1、第6讲 指数式与指数函数 课标要求考情风向标1.通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的碳 14 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重.2.本节复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性
2、质.重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质正分数指数幂正数的正分数指数幂0 的正分数指数幂01.分数指数幂amn mn a(a0，m，nN*，且 n1)负分数指数幂正数的负分数指数幂0 的负分数指数幂没有意义有理数指数幂的运算性质(1)aras_(a0，r，sQ).(2)(ar)sars(a0，r，sQ).(3)(ab)r_(a0，b0，rQ)(续表)amn 1nma(a0，m，nN*，且 n1)arsarbr指数函数yax(a1)yax(0a0)B.26 y y13(y0)D.x13 3 x(x0)2.函数 f(x)4x12x 的图象()CDABCD3.函数 yax1a(a
3、0，且 a1)的图象可能是()D4.已知 0ay1，则下列各式中正确的是()BA.xaya B.axay D.axya解析：对于 A，xy1，xayaxyaxy01，xaya，A 错误；0ay1，axay，B 正确，C 错误；对于 D，axy01，ax2，若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c的取值范围是()图 D4答案：C解析：函数 f(x)|2x11|，x2，x5，x2的图象如图 D4，不妨设 abc，f(a)f(b)，|2a11|2b11|,12a12b11,2a2b1,4c5，162c32，2a2b2c 的取值范围是(17,33).故选 C.(2
4、)已知实数a，b满足等式2018a2019b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0，a1)与yxb)的图象如图 2-6-1，则下列不等式一定成立的是(图 2-6-1A.ba0C.ab1B.ab0D.loga2b解析：由图可知，yax 单调递增，则a1；yxb 单调递减，则 b0 不一定成立，如 a3，b1；B：ab0 不一定成立，如 a2，b3；C：ab1 不成立；故选 D.答案：D【规律方法】实数 a，b 满足等式 2018a2019b，就是要判 断在同一平面直角坐标系中函数 y2018x，y2019x 的函数值 何时相等，利用两个函数的图象与直线 ym 的交点来判断.考点 3 指
5、数函数的性质及应用例 3：(1)设 0a13，则 a，a3 a，aaa 的大小关系是()A.a3 a aaa aB.aaa a3 a aC.a3 a aaaaD.aaaa a3 a答案：D解析：要比较 a，a3 a，aaa 的大小，底数相同，即比较 1a0，3 a a13，aa 的大小.而 0aaa 3 a a13.aaaa a3 a.故选 D.(2)若 a6714，b7615，clog278，定义在 R 上的奇函数f(x)满足：对任意的 x1，x20，)且 x1x2，都有fx1fx2x1x2f(a)f(c)B.f(c)f(b)f(a)C.f(c)f(a)f(b)D.f(b)f(c)f(a)答
6、案：B解析：函数 f(x)满足：对任意的 x1，x20，)且 x1x2都有fx1fx2x1x20，则 f(x)在0，)上为减函数，又由 f(x)为定义在 R 上的奇函数，则函数 f(x)在(，0上为减函数，则函数 f(x)在 R 上为减函数，clog278b0，f(c)f(b)f(a).故选 B.(3)已知函数 f(x)12x，ax0，x22x，0 x4的值域是8,1，则实数 a 的取值范围是()A.(，3 B.3,0)C.3，1 D.3答案：B解析：当 0 x4 时，f(x)8,1；当 ax0 时，f(x)12a，1，12a，1 8,1，即8 12a1，即3a0，且 a1)有两个不相等的实根
7、，则实数 a 的取值范围是(A.(0,1)(1，)B.(0,1)C.(1，)D.0，12(1)(2)图2-6-2答案：D解析：当 a1 时，图 2-6-2(1)为 y|ax1|的图象，与直线y2a 显然无两个交点；当 0a1 时，如图 2-6-2(2)，要使 y2a 与 y|ax1|的图象有两个交点，应有 02a1，0a0，且 a1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应运用分类讨论的数学思想，分a1 和0a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，再利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其他图象.【跟踪训练】2.已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f
8、(b).(1)则下列结论中，一定成立的是()A.a0，b0，c0 B.a0 C.2a2c D.2a2c2(2)若函数f(x)在(k1，k1)上不单调，则k的取值范围是_.解析：(1)作出函数 f(x)|2x1|的图象(如图 D6 中实线所示)，又 abf(c)f(b)，结合图象知 f(a)1，a0，02a1，f(a)|2a1|12a，图 D6f(c)|2c1|2c1.又f(a)f(c)，即12a2c1，2a2c2.(2)由图可知 k10k1，解得1k1.答案：(1)D(2)1k11.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算，依据为要注意运算的顺序.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1 得到底数的值再进行比较.anmmna，在运算过程中，要贯彻先化简后运算的原则，并且3.比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.4.指数函数 yax(a0，且 a1)的单调性和底数 a 有关，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.5.与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题.