1、高一数学第卷（共 36 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本卷共 12 题， 每小题 3 分，共36 分1.在复平面内表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把展开即得.【详解】，复数对应的点的坐标为，在第一象限.故选：.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）A. 2B. C. D. -2【答案】D【解析】【分析】把复数展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数.【详解】复数为纯虚数，.故选：.【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础
2、题.3.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4.已知向量，若，则实数（ ）A. 2B. C. - 2D. 0【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，可求.【详解】由，可得.故选：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.5.已知是虚数单位，则等于（ ）A. -1B. 1C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案.详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6.若为虚数单位，则复
3、数的模是（ ）A. B. C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把化成的形式，则模为.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.7.复数满足，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，求出复数，把写出的形式，即求.【详解】，故选：.【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.8.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量的坐标运算表示，再由数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为，则；故选C【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目9.已知点 ，则线段的
4、中点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据线段的中点坐标公式即得.【详解】线段的中点坐标为，即.故选：.【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题.10.设向量，若，则实数（ ）A. 1B. 0C. D. 2【答案】C【解析】【分析】写出向量的坐标，由，得，即求.【详解】.，.故选：.【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.11.已知，且，则向量与夹角的大小为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可知，由向量夹角的公式求解即可【详解】可知，所以夹角为，故选C.【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式12.已知，则（ ）A. B.
5、C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.第卷（共 64 分）二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分13.是虚数单位，则_【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算即得答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.14.是虚数单位，则复数的实部为_【答案】【解析】【分析】把展开，代入即得.详解】,复数的实部为.故答案为：.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.15.计算：_【答案】【解析】【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和
6、向量减法法则进行运算，即得答案.【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得.故答案为：.【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题.16.已知，且向量的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义即求.【详解】,且向量的夹角为，.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.17.已知，且三点共线，则_【答案】【解析】【分析】由三点共线，得，根据向量共线坐标表示求.【详解】三点共线，.，.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.18.若向量，则的夹角的度数为_【答案】【解析】【分析】设向量的夹角为.由，得，
7、再根据数量积的定义求夹角.【详解】设向量的夹角为.，又.故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.19.已知，是虚数单位若与互为共轭复数，则_【答案】【解析】【分析】根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得.【详解】与互为共轭复数，,.故答案为：.【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.20.在平行四边形中，若，则向量的坐标为_【答案】【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知，可求的坐标.【详解】平行四边形中，.故答案为：.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分解答写出文字说明、证明过程或
8、演算步骤21.已知是虚数单位，复数（）当复数为实数时，求的值；（）当复数为虚数时，求的值；（）当复数为纯虚数时，求的值【答案】（）0或3；（）且；（）2.【解析】【分析】（）根据虚部为0，求；（）根据虚部不为0，求；（）根据实部为0，虚部不为0，求.【详解】复数.（）当复数为实数时，有或.（）当复数为虚数时，有且.（）当复数为纯虚数时，有，解得.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.22.在中，内角所对的边分别为已知（）求和的值；（）求的值【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）由余弦定理求.根据平方关系式求，再根据正弦定理求；（）根据三角形中大边对大角，得为锐角.由（）知，根据平方关系式
9、求，再根据两角和的余弦公式求.【详解】（）中，已知由余弦定理得，又由正弦定理，可得.（）为锐角.由（）知.【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.23.设的内角所对边的长分别是，且（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由正弦定理和倍角公式可求；（）由（）知.根据平方关系式求出，根据倍角公式求出，最后根据两角差的正弦公式求.【详解】（）中，.由正弦定理,可得，.（）由（）知，.【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.24.已知分别为三个内角的对边，（）求角的值；（）若的面积为 ，求【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由正弦定理把化为，约去，利用辅助角公式，可求；（）根据面积公式和余弦定理求【详解】（），由正弦定理可得.又，由辅助角公式得.，.（）的面积为，由（）知.又，由余弦定理得，即，又.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.
