平面 ADE，即可证明AG/平面 ；（2）根据线面垂直的判定定理，证明直线AG与平面CEF内两条相交直线垂直即可.18.【答案】 （1）解：设 ，由于 ，故 ，而 代入上式化简得 . ，由韦达定理得 代入化简得 .（2）解： 由（1）知 .长轴 2a .【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）设 由OP
14、OQ 可得 结合 可得 ，将y=1-x代入椭圆方程即可得 再利用韦达定理得出 进而得出 的值。 （2）由及可求a得范围，进而得出椭圆长轴的取值范围。19.【答案】 （1）解：因为 ，所以直线 的斜率为 ， 所以 所在的直线方程为 。因为椭圆上任意一点到道路 的距离都小于 ，所以椭圆最大面积时与一条平行于 且距离为 的直线相切，设直线 ，由两条直线之间的距离为 ，所以 ，解得 或 （舍弃）设椭圆方程为 ，由于 得到 因为直线与椭圆相切，所以 ，解得 ，所以椭圆方程为 ，所以椭圆分面积为 。（2）解：设椭圆方程为 ， 因为椭圆的离心率为 ，所以 ，所以 。所以椭圆方程为 设 ，则灯光区的周长 由题
15、意 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，又因为 在 的右侧，所以 ，所以 所以 的取值范围是 。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据正切值求出直线的斜率，得到直线的方程，结合两平行线间的距离公式，解方程求出m的值，将直线方程与椭圆方程联立，结合直线与圆相切，判别式为0，得到a即可求出椭圆的方程，得到相应的面积； （2）根据椭圆方程，结合椭圆离心率，求出a，得到椭圆方程，表示相应的函数，采用换元法，求出t的范围，即可得到线段PG的取值范围.20.【答案】 （1）解：圆 ： 的圆心为 ， 代入椭圆方程可得 ，由点 到椭圆 的右焦点的距离为 ，即有 ，解得 ，即 ，解得 ， ，即
16、有椭圆方程为 （2）解：依题意知直线 斜率必存在，当斜率为0时，直线 ： ， 代入圆的方程可得 ，可得 的坐标为 ，又 ，可得 的面积为 ；当直线 斜率不为0时设直线 ： ，代入圆 的方程可得 ，可得中点 ， ，此时直线 的方程为 ，代入椭圆方程，可得： ，设 ， ，可得 ， ，则 ，可得 的面积为 ，设 （ ），可得 ，可得 ，且 ，综上可得， 的面积的取值范围是 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据圆的方程，得到圆心坐标，代入，解方程组即可得到椭圆的标准方程； （2）设出直线斜率，表示直线方程，代入圆的方程，得到M的坐标，表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求出面积的取值范围.
