1、2.简谐运动的描述1知道振幅、周期、频率和相位的概念，知道全振动的含义，理解周期和频率的关系。2.理解相位的物理意义，了解初相和相位差的概念。3.知道简谐运动的表达式及其各量的物理意义。4.能依据简谐运动的表达式描绘图像，或根据简谐运动图像写出表达式。一、描述简谐运动的物理量1做简谐运动的物体的位移x的一般函数表达式为xAsin(t)。2振幅振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示，单位是米。振动物体运动的范围是振幅的两倍。3周期和频率(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。(2)周期：做简谐运动的物
2、体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。(3)频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示，f。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz,1 Hz1 s1。(4)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。(5)是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢，2f。(6)所有简谐运动的周期均与其振幅无关。4相位(1)t代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态，叫作相位。是t0时的相位，称作初相位，或初相。(2)相
3、位差：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是1和2，当12时，它们的相位差是12。二、简谐运动的表达式根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位0，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是xAsin。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。判一判(1)简谐运动的振幅大，振动的周期一定大。()(2)振幅就是振子的最大位移。()(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。()(4)从任一个位置出发到又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期。()(5)简谐运动的表达式xAsin(t)中，t的单位是弧度。()(6)简谐运动的表达式xAsin(t)中，表示振动的快慢，越大，
4、振动的周期越小。()提示：(1)(2)(3)(4)(5)(6)想一想(1)简谐运动的表达式一定是正弦函数吗？提示：不一定，还可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。(2)两个简谐运动有相位差，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为，意味着什么？提示：两个简谐运动有相位差，说明其振动步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后个周期或次全振动。课堂任务振幅、周期和频率仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图甲是几个简谐运动的xt图像，结合正弦型函数知识，试写出位移x的一般函数表达式。提示：做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，根据正
5、弦型函数知识，位移x的一般函数表达式可写为xAsin(t)。活动2：根据简谐运动位移x的一般函数表达式，图乙中弹簧振子离开平衡位置的最大距离是多少？对应图乙中的哪段距离？振子的运动范围多大？提示：在xAsin(t)中，因为|sin(t)|1，所以|x|A，则弹簧振子离开平衡位置的最大距离是A，对应图乙中的OM段和OM段。振子的运动范围是|MM|2A。活动3：从振子向右通过O点的时刻开始计时，振子第2次向右通过O点之前的运动情况是怎样的？之后的运动又是怎样的？提示：振子从O点向右运动到M点，然后向左回到O点，又继续向左运动到M点，之后向右运动通过O点。之后振子重复上述运动。活动4：如果从振子向右
6、通过O点开始计时，2 s后它第2次向右通过O点，则100 s后它如何运动？0100 s共几次向右通过O点(不计0时刻的那一次)?提示：向右通过O点。共50次。活动5：x的一般表达式中哪个物理量与活动4中振子的振动特点有关？提示：在xAsin(t)中，根据正弦函数规律，(t)在每增加2的过程中，函数值循环变化一次，这一变化过程所需要的时间就是图乙振子连续两次向右通过O点的时间，设为T，则(tT)(t)2，则有，即与活动4中振子的振动特点有关。1振幅、周期和频率(1)全振动全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置，这样一个完整的振动过程，称为一次全振动。全振动的特征a物理量特征：完成一次
7、全振动时，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者同时与初始状态相同。b时间特征：历时一个周期T。c路程特征：为振幅A的4倍。(2)周期和频率内容周期频率定义做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间周期的倒数，数值等于单位时间内完成全振动的次数单位秒(s)赫兹(Hz)物理含义都是表示物体振动快慢的物理量联系T(3)简谐运动中振幅和位移、路程、周期(频率)的关系振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移的大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期
8、内的路程为2倍振幅，个周期内的路程不一定等于振幅。振幅与周期(频率)：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。2简谐运动的对称性和周期性(1)对称性瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度、加速度的大小均相等。过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBCtCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBCtBC，如图所示。(2)周期性若t2t1nT(n为正整数)，则t1、t2两时刻，振动物体在同一位置，运动情况相同。若t2t1nTT(n为自然数)，则t1、t2两时刻
9、，描述运动的物理量(x，a，v)均大小相等，方向相反。若t2t1nTT(n为自然数)或t2t1nTT(n为自然数)，则当t1时刻物体在最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。例1如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离x，释放后振子在A、B间振动，且AB20 cm，振子首次由A到B的时间为0.1 s，求：(1)振子振动的振幅、周期和频率；(2)振子由A到O的时间；(3)振子在5 s内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小。(1)AB间距与振幅有何关系？提示：AB间距等
10、于2个振幅，即A10 cm。(2)“振子首次由A到B的时间”与周期有何关系？提示：振子首次由A到B的时间等于半个周期，即T0.2 s。规范解答(1)从题图可知，振子振动的振幅为10 cm，t0.1 s，所以T0.2 s。由f得f5 Hz。(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等，均为0.05 s。(3)弹簧振子的振幅A10 cm，振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t5 s25T内通过的路程为s4025 cm1000 cm。5 s内振子振动了25个周期，5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。完美答案(1)10 cm0.2 s5
11、Hz(2)0.05 s(3)1000 cm10 cm规律点拨(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为4nA(n为正整数)；振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才一定等于振幅。(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。(多选)一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体()A在任意内通过的路程一定等于AB在任意内通过的路程一定等于2AC在任意内通过的路程一定
12、等于3AD在任意T内通过的路程一定等于4AE在任意T内通过的位移一定为零答案BDE解析物体做简谐运动，是变加速直线运动，在任意内通过的路程不一定等于A，A错误；物体做简谐运动，在任意内通过的路程一定等于2A，B正确；物体做简谐运动，在任意内通过的路程不一定等于3A，C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，D、E正确。例2如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经过a、b两点时的速度相同，若它从a经O到b历时0.2 s，然后从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为()A1 Hz B1.25 HzC2 Hz D2.5 Hz振子在振动过程中的几段路程的运
13、动时间有什么特点？提示：振子从b到c与从c到b的时间相同，振子由a经O到b与由b经O再回到a的时间也相同。规范解答振子经过a、b两点时的速度相同，根据弹簧振子的运动特点，可知a、b两点相对平衡位置O一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0.2 s，由于“从b再回到a的最短时间为0.4 s”，即振子运动到b后第一次回到a点所用时间为0.4 s，且Ob不是振子的振动过程中相对平衡位置的最大位移。设图中的c、d点为振动过程中相对平衡位置的最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2 s，同理，振子从a经d到a也历时0.2 s，故该振子的周期T0.8 s，根据周期和频率互为倒数的关系，就可以确定该振
14、子的振动频率为1.25 Hz，B正确。完美答案B规律点拨此题利用振动的对称性解题。通过画草图讨论弹簧振子可能的运动情况，对于不是从平衡位置或不是从最大位移处开始计时的振动问题，分析的突破口是弄清从开始计时起的半个周期的轨迹或几个不规则的轨迹怎样组成一个振幅或若干个振幅。弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t0.2 s时，振子速度第一次变为v；在t0.5 s时，振子速度第二次变为v，已知B、C之间的距离为25 cm。(1)求弹簧振子的振幅A；(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。答案(1)12.5 cm(2)1 s1 Hz解析
15、(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间的距离的，所以A cm12.5 cm。(2)由简谐运动的对称性可知，从P到B的时间与从B返回P的时间是相等的，所以tBP s0.1 s同时由简谐振动的对称性可知：tPO s0.15 s又由于tPOtBP联立得：T1 s，所以f1 Hz。课堂任务相位仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：xAsin(t)中哪个量代表简谐运动的运动状态？提示：当(t)确定时，sin(t)的值也就确定了，所以(t)代表了做简谐运动的质点此时正处于一个运动周期中的哪个状态。活动2：如图并列悬挂两个相同的弹簧振子，把小球向下拉相同的距
16、离后同时放开，可以看到什么现象？提示：两个小球同时释放时，除了振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。即小球的振动步调总是一致。活动3：自开始释放，当第一个小球到达平衡位置时再放开第二个，可以看到什么现象？提示：当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置；而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后个周期，或者说总是滞后个全振动。活动4：猜测活动3中两个小球的振动的位移随时间变化的表达式xAsin(t)中的哪个量不同？相差多少？提示：由活动1结合两振子A、相同可知不同，且(t1)(t2)2，1
17、2。1简谐运动的表达式xAsin(t)的认识(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。(2)A：表示振幅，描述振动的强弱。(3)：表示圆频率，它与周期、频率的关系为2f。可见、T、f描述的都是振动的快慢。(4)t：表示相位，描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于三角函数中的角度，相位每增加2，意味着物体完成了一次全振动。(5)：表示t0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。2简谐运动的表达式的理解和应用(1)由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A、圆频率和初相。根据或2f可求出周期T或频率f，还可以求出某一时刻质
18、点的位移x。(2)相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同的简谐运动，设其初相分别为1和2，其相位差(t1)(t2)12。它反映出两个简谐运动的步调差异。(3)关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解12取值范围：。0，表明两振动步调完全相同，称为同相。，表明两振动步调完全相反，称为反相。0，表示振动1比振动2超前。0，表示振动1比振动2滞后。例3(多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y0.1sin(2.5t) m。则()A弹簧振子的振幅为0.2 mB弹簧振子的周期为1.25 sC在t0.2 s时，振子的运动速度为零D若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y0.2sin m
19、，则振动A滞后振动B的相位为(1)由弹簧振子的位移表达式可以得出哪些物理量？提示：振幅、周期、初相位。(2)弹簧振子A与B的哪些物理量相同？哪些物理量不同？提示：频率相同，振幅、初相位不同。规范解答由振动方程为y0.1sin(2.5t) m，可读出振幅A0.1 m，圆频率2.5 rad/s，周期T s0.8 s，故A、B错误；在t0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差212.5t2.5t，即振动B超前振动A的相位为，或者说振动A滞后振动B的相位为，故D正确。完美答案CD规律点拨简谐运动的表达式xAsin(t)及其应用情形(1)应用简谐运动的表达式解决相关问题：
20、首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中，还要明确初相是什么，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系。(2)除了能从图像上识别(1)中的几个物理量，还要能够根据振幅、周期(或圆频率)、初相以及对简谐运动的描述作出相应的图像。(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x14sin cm，x25sin cm，下列说法正确的是()A它们的振幅相同B它们的周期相同C它们的相位差恒定D它们的振动步调一致答案BC解析它们的振幅分别是4 cm、5 cm，故不同，A错误；都是100 rad/s，所以周期都是0.02 s，B正确；由得相位差恒定，C正确；0，即振动步调不一致，D错误。 1(描述简
21、谐运动的物理量)一质点做简谐运动，振幅是4 cm、频率是2.5 Hz，某时刻该质点从平衡位置向正方向运动，经2.5 s质点的位移和路程分别是()A4 cm,24 cm B4 cm,100 cmC0,100 cm D4 cm,100 cm答案D解析周期T s0.4 s，t2.5 s6 T，质点在2.5 s时到达正向最大位移处，故位移为4 cm，路程为64AA25A100 cm，D正确。2(简谐运动表达式的理解)物体A做简谐运动的振动位移为xA3cos m，物体B做简谐运动的振动位移为xB5cos m。比较A、B的运动()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B的周期
22、相等，为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA振动的频率fA大于B振动的频率fB答案C解析振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；周期是标量，A、B的周期相等，均为T s6.28102 s，B错误；因为AB，故fAfB，C正确，D错误。3(描述简谐运动的物理量)弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，如图所示，则()A从OBO的运动过程，振子做了一次全振动B振动周期为2 s，振幅是10 cmC从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD从O开始经过3 s，振子处在平衡位置答案C解析从OBO的运动过程
23、，振子只完成半个全振动，A错误；从AB振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A10 cm，B错误；t6 s1T，所以振子经过的路程为4A2A6A60 cm，C正确；从O开始经过3 s，即T，振子处在位置A或B，D错误。4(描述简谐运动的物理量)如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A点，OA2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为()A0.2 s B0.4 s C0.1 s D0.3 s答案A解析
24、简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，题设两种情况振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，即都是0.2 s，A正确。5(描述简谐运动的物理量)(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是()A振动周期是2102 sB第2个102 s内物体的位移是10 cmC物体的振动频率为25 HzD物体的振幅是10 cm答案BCD解析振动周期是完成一次全振动所用的时间，由题图可知振动周期是4102 s，又f，所以f25 Hz，故A错误，C正确；简谐运动的物体在偏离平衡位置的正方向或负方向最大位移的大小表示物体的振幅，由题图可知，物体的振幅A10 cm，故D正确；第
25、2个102 s内物体的初位置是x10 cm处，末位置是平衡位置，位移是10 cm，故B正确。6(综合)一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x处所经历的时间为t2，关于t1与t2，以下说法正确的是()At1t2 Bt1t2Ct1t2 D无法判断答案B解析作出弹簧振子的xt图像，从图像上可以很直观地看出：t1t2，故B正确。7. (简谐运动的周期性和对称性)如图所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab1 s，过b点后再经t1 s质点第一次反向通过b点。若在这两秒内质点所通过的
26、路程是8 cm，该质点的振动周期为_，振幅为_。答案4 s4 cm解析沿直线的简谐运动是以平衡位置为中心的对称性运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置。根据简谐运动的对称性可知，质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tbatab1 s，质点从a点经左方最大位移处d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方最大位移处c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tadatbcbt1 s。综上所述，质点的振动周期为Ttabtbcbtbatada4 s。由图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s2222(2)28 cm16
27、 cm，所以质点的振幅为A4 cm。8(简谐运动表达式的理解)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin cm的规律振动。(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动的表达式为x25sin cm，求它们的相位差。答案(1) s4 Hz5 cm(2)解析(1)已知8 rad/s，由得，T s，f4 Hz，A5 cm，1。(2)由(t2)(t1)21得，。9(周期、振幅)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为()A1111 B1112C1414 D1212答案B解析弹簧的压缩
28、量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为12。而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为11，B正确。10(简谐运动的周期性和对称性)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则()A若t时刻和(tt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍B若t时刻和(tt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则t一定等于的整数倍C若tT，则在t时刻和(tt)时刻振子振动的速度一定相等D若t，则在t时刻和(tt)时刻弹簧的长度一定相等答案C解析本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图像进行分析。如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等
29、、方向相同，显然t不一定等于T的整数倍，故A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，t，故B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相等，C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反(平衡位置除外)，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的形变量相等，弹簧的长度并不相等，D错误。11. (综合)(2020河北承德一中高二月考)(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y0.1sin(2.5t) m。t0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t0.6 s时，
30、小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g10 m/s2。以下判断正确的是()Ah1.7 mB简谐运动的周期是0.8 sC0.6 s内物块运动的路程是0.2 mDt0.4 s时，物块与小球的运动方向相反答案AB解析由简谐运动的表达式可得，t0.6 s物块的位移为y0.1sin(2.50.6) m0.1 m，则对小球有：h|y|gt2，计算得出h1.7 m，故A正确；由表达式可知，简谐运动的周期T s0.8 s，故B正确；振幅为0.1 m，故0.6 s内物块运动的路程为3A0.3 m，故C错误；t0.4 s，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球的运动方向相同，故D错误。12(描述简
31、谐运动的物理量)弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)从振子处于B点时开始计时，经过5 s振子通过的路程及相对平衡位置O点的位移大小。答案(1)10 cm(2)1 s1 Hz(3)200 cm10 cm解析(1)设振幅为A，则有2ABC20 cm，所以A10 cm。(2)振子从B点首次到达C点的时间为周期的一半，因此T2t1 s；再根据周期和频率的关系可得f1 Hz。(3)振子一个周期内通过的路程为4A40 cm，则在5 s内通过的路程为s4A540 cm2
32、00 cm。T1 s，故5 s末振子又回到起始点B，即经过5 s，振子相对平衡位置O点的位移大小为10 cm。13(简谐运动表达式的理解和应用)做简谐运动的小球按x0.05sin m的规律振动。(1)求小球振动的圆频率、周期、频率、振幅和初相位；(2)当t10.5 s、t21 s时小球的位移分别是多少？答案(1)2 rad/s1 s1 Hz0.05 m(2)0.025 m0.025 m解析(1)根据简谐运动的表达式可以直接判断振幅A0.05 m，初相位0，圆频率2 rad/s，周期T1 s，频率f1 Hz。(2)将t10.5 s、t21 s代入x0.05sin m，得x10.05sin m0.025 m，x20.05sin m0.025 m。
