1、12.2 合情推理与演绎推理第一章集合与常用逻辑用语第十二章算法初步、推理与证明1两种基本的推理推理一般包括_和_两类2合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由_到整体、由_到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由_到_的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行_、_，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合
2、情推理3演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由_到_的推理(2)“_”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M 是 P.小前提：S 是 M.结论：S 是 P.自查自纠1合情推理 演绎推理2(1)部分 个别(2)特殊 特殊(3)归纳 类比3(1)一般 特殊(2)三段论1.(2019陕西高考模拟)下列推理不属于合情推理的是()A.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电B.半径为 r 的圆面积 S r2，
3、则单位圆面积为 SC.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质D.猜想数列 2，4，8，的通项公式为 an2n，nN*解：对于选项 A,由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电，是归纳推理，所以属于合情推理；对于选项 B,半径为 r 的圆面积 Sr2，则单位圆面积为 S，属于演绎推理，不是合情推理；对于选项 C,由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质，属于类比推理，所以属于合情推理；对于选项 D,猜想数列 2，4，8，的通项公式为 an2n，nN*，是归纳推理，所以属于合情推理 故选 B.2.(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中
4、有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解：依题意，四人中有 2 位优秀，2 位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有 1 位优秀，1位良好，甲、丁必有 1 位优秀，1 位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩故选 D.3.(2019遵义航天高级中学高考模拟)一次数学考试后，甲说：“我是第一名”；乙说：“我是第一名
5、”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解法一：乙与丙同真或同假，再结合题意可知同假若甲说真话，则丁也说真话，同理矛盾，故只能是丁说真话，又结合甲乙是说假话知丙是第一名 解法二：假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真
6、话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙 故选 C.4.数列12，13，23，14，24，34，1m1，2m1，mm1的第 20 项是.解：mm1在数列中是第 123mm（m1）2项，当 m5 时，即56是数列中第 15 项，则第 20 项是57.故填57.5.(2019安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标 0，点(1，0)处标
7、1，点(1，1)处标 2，点(0，1)处标 3，点(1，1)处标 4，点(1，0)处标 5，点(1，1)处标 6，点(0，1)处标 7，以此类推，则标 2 0192 的格点的坐标为.解：点(1，0)处标 1，即 12；点(2，1)处标 9，即 32；点(3，2)处标 25，即 52；由此推断点(n1，n)处标(2n1)2，当2n12 019 时，n1 009，故标 2 0192 的格点的坐标为(1 010，1 009)故填(1 010，1 009)类型一 归纳推理例 1(1)(2018山西沁县一中高二期中)在数列an中，a11，an1 3an3an.()求 a2，a3，a4；()猜想数列an的
8、通项公式，并证明你的结论.解：()由已知得，a2313134，a333433435，a43353351236.()猜想 an 3n2.证明：由 an1 3an3an得，1an1 1an3an3an 1an 1an13 1an13，又 1an111，所以1an 是以 1 为首项，13为公差的等差数列，所以1an113(n1)n23.故 an 3n2.(2)(2019河南高二期末)在ABC 中，内角 A，B，C 满足不等式1A1B1C 9；在四边形 ABCD 中，内角 A，B，C，D 满足不等式1A1B1C1D 162；在五边形 ABCDE 中，内角 A，B，C，D，E 满足不等式1A1B1C1D
9、1E 253.猜想，在 n 边形 A1A2 An 中，内角 A1，A2，An 满足不等式 1A1 1A2 1An .解：在ABC 中，不等式1A1B1C 9成立，在四边形 ABCD 中，不等式1A1B1C1D 162成立，在五边形 ABCDE 中，不等式1A1B1C1D1E 253成立，所以在 n 边形 A1A2An 中，不等式 1A1 1A2 1Ann2（n2）成立 故填n2（n2）.评析 本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题，从而写出题中要求的具体命题.变式 1(1)根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳
10、猜想它的一个通项公式.()a13，an12an1；()a1a，an112an.解：()由已知有 a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.由此猜想 an2n11，nN*.()由已知有 a1a，a212a1 12a，a312a2 2a32a，a412a332a43a.由此猜想 an（n1）（n2）an（n1）a，nN*.(2)(2019河南高二期末)观察下列三个三角恒等式：tan10tan20tan20tan60tan60tan101；tan13tan35tan35tan42tan42tan131；tan5tan100tan100ta
11、n(15)tan(15)tan51.一般地，若 tan，tan，tan 均有意义，则可以归纳出结论：.解：观察所给等式，若角，满足 90，且 tan，tan，tan都有意义，则 tantantantantantan1.故填若 90，则 tantantantantantan1.类型二 类比推理例 2(1)(2019北京大学附属中学新疆分校高二期中)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重
12、叠部分的体积恒为()A.a32B.a34C.a38D.a316评析 本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论.一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下.平面点线圆三角形角面积周长 空间线面球三棱锥二面角体积表面积解：由题意，类比到空间中这两个正方体的重叠部分的体积为a38.故选 C.(2)已知数列an为等差数列，若 ama，anb(nm1，m，nN*)，则 amnnbmanm.类比上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bm c，bn d(n m2，m，n N*)，则 可 以 得 到 bm n 等 于()A.nm dmcnB.mn dmcnC
13、.nm dncmD.mn dncm解：观察an的性质：amnnbmanm，则联想 nbma 对应等比数列bn中的dncm，而an中除以(nm)对应等比数列中开(nm)次方，故 bmnnm dncm.故选 C.评析 只要将等差数列关系式中的 d 换成等比数列中的 q，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可得到等比数列的关系式，而等差数列中 d0 通常类比成等比数列中 q1.变式 2(1)(2019江苏高二期中)如图(1)所示，点 O 是ABC 内任意一点，连结 AO，BO，CO，并延长分别交对边于 A1，B1，C1，则OA1AA1OB1BB1OC1CC11，类比猜想：点 O
14、 是空间四面体 VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连结 VO，BO，CO，DO 并延长分别交平面 BCD，平面 VCD，平面 VBD，平面 VBC 于点 V1，B1，C1，D1，则有.解：利用类比推理，猜想，点 O 是空间四面体 V-BCD 内的任意一点，连结 VO，BO，CO，DO 并延长分别交面 BCD，VCD，VBD，VBC 于点 V1，B1，C1，D1，应有OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11.用“体积法”证明如下：OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD1VODBCVVDBCVODVCVBDVCVOVDBVCVDBVOVBCVDVBCVVBCDVVBCD1.
15、故填OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11.(2)若点 P0(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21(ab0)外，过点 P0 作该椭圆的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程为x0 xa2 y0yb2 1.那么对于双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为.解：若点 P0(x0，y0)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)外，过点 P0 作该双曲线的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程为x0 xa2 y0yb2 1.故填x0 xa2 y0yb2 1.类型三 演绎推理例 3 指出下面推理
16、中的错误.(1)自然数是整数大前提5 是整数小前提所以，5 是自然数结论(2)指数函数 yax 是增函数大前提y 12x是指数函数小前提所以，y 12x是增函数结论(3)三角函数是周期函数大前提ysinx(0 x)是三角函数小前提所以，ysinx(0 x)是周期函数结论解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数(2)大前提错误，因为当 0a1 时，指数函数 yax 是减函数(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同 评析 演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论
17、的可靠性.变式 3(2018安徽省淮北市同仁中学月考)已知 2和 3都是无理数，试证：2 3也是无理数.某同学运用演绎推理证明如下：依题设 2和 3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以 2 3必是无理数.这个同学证明是错误的，错误原因是()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.以上都可能解：大前提：无理数与无理数之和是无理数，错误；小前提：2和 3都是无理数，正确；结论 2 3也是无理数也正确，故只有大前提错误故选 A.类型四 推理的应用例 4(1)(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：
18、我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙解：依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙故选 A.(2)某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天.甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判
19、断丙必定值班的日期是()A.10 日和 12 日B.2 日和 7 日C.4 日和 5 日D.6 日和 11 日解：这 12 天的日期之和，S12122(112)78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是 26，对于甲，剩余 2 天日期之和是 22，因此这两天是10 日和 12 日，故甲在 1 日，3 日，10 日，12 日值班；对于乙，剩余 2天日期之和是 9，故乙可能在 2 日，7 日，或者是 4 日，5 日值班，因此丙必定值班的日期是 6 日和 11 日故选 D.(3)先解答，再根据结构类比解答.已知 a，b 为实数，且|a|1，|b|ab；已知 a，b，c 均为实数，且|a|1，|b|1，|c
20、|abc.证明：ab1(ab)(a1)(b1)0.因为|a|1，|b|1，|c|1，所以|ab|abc，所以 abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.评析 推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断.运用类比思维解决不等式相关问题，高考中也比较常见，必要时要变形或构造.变式 4(1)(2018福建质检)某校有 A，B，C，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“A，B 同时获奖”；乙说：“B，D
21、不可能同时获奖”；丙说：“C 获奖”；丁说：“A，C 至少一件获奖”.若以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是()A.作品 A 与作品 BB.作品 B 与作品 C C.作品 C 与作品 DD.作品 A 与作品 D解：A 选项，若作品 A 与作品 B 获奖，则甲、乙、丁的预测正确，丙的预测错误，不符合题意；B 选项，若作品 B 与作品 C 获奖，则乙、丙、丁的预测正确，甲的预测错误，不符合题意；C 选项，若作品 C 与作品 D 获奖，则乙、丙、丁的预测正确，甲的预测错误，不符合题意；D 选项，若作品 A 与作品 D 获奖，则乙、丁的预测正确，甲、丙的预测错误，符合题意以上是
22、用排除法，此题也可从正面入手，即先确定丙说：“C 获奖”不正确，再讨论 AB，BD，AD 获奖的情形故选 D.(2)(2019河南南阳中学高三开学考试)从 A 地到 B 地有三条路线：1 号路线，2 号路线，3 号路线.小王想自驾从 A 地到 B 地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2 号路线不堵车，3 号路线不堵车.”司机乙说：“1 号路线不堵车，2 号路线不堵车.”司机丙说：“1 号路线堵车，2 号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是()A.1 号路线B.2 号路线C.3 号路线D.2 号路线或 3 号路线解：若甲说得对，则 2 号路线
23、，3 号路线都不堵，由于乙是错误的，所以 1 号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一位说法正确矛盾；若乙说得对，则 1 号路线，2 号路线都不堵，由于甲是错误的，所以 3 号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；若丙说得对，则 1 号路线堵车，2 号路线不堵，由于甲是错误的，所以 3 号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件 综上所述，由于中都有 2 号路线不堵，所以小王最应该选择 2 号路线故选 B.(3)“解方程 35x 45x1”有如下思路：设 f(x)35x 45x，则 f(x)在 R 上单调递减，且 f(2)1，故原方程有唯一解 x2.类比上述思路，不等式 x6(x2)(x2)3x2
24、的解集是_.解：不等式化为 x6x2(x2)3(x2)，设 g(x)x3x，则 g(x)在R 上单调递增，所以不等式即 g(x2)g(x2)，所以 x2x2，解得 x2或 x1.故填x|x2 或 x1 1.归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的.归纳推理的一般过程如下.(1)通过观察个别情况，发现相同的性质.(2)推出一个明确表述的一般性结论.2.在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的.进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比.类比推理的一般步骤如下.(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明.
