1、12.3 直接证明与间接证明 及数学归纳法第一章集合与常用逻辑用语第十二章算法初步、推理与证明1直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 _，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或_法(2)分析法：一般地，从要证明的_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的_归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推证法或_法(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2.间接证明 反证法：一般地，假设原命题_(即在原命题的
2、条件下，结论_)，经过_，最后得出_.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾.因此说明假设_，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法.3.数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立.(2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有_都成立.4.数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与_有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳
3、奠基与归纳递推)缺一不可.自查自纠1.(1)推理论证 成立 由因导果(2)结论 充分条件 结论 执果索因2.不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误3.(2)nk nk1 正整数 n4.正整数1.要证明 3 72 5，以下方法中最合理的是()A.分析法B.综合法C.反证法D.数学归纳法解：“执果索因”最佳，即分析法故选 A.2.(2019福建厦门双十中学期中)用数学归纳法证明“1aa2an11an21a(a1，nN*)”，在验证 n1 成立时，左边计算所得结果是()A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3解：当 n1 时，左边为 1aa111aa2.故选 C.3.设 a，bR，且 ab，ab2
4、，则必有()A.1aba2b22B.ab1a2b22C.aba2b221D.a2b221ab解：abab221 2n12均成立.证明：当 n2 时，左边11343；右边 52.因为左边右边，所以不等式成立 假设 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即113 115 112k1 2k12.则当 nk1 时，113 115 112k1 112（k1）1 2k122k22k1 2k22 2k1 4k28k42 2k1 4k28k32 2k1 2k3 2k12 2k1 2（k1）12.所以当 nk1 时，不等式也成立 由知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立 评析 用数学归纳法证明与正整数
5、 n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从 nk 到 nk1 时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式.用数学归纳法证明不等式，同样要弄清增加的项，很多情况下，还要利用放缩法进行证明.变式 3(1)用数学归纳法证明：1213 2235n2（2n1）（2n1）n（n1）2（2n1）(nN*).证明：当 n1 时，左边 121313，右边 1（11）2（211）13，左边右边，等式成立 假设 nk(k1，kN*)时，等式成立 即 1213 2235k2（2k1）（2k1）k（k1）2（2k1），则当 nk1 时，左边 1213 2235k2（2k1）（2k1）（k
6、1）2（2k1）（2k3）k（k1）2（2k1）（k1）2（2k1）（2k3）k（k1）（2k3）2（k1）22（2k1）（2k3）（k1）（k2）2（2k3）（k1）（k11）22（k1）1，所以当 nk1 时，等式边成立 由知，对所有 nN*等式也成立(2)用数学归纳法证明：1122 132 1n221n(nN*，n2).证明：当 n2 时，11225421232，不等式成立 假设 nk(k2，且 kN*)时，不等式成立，即 1 1221321k221k.则当 nk1 时，1122 1321k21（k1）221k1（k1）221k1k（k1）21k1k 1k12 1k1，即当 nk1 时，
7、不等式也成立 由知，原不等式在 nN*，n2 时都成立 1.综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件.综合法的解题步骤用符号表示是：P(已知)Q1Q2Q3QnQ(结论).2.分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件.分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论)B1B2BnA(已知).3.分析法与综合法的综合应用 分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方法，二者各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易
8、错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节.在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述.4.用反证法证明命题的一般步骤(1)分清命题的条件和结论.(2)做出与命题结论相矛盾的假设.(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾的结果.(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.5.可用反证法证明的数学命题类型(1)结论是否定形式的命题.(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题.(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题.(4)用直接法较难证
9、明或需要分成多种情形进行分类讨论的命题.6.常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词 至少有一个没有一个x 成立x0 不成立 至多有一个至少有两个x 不成立x0 成立至少有 n 个至多有 n1 个p 或 q綈 p 且綈 q 至多有 n 个至少有 n1 个p 且 q綈 p 或綈 q7.用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可.证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“nk 时命题成立”为条件，证明“当 nk1 时命题成立”.这里，易出现的错误是：不使用“nk 时命题成立”这一条件，而直接将 nk1 代入命题，便断言此时命题成立.注意：没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法.在 nk到 nk1 的证明过程中寻找由 nk 到 nk1 的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚 p(k)与 p(k1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从 p(k1)中分离出 p(k).8.证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用.