1、第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数 课标要求考情风向标1.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其他知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用1.一次函数一次函数 ykxb(k0)，当 k0 时，在实数集 R 上是增函数；当 k0 时，函数在(，0)，(0，)上都是减函数；当 k0 时，函数在(，0)，(0，)上都是增函数.3.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：
2、f(x)ax2bxc(a0).(2)顶点式：f(x)_，顶点为(h，k).(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为二次函数图象与 x 轴的两个交点的横坐标.反比例函数 ykx(k0)的定义域为(，0)(0，)，a(xh)2k(a0)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象开口向上向下顶点对称性定义域(，)4.二次函数的图象及性质 b2a，4acb24a函数的图象关于 x b2a对称(续表)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)值域4acb24a，4acb24a单调性在 x，b2a 上单调递减；在 x b2a，上单调递增
3、在 x，b2a 上单调递增；在 x b2a，上单调递减1.若二次函数f(x)x24x3，则f(x)在0,1上的值域为_，在0,3上的值域为_.0,31,3解析：函数图象的对称轴方程为 x42 2，f(x)在0,1上单调递减，最大值为 f(0)3，最小值为 f(1)1430，值域为0,3.当 x0,3时，f(x)在0,2上单调递减，在2,3上单调递增，最大值 f(0)3，最小值为 f(2)224231，值域为1,3.2.y 3aa6(6a3)的最大值为()A.9 B.92C.3D.3 22B3.(2019年河南信阳模拟)函数y2x24ax3在区间4，2上是单调函数，则 a 的取值范围是()CA.
4、(，1C.(，24，)B.4，)D.(，12，)解析：函数y2x24ax3的图象的对称轴为xa，由题意可得a4或a2，解得a2或a4，故选C.取值范围是_.4.(2017年北京)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的12，1考点 1 二次函数的图象及应用ABCD例 1：(1)(2018 年安徽淮南模拟)二次函数 yax2bx 及指数函数 ybax 的图象只可能是()答案：A解析：根据指数函数 ybax 可知 a，b 同号且不相等，b2a0，a1，与其选项中的指数函数图象矛盾，故 C 不正确，排除 C.选 A.(2)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()ABCD答案：D解析：在
5、 A 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0，错误；在 B 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0，错误；在 C 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0，错误；在 D 中，a0，b2a0，b0，c0，abc0.故选 D.(3)(多选)图281是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点 A(3,0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论，其中正确的是()图 2-8-1A.b24acC.abc0B.2ab1D.5a0，即 b24ac，A 正确.结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，C 错误.由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，a0，5a2a，即 5a1，即 a2 时，f(
6、x)在0,1上递增，ymaxf(1)4a2，令4a25，得 a1(舍去).当 0a21，即 0a2 时，ymaxfa2 4a，令4a5，得 a54.答案：D当a20，即 a0 时，f(x)在0,1上递减，ymaxf(0)4aa2，令4aa25，得 a5 或 a1(舍去).综上所述，a54或5.故选 D.(2)已知函数f(x)4x24axa22a2在闭区间0,2上的最小值为 3，则实数 a 的取值集合为_.解析：f(x)4xa222a2(0 x2).当a20，即 a0 时，f(x)在0,2上为增函数，此时 f(x)的最小值为 f(0)a22a 2.由a2，即 a4 时，f(x)在0,2上为减函数
7、，此时 f(x)的最小值为 f(2)a210a18.由a4，a210a183 解得 a5 10.综上得 a 的取值集合为1 2，5 10.答案：1 2，5 10【规律方法】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应该引起同学们足够的重视.本例(1)中的二次函数是区间0,1固定，对称轴 ta2在变化，因此要讨论对称轴相对于该区间的位置关系，即分 0a21，a21 及a20.若对任意 x3，)，f(x)|x|恒成立，则 a 的取值范围是_.解析：分类讨论：当 x0 时，f(x)|x|，即x22x2ax.整理，得 a12x212x.由恒成立的条件，可知 a
8、12x212x max.结合二次函数的性质，可知：当 x12时，12x212x max12122121218.则 a18；当3x0 时，f(x)|x|，即 x22xa2x，整理，得 ax23x2.由恒成立的条件，可知 a(x23x2)min.结合二次函数的性质可知：当 x3 或 x0 时，(x23x2)min2，则 a2.综合，可得 a 的取值范围是18，2.答案：18，2 【规律方法】不等式恒成立问题：对于f(x)0 在区间a，b上恒成立的问题，一般等价转 化为f(x)min0，xa，b；对于f(x)0 在区间a，b上恒成立的问题，一般等价转 化为 f(x)max0，xa，b；若 f(x)含
9、有参数，则要对参数进行讨论或分离参数.特别地：)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是a0，b24ac0.)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是a0，b24ac0.【跟踪训练】2.设函数 f(x)mx2mx1，若对于 x1,3，f(x)m4恒成立，则实数 m 的取值范围为()A.(，0 B.0，57C.(，0)0，57D.，57 答案：D解析：由 f(x)m4，可得 m(x2x1)5.当 x1,3时，x2x11,7，不等式 f(x)m4 等价于 m5x2x1.又函数 yx2x1 在区间1,3上单调递增，当 x3 时，5x2x1的最小值为57，若要不等式 m5x2x1恒成立，则必须 m57，因此实数 m 的取值范围为，57.故选 D.1.二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律.(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从“开口方向；对称轴的位置；判别式；端点函数值符号”四个方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象和性质求解.2.与恒成立有关的问题要注意二次项系数为零的特殊情形.对于函数 yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要讨论 a0 和 a0 两种情况.
