1、数列数列中的奇偶项问题专题综述 数列的奇偶项是指数列中的奇数项与偶数项, 按奇偶项分类求和是数列求和的一种重要的方法.数列中的奇偶项问题考查的方向大致有：等差、等比数列中的奇偶项和的问题；数列中连续两项和或积问题；含有的问题；通项公式分奇、偶项有不同表达式问题；已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题.上述问题中都有“暗示”，出现奇偶、等，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项、偶数项之间的关系，求出通项公式或求和，再进行下一步的求解.本专题针对常见的题型进行探究，提供一般的解题思路.专题探究探究1：或型递推公式为或的形式，这与使用累加法或累乘法求通项公式的形式类似，即与，通常考查求通项公式或数列求和.答
2、题思路：1.求通项公式：构造隔项等差数列：两式相减得；构造隔项等比数列：两式相除得2.求前项和：求出通项公式，再求和；或者为，可直接并项求和. (2021山东省烟台市模拟)已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围.【审题视点】是的形式，两式相减，寻找间隔两项之间的关系. 【思维引导】第（1）问由求；第（2）问，由，寻找间隔两项之间的关系，分奇偶项求的通项公式，转化为函数的恒成立问题，分离参数构造函数求最值.【规范解析】解：（1）由题意得 由求， “三步骤”：，验证当时，当时，当时，分别得出奇数项和偶数项的关系，再用由递推公式分别求奇偶通项
3、的通项公式（2）由（1）知， 所以：当时，；当时，-得 ，数列是以为首项，公差为2的等差数列，数列是以为首项，公差为2的等差数列当为偶数时，；当为奇数时，数列恒成立问题：转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值.但分奇偶讨论时，要注意：取奇数时最小值为1，取偶数时最小值为2又对任意的都有成立，i）当为奇数时，恒成立，即对为奇数时恒成立，当时，即；ii）当为偶数时，恒成立，即对为偶数时恒成立，当时， 综上所述，的取值范围是【探究总结】分奇偶求通项公式，将原有的数列分为2个数列，要分清原数列中的项在新数列中为第几项，或将转化为或表示，求出通项公式.数列是一种特殊的函数，数列问题中经常出现恒成
4、立问题，解题思路与函数的恒成立问题一致，但要注意的取值.(2021山东省泰安市一模)在数列中，已知，记为的前项和，（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）求探究2：型形如的结构，可分为两种情况：一种是邻项等差、等比数列，如已知；另一种是数列与其他数列的关系，如.答题思路：1.邻项等差、邻项等比数列形将用或替代：当时，；当时，构造出以为首项、2为公比的等比数列，求出的通项公式，在求出.2.数列与其他数列的关系：求出其他数列的通项公式，再求出的通项公式. (2021福建省福州市模拟)已知数列，（1）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，
5、请说明理由（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.【审题视点】由递推公式得出与的关系，转化为研究偶数项组成的新数列；求和时要分奇偶.【思维引导】第（1）问，研究数列，要导出与的递推关系，求通项公式；第（2）问，利用的通项公式，求出的通项公式，讨论奇偶求和.【规范解析】解：（1）由题意得 由题干条件，推导所研究数列相邻两项的递推公式故又，存在，即当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，型的数列，可先求出偶数项（奇数项）的通项公式，利用已知关系再求出奇数项或偶数项的通项公式当时，分奇偶求和问题，可以先求出的和，再求出的值当时，与在时均单调递减，与在时均单调递减，又满足的所有正
6、整数为1和2.【探究总结】对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用及，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把看做一项，求出，再求.（2021天津市高三期中）已知数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和；探究3：含有型数列的递推公式和通项公式中会含有，都需要讨论的奇偶，使转化为1或-1.答题思路：1.递推公式中有：寻找间隔两项之间的关系如为奇数时，；为偶数时，得到相邻两个奇数项或偶数项的关系；若求数列前项的和，本质上是考查分组求和.2.通项公式中含有：等差数列的通项公式乘以，用并项求和法求数列前项的和；如，前20项
7、的和等比数列的通项公式中含有，其前项和可写成分段的形式，可求最值如等比数列的通项公式为，则其前项和，求的取值范围：分奇偶，讨论求的最值.裂项相消法求和如，求和时通过实现正负交替.(2021湖北省武汉市模拟) 已知数列的各项为正，且，是公比为的等比数列.再从：数列的前项和满足；数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列这两个条件中任选一个，解答下列问题.（1）求数列，的通项公式；（2）令，设的前项和为若对恒成立，求实数的取值范围.【审题视点】数列的通项公式，中有，求前项和要讨论奇偶；且分别为等差、等比数列，求和时需利用分组求和.【思维引导】分别求出表示出，恒成立不等式中含有，分奇偶讨论求最值.【
8、规范解析】解：（1）若选，当时，当时，两式相减得：，舍或，即数列是首项为2，公差为2的等差数列，若选，设等差数列的公差为则，得或舍去，又的公比为，（2）由（1）得当为偶数时，分奇偶求和问题，可以先求出的和，再求出的值当为奇数时，对恒成立，分奇偶讨论，注意取奇数时最小值为1，取偶数时最小值为2,当为偶数时， 恒成立，当时，；当为奇数时， 恒成立，当时， ， 综上所述：实数的取值范围为【探究总结】含有的数列求和时，要综合利用好分组求和、并项求和、裂项相消法求和等方法，求出的前项和要分奇偶表示.求参数时，要分奇偶，构造关于的函数，注意取最值时，的值.（2021江苏省南京市模拟）设为数列的前项和，则数
9、列的前7项和为_.专题升华有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，涉及求通项公式，求和、求最值、求参数的取值范围等.常见的方法有： 1.对于通项公式分奇、偶不同的数列求时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把看作一项,求出,再求；2.此类问题多涉及到求和,为了避免讨论,可以用替换作为偶数的,用替换作为奇数的,可大大减轻思维及运算的难度；3.此类问题本质上都是数列分组求和.【答案详解】变式训练1 【解答】解：（1），即 数列是以为首项，为公比的等比数列，（2）由（1）可知，且，数列是以为首项，为公比的等比数列，数列是以1为首项，为公比的等比数列，当为奇数时，；当为偶数时，（3）当时，当时， 变式训练2 【解答】解：由题意得 当时，即当时，由得数列是以为首项，为公比的等比数列，即（2）由（1）知当为偶数时，当为奇数时，.变式训练3 【解析】解：，当时，即，当时，i）当为偶数时，此时为奇数，为奇数时，；ii）当为奇数时，即，此时为偶数，为偶数，故当为奇数时，当为偶数时，数列的前7项和为故答案为：
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