1、第16讲 导数与函数的单调性 课标要求考情风向标1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用.本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用1.函数的单调性函数 yf(x)在(a，b)内可导，则：单调递减
2、(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0，解得 x2，故选 D.3.函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()B.(1，)A.(0,1)C.(，1)D.(1,1)A解析：f(x)2x2x2x1x1x(x0).当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数.故选 A.4.函数 f(x)xln x的单调递减区间是_.1xe.f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e).(0,1)和(1，e)解析：由 f(x)ln x1ln2x 0 得ln x10，ln x0，解得 0 x0，即x22x30.解得3x1.f
3、(x)的单调递增区间为(3,1).故选 D.答案：D(3)在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图 2-16-3，则关于 x 的不等式 xf(x)0，使 xf(x)0 的范围为(，1)；在(1,1)上，f(x)递减，f(x)0，使 xf(x)0 的范围为(0,1).综上，关于 x 的不等式 xf(x)0 的解集为(，1)(0,1).答案：A【规律方法】求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.考点 2 含参数函数的单调性例 2：已知函数
4、f(x)x3ax1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求实数 a 的取值范围；(4)若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求实数 a 的取值范围；(5)若 f(x)的单调递减区间为(1,1)，求实数 a 的值；(6)若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求实数 a 的取值范围.解：(1)f(x)3x2a.当 a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上为增函数.当 a0 时，令 3x2a0，得 x 3a3 或 3a3.当 x 3a3 或 x 3a3 时，f(x)0；当 3a3 x 3a3 时，
5、f(x)0.因此 f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在 3a3，3a3上为减函数.综上所述，当 a0 时，f(x)在 R 上为增函数；当a0时，f(x)在，3a3，3a3，上为增函数，在 3a3，3a3上为减函数.(2)f(x)在 R 上是增函数，f(x)3x2a0 在 R 上恒成立，即 a3x2 对 xR 恒成立.3x20，只需 a0.又a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数，a0，即实数 a 的取值范围为(，0.(3)f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立.a3x2在(1，)上恒成立.
6、a3.即实数a的取值范围为(，3.(4)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立.1x1，3x23.a3.即当实数a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.(5)由(1)题可知，f(x)的单调递减区间为 3a3，3a3，3a3 1，即 a3.(6)f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由 f(x)0，得 x 3a3(a0).f(x)在区间(1,1)上不单调，0 3a3 1，得 0a3，即实数 a 的取值范围为(0,3).【规律方法】若可导函数 f(x)在指定的区间D 上单调递增 (减)，求参数取值范围问题：(1)转化为f(x)0或f(x)0恒成立问
7、题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到；(2)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.【跟踪训练】1.已知函数 f(x)12x22axln x，若 f(x)在区间13，2 上是增函数，则实数 a 的取值范围为_.43，解析：由题意知 f(x)x2a1x0 在13，2 上恒成立，即 2ax1x在13，2 上恒成立，当 x13，2 时，x1x max83，2a83，即 a43.2.(2016 年新课标)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A.1,1 B.1，13C.13，13D.1
8、，13 答案：C解析：由题意，得 f(x)123cos 2xacos x0 在(，)上恒成立，故 123(2cos2x1)acos x0，即43cos2xacos x530，即43t2at530 对 t1,1恒成立.构造函数g(t)43t2at53，函数 g(t)开口向下，二次函数 g(t)的最小值的可能值为端点值，故只需保证g113a0，g113a0，解得13a13.故选 C.思想与方法运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2016 年新课标)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围.解：(1)f(x)(x
9、1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设a0，则当x(，1)时，f(x)0.f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.设 aae2，则 ln(2a)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.故 f(x)在(1，)上至多有一个零点，在(，1)上至多有一个零点.)若 a1.由于 f(2)a0，f(1)e0，则 f(2)f(1)0.根据零点存在性定理，f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.而当 x1 时，exe，x21e(x2)a(x1)2a(x1)2e(x1)e.则 a(x
10、1)2e(x1)e0 的两根 t1e e24ae2a1，t2e e24ae2a1，t10，故当 xt2 时，a(x1)2e(x1)e0，因此，当 x1 且 x0.又 f(1)e0，根据零点存在性定理，f(x)在(，1)上有且只有一个零点.f(x)有两个零点.设 a0，则 f(x)(x2)ex，f(x)有一个零点.设 ae2，则由(1)知，f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.f(x)极小值f(1)e0，f(x)极大值f(ln(2a)aln(2a)2210，故此时函数 f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；当 ae2时，则由(1)知 f(x)在(，
11、)上单调递增，函数 f(x)至多一个零点，不符合题意，舍去；若 ae2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增.f(x)极大值f(1)e0，f(x)极小值f(ln(2a)0).函数 f(x)在1，)上为增函数，f(x)ax1ax2 0 对 x1，)恒成立.ax10 对 x1，)恒成立.即 a1x对 x1，)恒成立.a1.(2)a0，f(x)ax1aax2x1ax2，x0，当 a0 对 x(0，)恒成立，f(x)的单调递增区间为(0，).当 a0 时，f(x)0 x1a，f(x)0 x1a，f(x)的单调递增区间为1a，单调递减区间为0，1
12、a.1.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)由 f(x)0(或0)解出相应的 x 的取值范围.当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.2.已知单调性求解参数取值范围的步骤为：(1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f(x)；(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(x)0 恒成立；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(x)0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数取值范围；(3)验证参数取值范围中取等号时，是否恒有 f(x)0.若f(x)0 恒成立，则函数 f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.3.求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.
