1、数列等差数列与等比数列专题综述等差数列与等比数列作为两种特殊的数列，其定义、通项公式、性质、前项和公式是高考考查的热点问题.考查的方向大致分为：考查基本量的运算、考查数列的性质、考查通项公式、考查等差与等比数列的判定与证明、考查求前项和、与数学文化结合以及其它知识点的综合考查.在解题时，除了要掌握基本的知识点以外，还要学会利用方程思想理解等差等比数列，函数思想解决最值问题、分类讨论思想解决如等比数列的问题，转化思想将不特殊的数列转化为特殊的数列。专题探究探究1：等差数列、等比数列的判定与证明等差数列与等比数列的判定与证明的方法上具有共性，解答题中需证明等差、等比数列时，要紧靠定义，尤其是等比数
2、列，要证明出的同时，求出首项说明其不为0. 答题思路：1.证明数列不为等差数列：举反例；证明数列不为等比数列：举反例、或出现为0的项；2.等差数列和等比数列的判定与证明根据数列的通项公式特征及前项和特征：（仅供解决选择、填空题，不能用于证明）等差数列公差不为0：一次函数没有常数项的二次函数等比数列公比不为1：“指数型函数”前的系数和常数项互为相反数定义法：i）直接法：由递推公式直接变形出要证数列的相邻两项的差或比值等差数列：等比数列：且ii）构造法：先求出数列的通项公式再证明数列为等差数列或等比数列.中项法：等差数列：等比数列：且 (2021浙江省丹州市模拟)已知数列满足：（1）问数列是否为等
3、差数列或等比数列？说明理由；（2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；【审题视点】第（1）问，从题干条件初步判断，不是特殊数列，可通过举反例，说明不是等差或等比数列；第（2）问中证明数列为等差数列，用定义法证明. 【思维引导】第（2）问，用定义法证明为常数，或者先求出数列的递推公式，求出数列的通项公式，在用定义法证明数列是等差数列.【规范解析】解：（1）由题意得 ，题中的递推关系比较复杂，且关系不唯一，可以先求出前3项，初步判断，若第2项不是前后两项的等差（比）中项，即可判断数列不是等差（比）数列，数列不是等差数列又，数列也不是等比数列（2）方法一：直接法得出的关系，为证明数列为等差数列
4、，构造的递推关系由题意得 ，数列是首项为，公差为的等差数列， 故方法二：构造法由题意得 ，利用递推公式求通项公式的方法，求出的通项公式，再用定义法证明等差数列得，又 数列是每项均为0的常数列，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列【探究总结】直接法与间接法是证明等差、等比数列的常用方法，关键是要对题中的递推公式进行变形，如果能直接变形出数列相邻两项的差或比值关系，即为直接法证明；若利用递推公式求通项公式的方法先构造出特殊的数列，求出通项公式再证明其为等差（比）数列，即为构造法.若想证明数列不是特殊数列，举反例即可. (2021山东省青岛市模拟)记为数列的前项和，（1）求；（2）令，证明数列是等
5、比数列，并求其前项和探究2：等差、等比数列的性质对于等差、等比数列性质的考查，一方面是数列本身的性质以及前项和的性质；另一方面是将数列看作函数，考查函数的性质.另外，结合现实情景或者数学文化考查数列性质.1.等差数列与等比数列的常用性质：（1）已知:等差数列：等比数列： （2）为数列的前项和：等差数列：成等差数列等比数列：当为奇数时，成等比数列；当为偶数且公比时，成等比数列（3）为等差数列的前项和：，数列为等差数列，且公差为数列公差的一半；2. 等差数列与等比数列的函数性质：（1）等差数列：通项公式：当时，数列单调递增；当时，数列单调递减；前项和求最值：从二次函数的角度求最值，注意取正整数；或
6、者从项的角度，当时，有最大值，当时，有最小值.（2）等比数列：将等比数列的通项公式和前项和公式看作函数研究时，要研究的取值，再研究函数单调性等，难度较高. (2021安徽省合肥市月考)（多选）已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（ ）A. 为单调递增的等差数列B. C. 为单调递增的等比数列D. 使得成立的的最大值为6【审题视点】综合考查等差等比数列的性质，选项之间环环相扣，关键是转化，得到，判断出的范围.【思维引导】由，求出、 的通项公式借助，判断使成立的的最大值.【规范解析】利用等比数列的性质：已知，则，这是等差等比数列最重要的性质之一，要灵活运用解： ，故，是等比数
7、列， ，即，选项：又，故正确；选项：是等比数列，等差数列判断单调性：1.利用单调数列的定义判断单调性：2.从一次函数的角度判断 ，即是单调递减的等差数列，故错误；等比数列判断单调性要考虑首项和公比，不能遗漏选项：，即，即数列是以为首项，为公比的等比数列且单调递增，故正确；选项：当时，当时，当时，使得成立的的最大值为6，故正确；故选【探究总结】典例2综合考查等比数列的性质与前项和的公式，是考查等差等比数列的常见类型.等比数相较于等差数列易错点较多，比如证明等比数列时要保证各项不为0，使用等比数列前项和的公式要注意公比是否为1，判断等比数列的单调性首项与公比都要考虑. (2021湖南省衡阳市联考)
8、 已知等差数列的前项和为，若，数列的前项和为，则（ ）A. 数列的公差为1B. C. D. 探究3：等差、等比数列与其它知识的综合应用等差、等比数列作为两种最基础的数列，两种数列可以结合考查：等差等比数列依托于指对结构相互转化、等差数列与等比数列乘除构造数列考查错位相减法等.这类问题要立足于两数列的概念，设出相应基本量，充分使用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.两数列与其他知识点综合考查，例如解决求最值问题，恒成立问题等，本质上是要把关于的式子看作函数研究，但要注意只能取正整数.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略. (2021湖南省株洲
9、市) 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【审题视点】恒成立问题，常规思路是分离参数，构造函数求最值. 【思维引导】由递推公式求出的通项公式，带入恒成立的不等式，分离参数 ，求最值.【规范解析】解：，由递推公式求数列的通项公式：构造等差数列：专题1.2.1探究2，又，是首项为2，公差为1的等差数列，恒成立问题：分离参数构造函数求最值，即 又恒成立，即恒成立，基本不等式求最值，一是等号成立条件；二是注意等号成立时，是否取整数，若不取整数，则需要比较取整数时，值的大小 又，当且仅当时取等号，故选【探究总结】数列是一种的特殊的函数，与函数综合考查的题
10、目较多.数列中常出现最值，恒成立，求参数取值范围等问题，解决这类问题，要先求出数列的基本量，显化函数关系，转化为函数问题解决，但还要回归数列本身，考虑只能取正整数.(2021山东省青岛市联考)在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，记为，的前项和记为，则下列说法正确的是（ ）A. B. 的前项和为C. D. 专题升华 等差、等比数列是两种基本数列，两
11、数列本身涉及的知识点多且灵活，对于不特殊的数列要构造为等差、等比数列，因此对于两个数列的概念、通项公式、性质、前项和及衍生的结论，都要能够熟练应用，并且对运算的能力的要求较高，注意基本方法的积累.另外，等差、等比数列与函数、方程、不等式、三角函数、几何等知识点都可以结合考查. 如已知数列为等差数列，若，则,与三角求值结合考查，利用等差数列的性质转化后求值.最后，等差、等比数列与实际问题结合考查，从实际问题中剥离出等差、等比数列，再求其他量. 考查等差、等比数列的题目涵盖知识点多，综合性强，对化归与转化能力、运算求解能力要求较高，平时做题时多积累方法思路，考试时才能“熟能生巧”.【答案详解】变式
12、训练1 【解析】 （1）解： ，-得，即，（2）方法一：直接法由（1）得得又，数列是以为首项，公比为的等比数列数列的前项和为方法二：构造法由，得， ，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故得，数列是以为首项，公比为的等比数列数列的前项和为变式训练2 【解答】解：设等差数列的公差为，选项：若，整理得：，解得，故错误；选项：由于，故正确；选项：，故错误；选项：当时，当时，当时，故正确故选：变式训练3 【解答】解：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，选项：故为一个等比数列，故错误；选项：，的前项和为，故正确；选项：去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的是第12行中的第三项，故正确；选项：，这11行中共去掉了22个1，故正确.选
