1、第6讲 空间坐标系与空间向量 课标要求1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.3.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.4.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.5.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.6.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.7.理解直线的方向向量与平面的法向量.8.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系考情风向标能较易建立空间
2、直角坐标系的,尽量建立空间直角坐标系;要注意向量运算与基本性质相结合的论述,这是今后的方向,可以“形到形”,可以“数到形”,注意数形结合1.空间向量的概念在空间,既有大小又有方向的量,叫做空间向量,记作 a或AB.空间向量可以在空间内自由平行移动.2.空间向量的运算(3)数乘向量:a(R)仍是一个向量,且a 与 a 共线,|a|a|.(4)数量积:ab|a|b|cosa,b,ab 是一个实数.(1)加法:ABBC AC(三角形法则:首尾相连,指向终点).(2)减法:ABAC CB(三角形法则:共点出发,指向被减).3.空间向量的运算律(1)交换律:abba;abba.(2)结合律:(ab)ca
3、(bc);(a)b(ab)(R)注意:(ab)ca(bc)一般不成立.(3)分配律:(ab)ab(R);a(bc)abac.4.空间向量的坐标运算叫做点 P 的坐标.(1)若OPxiyjzk,则(x,y,z)叫做向量OP的坐标,也(2)设 a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),那么ab(x1x2,y1y2,z1z2);a_;abx1x2y1y2z1z2;(3)设 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),cosa,bx1x2y1y2z1z2x21y21z21x22y22z22.则|M1M2|x1x22y1y22z1z22.(x1,y1,z1)(4)对于非零向量 a 与 b,
4、设 a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),那么有ababx1x2,y1y2,z1z2;abab0 x1x2y1y2z1z20.1.已知 a(1,0,2),b(6,21,2),若 ab,则与 的值可以是()A.2,12 B.13,12C.3,2 D.2,2解析:ab,bka,即(6,21,2)k(1,0,2),6k1,210,22k.解得2,12或3,12.故选 A.AA.abcC.abcB.cabD.bac2.在空间四边形 ABCD 中,ABa,BCb,AD c,则CD等于()图 D89解析:如图 D89 所示,CD CBBD CB(AD AB)b(ca)cab.故选 B.B3.在正
5、方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量表达式DD1 ABBC化简后的结果是()A.BD1B.D1B C.B1DD.DB1A图 D90解析:如图 D90,DD1 AA1,DD1 ABAA1 ABBA1,BA1 BCBD1,DD1 ABBCBD1.4.(2018 年江苏启东中学期中)已知向量 a(2,1,2),b(1,3,3),c(13,6,),若向量 a,b,c 共面,则_.3解析:a(2,1,2),b(1,3,3),c(13,6,),且 a,b,c 共面,存在实数 x,y 使得 cxayb,(13,6,)(2xy,x3y,2x3y),即2xy13,x3y6,2x3y,解得x9,y5,3.考
6、点 1 空间向量的线性运算例 1:(1)如图 8-6-1,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:图 8-6-1AA1 a,ABb,AD c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的AP_;A1N _;MP NC1 _.解析:P 是 C1D1 的中点,APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1ac12ABac12b.N 是 BC 的中点,A1N A1A ABBNab12BCab12AD ab12c.M 是 AA1 的中点,MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA112AD
7、 AA1 12ca,MP NC1 12a12bc 12ca32a12b32c.答案:ac12b ab12c32a12b32c图 8-6-2(2)如图 8-6-2,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别为 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且MG2GN,若OG xOA yOB zOC,则 xyz_.解析:设OA a,OB b,OC c,则MN ON OM 12(OBOC)12OA 12b12c12a,OG OM MG 12OA 23MN 12a2312b12c12a 16a13b13c.又OG xOA yOB zOC,x16,y13,z13.因此 xyz161
8、31356.答案:56图 8-6-3(3)如图 8-6-3,已知空间四边形 OABC 中,点 M 在线段 OA上,且 OM2MA,N 为 BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且MG3GN.设OA a,OB b,OC c,试用向量 a,b,c 表示向量OG _.解析:OG OM MG 23OA 34MN 23OA 34(ON OM)23OA 3412OB OC 23OA 23a38(bc)12a16a38b38c.答案:16a38b38c【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知向量和所求向量观察图形,将已
9、知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)向量的线性运算有一个常用的结论:如果 B 是线段 AC的中点,那么OB 12(OA OC).此结论常用于与中点相关的运算.考点 2 空间向量的数量积运算例 2:(1)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,则EFDC()A.14B.14C.34D.34解析:E,F 分别是 AB,AD 的中点,EFBD 且 EF12BD,EF12B
10、D.EFDC 12BD DC 12|BD|DC|cosBD,DC 1211cos 12014.答案:B(2)如图 8-6-4,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面ABC 中,CACB1,BCA90,棱 AA12,M,N 分别是 A1B1,A1A的中点.求证:A1BC1M.图 8-6-4求BN的模;求 cos BA1,CB1 的值;解:如图 D91,建立空间直角坐标系.图 D91依题意,得 B(0,1,0),N(1,0,1),|BN|102012102 3.解:依题意,得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).BA1(1,1,2),CB1(0,1,2).BA
11、1 CB1 3,|BA1|6,|CB1|5.cos BA1,CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.证明:依题意,得 C1(0,0,2),M12,12,2,A1B(1,1,2),C1M 12,12,0.A1B C1M 121200.A1B C1M.A1BC1M.【规律方法】利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.a0,b0,abab0;|a|a2;cosa,b ab|a|b|.考点 3 异面直线所成的角例 3:(2015 年新课标)如图 8-6-5,四边形 ABCD 为菱形,ABC120,E,F 是平
12、面 ABCD 同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面 ABCD,BE2DF,AEEC.(1)证明:平面 AEC平面 AFC;(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.图 8-6-5(1)证明:如图 8-6-6,连接 BD,设 BDACG,连接 EG,FG,EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB1,由ABC120,图 8-6-6由 BE平面 ABCD,ABBC 可知,AEEC.可得 AGGC 3.又AEEC,EG 3,EGAC.EG2FG2EF2.EGFG.ACFGG,AC,FG平面 AFC,EG平面 AFC.EG平面 AEC,平面 AEC平面 AFC.在 RtEBG 中,可得 BE
13、 2,故 DF 22.在 RtFDG 中,可得 FG 62.在直角梯形 BDFE 中,由 BD2,BE 2,DF 22,可得 EF3 22.(2)解:如图 8-6-6,以 G 为坐标原点,分别以GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由(1)可得 A(0,3,0),E(1,0,2),F1,0,22,C(0,3,0).AE(1,3,2),CF1,3,22.故 cosAE,CF AECF|AE|CF|33.直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,
14、从而转化为求平面中的角的大小.b的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出a,b的余弦值,进而求a,b的大小.在求 ab 时注意结 合空间图形,把 a,b 用基向量表示出来,进而化简得出 ab 的值.(2)由两个向量的数量积定义,得 cosa,b ab|a|b|,求a,【跟踪训练】1.如图 8-6-7,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 BCAC,BAC3,AC4,AA14,M 为 AA1 的中点,P 为 BM 的中点,Q 在线段 CA1 上,A1Q3QC,则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为()图 8-6-7A.3913B.2 1313 C.2 3913D.1313解
15、析:以 C 为原点,CB 为 x 轴,CA 为 y 轴,CC1 为 z 轴,建立如图 D92 所示的空间直角坐标系,图 D92则由题意,得 A(0,4,0),C(0,0,0),B(4 3,0,0),M(0,4,2),A1(0,4,4),P(2 3,2,1).答案:C则CQ 14CA1 14(0,4,4)(0,1,1).Q(0,1,1),AC(0,4,0),PQ(23,1,0).设异面直线 PQ 与 AC 所成角为,cos|cosAC,PQ|4413|113,sin 1113 223913.故选 C.2.(2018 年新课标)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,ABBC1,AA1 3,则异
16、面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22解析:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量,D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,3),B1(1,1,3),AD1(1,0,3),DB1(1,1,3),AD1 与DB1 所 成 角 的 余 弦 值 为 cos AD1,DB1 DB1 AD1|DB1|AD1|103|2 5 55,则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 55.C易错、易混、易漏向量夹角不明致误例题:如图 8-6-8,在 120的二面角-l-中,Al,Bl,AC,
17、BD,且 ACAB,BDAB,垂足分别为 A,B.已知ACABBD6,试求线段 CD 的长.图 8-6-8解:ACAB,BDAB,CA AB0,BD AB0.又二面角-AB-的平面角为 120,CA,BD 60.CD2|CD|2(CA ABBD)2CA 2AB2BD 22(CAABCA BD BD AB)362262cos 60144.CD12.【失误与防范】(1)求解时,易混淆二面角的平面角与向量此处应结合图形,根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.(2)对所用的公式要熟练,变形时运用公式要正确并注意符号等细节,避免出错.夹角的概念,把CA,BD 60易错解为CA,BD 120,1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题,利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.