1、高三二轮导数专题第一讲 极值点偏移之“齐次化构造法”在极值点偏移问题中，证明与或有关得不等式，常常设或进行齐次化构造.构造一个关于的函数.有两点要注意的：1.换元一定要注的取值范围；2.构造出关于的函数，重新求导求解.一、商除直接消参【例1】：已知函数在上有两个零点为，（）. （1）求实数的取值范围.（2）求证：.情景小练：小练1：已知函数.（）求函数的单调区间；（）若方程有两个相异实根、，且，证明：.小练2：【2010-天津-理20】已知函数（）.如果，且，证明：.二、加减消参【例1】：已知函数在上有两个零点为，. （1）求的最值.（2）证明：.【例2】：已知函数，若有两个极值点，且，求证：
2、（为自然对数的底数）.情景小练：小练1：已知函数来源:学科网（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： 小练2：已知函数与直线交于，两点.求证：.三、构造消参【例1】：已知函数，若方程有两个不相等的实数根，且，求证：.情景小练：小练1：【2020-天一联考-理21】设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图像与直线交于、两点，且，证明（ 为函数的导函数）.小练2：已知函数，为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图像与直线交于A、B两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）.第一讲 极值点偏移之
3、“齐次化构造法”答案一、商除直接消参【例1】：解：（1）函数有零点，故 设， 令，函数在上单调递增，在上单调递减. 图像大致如下： 从图可知：（2）由题意可知： ， 由/得： 设.解得：， 设设，导函数，在上在上，函数在上单调递增，所以 .情景小练：小练1：解：（）已知函数，导数. 函数在上单调递增；在上单调递减. （） 由一得 设，解得， 设， 函数在上单调递减，在上单调递增 ， 故.小练2：解设 设，构造导函数，函数单调递增，函数在上 .二、加减消参【例1】：解：（1） 函数 导函数 当时，函数在其定义域内单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 函数的最大值为.（2） 由-得 设
4、， 构造，函数在上，函数在上单调递增，. .【例2】：解：法一：（1） 函数 -得， +得， 设， ， 函数在上单调 递增，.（为自然对数的底数）.方法二：变换函数-对称化构造 解： ，设，省略方法三：对称化构造解：设，省略方法四：齐次化设， 方法五：设，情景小练：小练1：解：（1） 函数，曲线过点 函数 导函数 曲线在点处的切线方程为.（2）函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递减，（3） 来 由-得 由+得 整理得 设， ， 导函数，函数单调递增，函数在上 ，即小练2： 由-得 由+得，设，设，证明： .三、隐消参【例1】：解： 由题意可知：-得 由函数 ，设，构造函数.法二：
5、接以后 而 由、得 ，设，所以 ，略法三： 设为主元， 则函数在上单调递增，故 再结合，故成立.法四： 则， 从而在上单调递增，故，即 对恒成立，从而，则 由，且在上单调递增，故，即，从而成立.情景小练：小练1：解：（1）函数，. 导函数 当时，函数单调递减. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）只需要证明：依据题意可知： ； 由-得 整理得 设，函数在上单调递增，即小练2：解：（1） 函数，为自然对数的底数. 导函数 当时，令，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 当时，. 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减.（2） 函数的图像 函数 导函数 令导函数，函数在上单调递减，在上单
6、调递增，只需证明. -得 设，. ，所以 课后小练小练1：【2020-包头高三起点考试-理21】已知函数有三个零点. （1）求实数的取值范围； （2）若存在实数、且，求证：随着的增大而减小.小练2：【2021-湖北武汉高三调研考试-16】若函数（）有两个不同的极值点 和，则的取值范围为 ；若，则的最小值为 .课后小练答案小练1：解：（1）分离参数，当时，满足一个零点，有两个交点即可 设，. 导函数，函数在上单调递减，在上单调递增. ，实数的取值范围. （2） ， 由/得，设， 解， 该方法较麻烦，所以不在赘述方法二. ， 由/得，当增大时，逐渐增大，所以增大 随着的增大而减小.小练2：8.（1
7、）方法一：（平移）切线放缩情景铺垫：本问用到了参变分离和（平移）切线放缩，这两种方法在高中比较常用，属于高频的知识方法；切线放缩的证明可以采用构造法，利用函数的单调性来研究最值点即可，参变分离在等式方程中需要注意的点较少，本文中切线放缩要标注清楚取到等号条件，为第二问做好铺垫作用。解题过程：因为函数（），所以导函数即有两个根，因为（取到等号条件为），所以，综上所述：的取值范围为.（2）方法一：齐次化构造法情景铺垫：本问是比较难的，属于比较隐晦的极值点平移问题，利用齐次化构造法解极值点偏移典型问题，依据是极值点的比值范围确定，故可以选择齐次化构造法；对于高三的学生和老师一定要系统的掌握问题，解决
8、极值点的问题一般有9种方法，小的方法就很多很多了，所以平时我们只要能够会满分解法中的4种左右就可以了。对于指数型零点等式利用取对数思想表示成对数函数结构比较好，这样处理的好处可以形象直观的做差和作和得到代数式子；这样可以得到引进的自变量和原来极值点的代数关系，求得出极值点的大致范围；通过自变量的范围，利用单调性就可求出参数的最值。解题过程：从（1）可知：，设两式子相减，所以 ，所以综上所述：的最小值为.方法点评：第一方面是极值点的取值范围，极值点的取值范围也可以利用参变分离法和求得黄金函数图像来求得。第二方面方法的总结。本题利用了切线放缩和齐次化构造的极值点平移，该题型是全国卷的典型，难度很大，但是练习学生的综合能力有很大的帮助，这两种方法都是常见方法，但是细节的把握需要学生能力，平时训练时应从整体的逻辑出发，再进行细节的把握，细节的处理需要多方面的思考，例如极值点范围的求得能用多少种方法、变量的关系的方法（商除取对数、取对数做差）等，细节是孩子能力提升的力着点，而非大的方法。最后，预祝学生金榜题名，同僚事业开心和永葆生机
