1、第7讲 空间角的计算 课标要求考情风向标1.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用在近年高考中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局.一直以来立体几何解答题都是让广大考生又喜又忧.为之而喜是只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a
2、与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_.(0，902.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0.90(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.3.二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二
3、面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做_.直二面角4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.1.若 a(1，2，3)是平面的一个法向量，则下列向量中能)B作为平面的法向量的是(A.(0，1，2)C.(1，2，3)B.(3，6，9)D.(3，6，8)解析：向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线.2.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 的法向量为1，12，2，则 m()A.4 B.6 C.
4、8 D.8解析：l，平面 的法向量为1，12，2，(2，m,1)1，12，2 212m20.m8.C3.已知平面上的两个向量 a(2，3，1)，b(5，6，4)，)则平面的一个法向量为(A.(1，1,1)C.(2,1,1)B.(2，1,1)D.(1,1，1)解析：显然 a 与 b 不平行，设平面 的法向量为 n(x，y，z)，则an0，bn0.2x3yz0，5x6y4z0.令 z1，得 x2，y1.n(2,1,1).C4.如图 8-7-1，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABBC2，AA11，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为_.图 8-7-1105考点 1 线面所成
5、角的计算例 1：(1)(2018 年浙江)如图 8-7-2，已知多面体 ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.证明：AB1平面 A1B1C1；求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值.图 8-7-2方法一，证明：由 AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得 AB1A1B12 2，A1B21AB21AA21.故 AB1A1B1.由 BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，得 B1C1 5，由 ABBC2，ABC120，得 AC2 3，由 CC1AC，得 AC1 13，AB21B1
6、C21AC21，故 AB1B1C1.又 A1B1B1C1B1，因此 AB1平面 A1B1C1.解：如图 D93，过点 C1 作 C1DA1B1，交直线 A1B1 于点D，连接 AD.图 D93由 AB1平面 A1B1C1 得平面 A1B1C1平面 ABB1，由 C1DA1B1，得 C1D平面 ABB1，C1AD 是 AC1 与平面 ABB1 所成的角.由 B1C1 5，A1B12 2，A1C1 21，得cosC1A1B1 67，sinC1A1B1 17，C1D 3，故 sinC1ADC1DAC1 3913.因此，直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 3913.方法二，证明：如图
7、D94，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.图 D94由题意知各点坐标如下：A(0，3，0)，B(1,0,0)，A1(0，3，4)，B1(1,0,2)，C1(0，3，1)，因此AB1(1，3，2)，A1B1(1，3，2)，A1C1(0,2 3，3).由AB1 A1B1 0，得 AB1A1B1.由AB1 A1C1 0，得 AB1A1C1.又 A1B1A1C1A1，AB1平面 A1B1C1.解：设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为.由(1)可知AC1(0,2 3，1)，AB(1，3，0)，BB1(0,0,2)，设平面
8、ABB1 的法向量 n(x，y，z).由nAB0，nBB1 0，即x 3y0，2z0，可取 n(3，1,0).sin|cosAC1，n|AC1 n|AC1|n|3913.因此，直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 3913.(2)(2018 年天津)如图 8-7-3，在四面体 ABCD 中，ABC是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，求证：ADBC；求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.图 8-7-3AB2，AD2 3，BAD90.证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB，AD
9、AB，可得 AD平面 ABC，故 ADBC.解：如图 D95，取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND.图 D95M 为棱 AB 的中点，MNBC.DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角.在 RtDAM 中，AM1，DM AD2AM2 13.AD平面 ABC，故 ADAC.在 RtDAN 中，AN1，DN AD2AN2 13.在等腰DMN 中，MN1，可得cosDMN12MNDM 1326.异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 1326.解：如图 D95，连接 CM.ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，故 CMAB，CM 3.又平面 ABC平面 ABD，CM平面
10、 ABC，CM平面 ABD.CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角.在 RtCAD 中，CD AC2AD24.在 RtCMD 中，sinCDMCMCD 34.直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 34.【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然
11、后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.考点 2 面面所成角的计算例 2：(1)(2019 年新课标)如 图 8-7-4，直 四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.证明：MN平面 C1DE；求二面角 A-MA1-N 的正弦值.图 8-7-4证明：连接 B1C，ME.M，E 分别为 BB1，BC 的中点，MEB1C，且 ME12B1C.又N 为 A1D 的中点，ND12A1D.由题设知 A1B1 綉 DC，可得 B1C 綉 A1D，故 ME 綉 ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，
12、MNED.又 MN平面 EDC1，MN平面 C1DE.图 D96解：由BAD60，四边形 ABCD 是菱形，得 DEDA.以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图 D96所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，3，2)，N(1,0,2)，A1A(0,0，4)，A1M(1，3，2)，A1N(1,0，2)，MN(0，3，0).设 m(x，y，z)为平面 A1MA 的法向量，则mA1M 0，mA1A 0，x 3y2z0，4z0.可取 m(3，1,0).设 n(p，q，r)为平面 A1MN 的法向量，则nMN 0，nA1N 0，3q0，p2
13、r0.可取 n(2,0，1).于是 cosm，n mn|mn|2 32 5 155，二面角 A-MA1-N 的正弦值为 105.(2)(2019 年新课标)如图 8-7-5，长方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.证明：BE平面 EB1C1；若 AEA1E，求二面角 B-EC-C1 的正弦值.图 8-7-5证明：由已知，得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE.又 BEEC1，B1C1EC1C1，BE平面 EB1C1.解：由(1)知BEB190.由题设知 RtABE RtA1B1E，AEB45，故 AE
14、AB，AA12AB.建立如图 D97 所示的空间直角坐标系 D-xyz，以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，|DA|为单位长，图 D97则 C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，CB(1,0,0)，CE(1，1,1)，CC1(0,0,2).设平面 EBC 的法向量为 n(x，y，x)，则 CB n0，CEn0，即x0，xyz0，可取 n(0，1，1).设平面 ECC1 的法向量为 m(p，q，r)，则CC1 m0，CEm0，即2r0，pqr0.可取 m(1,1,0).于是 cosn，m nm|n|m|12.二面角 B-EC-C1 的正弦值为 3
15、2.【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.难点突破利用空间向量求空间角例题：(2018 年北京)如图 8-7-6，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1图 8-7-6(1)求证：AC平面 BEF；(2)求二面角 B-CD-C1 的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交.的中点，ABBC 5，ACAA12.(1)证明：
16、在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1 为矩形.又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点，ACEF.ABBC，ACBE，AC平面 BEF.(2)解：由(1)知 ACEF，ACBE，EFCC1.又 CC1平面 ABC，EF平面 ABC.BE平面 ABC，EFBE.如图 8-7-7 建立空间直角坐标系 E-xyz.图 8-7-7由题意得 B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1).CD(2,0,1),CB(1,2,0)，设平面 BCD 的法向量为 n(a，b，c)，nCD 0，nCB0，2ac0，a2b0，令 a
17、2，则 b1，c4，平面 BCD 的法向量 n(2，1，4).又平面 CDC1 的法向量为EB(0,2,0)，cosnEB nEB|n|EB|2121.由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，二面角 B-CD-C1 的余弦值为 2121.(3)证明：平面 BCD 的法向量为 n(2，1，4)，G(0,2,1)，F(0,0,2)，GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交.GF(0，2,1)，nGF 2，n 与GF 不垂直，【跟踪训练】如图 8-7-8，已知多面体 P-ABCDE 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形，PA 底面 ABCD，EDPA，且 PA
18、2ED2.(1)证明：平面 PAC 平面 PCE；(2)若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角P-CE-D 的余弦值.图 8-7-8(1)证明：如图 D98，连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 中点为 F，连接 OF，EF.图 D98O，F 分别为 AC，PC 的中点，OFPA，且 OF12PA.DEPA，且 DE12PA，OFDE，且 OFDE.四边形 OFED 为平行四边形，ODEF，即 BDEF.PA 平面 ABCD，BD平面 ABCD，PA BD.四边形 ABCD 是菱形，BDAC.PA ACA，BD平面 PAC.BDEF，EF平面 PAC.EF平面 PCE，
19、平面 PAC 平面 PCE.(2)解法一：直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45，PCA45，ACPA 2，AC，ABABC 为等边三角形.设 BC 的中点为 M，连接 AM，则 AMBC.以 A 为原点，直线 AM，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz(如图 D99).图 D99则 P(0,0,2)，C(3，1,0)，E(0,2,1)，D(0,2,0)，PC(3，1，2)，CE(3，1,1)，DE(0,0,1).设平面 PCE 的法向量为 n(x1，y1，z1)，则nPC0，nCE0，即 3x1y12z10，3x1y1z10.令 y11，则x1 3，z12
20、.n(3，1,2).设平面 CDE 的法向量为 m(x2，y2，z2)，则 mDE 0，mCE0，即z20，3x2y2z20.令 x21，则y2 3，z20.m(1，3，0).设二面角 P-CE-D 的大小为，由于 为钝角，cos|cosn，m|nm|n|m|2 32 22 64.二面角 P-CE-D 的余弦值为 64.解法二：直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45，且 PA 平面 ABCD，PCA45，ACPA 2.ABBC，2ABC 为等边三角形.PA 平面 ABCD，由(1)知 PA OF，OF平面 ABCD.OB平面 ABCD，OC平面 ABCD，OFOB 且 OFOC.在菱形
21、 ABCD 中，OBOC.以点 O 为原点，直线 OB，OC，OF 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz(如图 D100).图 D100则 O(0,0,0)，P(0，1,2)，C(0,1,0)，D(3，0,0)，E(3，0,1)，则CP(0，2,2)，CE(3，1,1)，CD(3，1,0).设平面 PCE 的法向量为 n(x1，y1，z1)，则 nCP0，nCE0，即2y12z10，3x1y1z10.令 y11，则x10，z11.法向量 n(0,1,1).设平面 CDE 的法向量为 m(x2，y2，z2)，则mCE0，mCD 0，即 3x2y2z20，3x2y20.令 x21
22、，则y2 3，z20.法向量 m(1，3，0).设二面角 P-CE-D 的大小为，由于 为钝角，则 cos|cosn，m|nm|n|m|322 64.二面角 P-CE-D 的余弦值为 64.1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补.3.(1)设直线 l，m 的方向向量分别为 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，平面，的法向量分别为 m(a1，b1，c1)，n(a2，b2，c2)，则 直 线 l，m 的 夹 角 02，有 cos|x1x2y1y2z1z2|x21y21z21 x22y22z22；直线 l 与平面 的夹角 02，有sin|am|a|m|cosa，m；平面，所成的二面角的平面角(0)，有|cos|mn|m|n|cosm，n|；(2)求空间距离：直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离，点 P 到平面 的距离：d|PM m|m|(其中 m 为平面 的法向量，M 为 内任一点).
