1、云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(理)试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足,则( )A B C D2. 已知双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )A B C D3. 执行如图所示的程序框图,正确的是( )A若输入的值依次为,则输出的值为 B若输入的值依次为,则输出的值为 C若输入的值依次为,则输出的值为 D若输入的值依次为,则输出的值为 4. 如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A B C. D5. 已知数列的前项和为,且
2、成等差数列,则( )A B C. D6. 的展开式中的系数是( )A B C. D7. 在中,于,点满足, 若,则( )A B C. D8. 已知函数满足条件:,为了得到的图象,可将函数的图象向右平移个单位,则的最小值为( )A B C. D9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的,即圆在任意方向都有相同的宽度,具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线,以工艺学家鲁列斯命名的鲁列斯曲边三角形,就是著名的非圆等宽曲线.它的画法(如图1): 画一个等边三角形,分别以为圆心,边长为半径,作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原来等边三角形的
3、边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图2). 图1 图2在图2中的正方形内随机取一点,则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为( )A B C. D10. 已知抛物线上的点到焦点的距离的最小值为,过点的直线与抛物线只有一个公共点,则焦点到直线的距离为( )A或或 B或或 C. 或 D 或 11. 已知定义在实数集上的偶函数,当时,若存在,对任意,都有 , 则的最大值为 ( )A B C. D12. 定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数,对于给定的非零常数 ,总存在非零常数,使得定义域内的任意实数都有恒成立,此时为的周期. 若是上的级类周期函数,且,当时,,且是上的单调递
4、增函数,则实数的取值范围为( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 若满足约束条件,则的最大值为 14. 若函数在处的切线方程为,则 15. 表面积为的球面上有四个点,且是边长为的等边三角形,若平面平面,则棱锥体积的最大值为 16. 某小区一号楼共有层,每层只有家住户,已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递,且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递,则在同一天这家住户有无快递的可能情况共有 种三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在平面四边形中,的面积为.(1)求的长;(
5、2)求的面积.18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据,从2011 年到2015 年,我国的第三产业在中的比重如下:年份年份代码第三产业比重(1)在所给坐标系中作出数据对应的散点图;(2)建立第三产业在中的比重关于年份代码的回归方程;(3)按照当前的变化趋势,预测2017 年我国第三产业在中的比重.附注: 回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:, .19. 如图所示,在三棱柱中,已知平面,.(1)证明:;(2)已知点在棱上,二面角为,求的值.20. 在直角坐标系中, 动圆与圆外切,同时与圆内切.(1)求动圆圆心的轨迹方程;(2)设动圆圆心的轨迹为曲线,设
6、是曲线上两点,点关于轴的对称点为(异于点),若直线分别交轴于点,证明: 为定值.21. 已知函数.(1)求的单调区间;(2)设(其中为的导函数) ,证明: 时,.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数) ,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程和曲线的参数方程;(2)若将曲线上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标缩短为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上任意一点,求点到直线距离的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式
7、;(2)已知,若不等式恒成立,求实数的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学(理)试题参考答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12:CC二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17. 解:(1)由已知,所以,又,所以,在中,由余弦定理得:,所以.(2)由,得,所以,又,所以为等腰三角形,即,在中,由正弦定理得:,所以.18. 解:(1)数据对应的散点图如图所示:(2),, ,所以回归直线方程为.(3)代入2017 年的年份代码,得,所以按照当前的变化趋势,预计到2017年,我国第三产业在中的比重将达到.19. 解:(1)证明:在中,则,于是
8、,故.所以平面,于是,又,故平面,所以.(2)如图,以为原点,建立空间直角坐标系,则,由,得,设,则,于是,求得平面的一个法向量为,取平面的一个法向量为,又二面角为,则,解得或(舍),所以的值为.20. 解:(1)由圆,得,所以,半径为;由圆,得,所以,半径为,设动圆圆心,半径为,因为与外切,所以,又因为与外切,所以,将两式相加得,由椭圆定义知,圆心的轨迹为椭圆,且,则,所以动圆圆心的轨迹方程为.(2)设,则,由题意知.则,直线方程为,令,得,同理,于是,又和在椭圆上,故,则.所以.21. 解:(1)函数的定义域为,由于在上是减函数,所以当时,;当时,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由,当时,由(1) 知,所以. 当时,构造函数,则,则当时,易知当时, .要证,只需证,设,得,由,得,当时,则单调递增;当时,则单调递减,当时,所以当时,成立.综合 可知:当时,.22. 解:(1)直线的普通方程为,曲线的参数方程为为参数).(2)由题意知,曲线的参数方程为为参数),可设点,故点到直线的距离为,所以,即点到直线的距离的最小值为.23. 解:(1)不等式等价于,即或或. 解得或或,所以不等式的解集为.(2)因为,所以的最大值是,又,于是,的最小值为.要使的恒成立,则,解此不等式得.所以实数的取值范围是.