1、云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足，则（ ）A B C D2. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A B C D3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A若输入的值依次为，则输出的值为 B若输入的值依次为，则输出的值为 C若输入的值依次为，则输出的值为 D若输入的值依次为，则输出的值为 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D5. 已知数列的前项和为，且
2、成等差数列，则（ ）A B C. D6. 的展开式中的系数是（ ）A B C. D7. 在中，于，点满足， 若，则（ ）A B C. D8. 已知函数满足条件：，为了得到的图象，可将函数的图象向右平移个单位，则的最小值为（ ）A B C. D9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）: 画一个等边三角形，分别以为圆心，边长为半径，作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原来等边三角形的
3、边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）. 图1 图2在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（ ）A B C. D10. 已知抛物线上的点到焦点的距离的最小值为，过点的直线与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线的距离为（ ）A或或 B或或 C. 或 D 或 11. 已知定义在实数集上的偶函数，当时，若存在，对任意，都有 , 则的最大值为 （ ）A B C. D12. 定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递
4、增函数，则实数的取值范围为（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若满足约束条件，则的最大值为 14. 若函数在处的切线方程为，则 15. 表面积为的球面上有四个点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则棱锥体积的最大值为 16. 某小区一号楼共有层，每层只有家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这家住户有无快递的可能情况共有 种三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在平面四边形中，的面积为.（1）求的长；（
5、2）求的面积.18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在中的比重如下:年份年份代码第三产业比重（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在中的比重关于年份代码的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在中的比重.附注: 回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:, .19. 如图所示，在三棱柱中，已知平面，.（1）证明:；（2）已知点在棱上，二面角为，求的值.20. 在直角坐标系中， 动圆与圆外切，同时与圆内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，设
6、是曲线上两点，点关于轴的对称点为(异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.21. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）设(其中为的导函数) ，证明: 时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的参数方程；（2）若将曲线上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式
7、；（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12：CC二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17. 解：(1)由已知，所以，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以.(2)由，得，所以，又，所以为等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，所以.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)，, ，所以回归直线方程为.(3)代入2017 年的年份代码，得，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在中的比重将达到.19. 解：(1)证明：在中，则，于是
8、，故.所以平面，于是，又，故平面，所以.(2)如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，由，得，设，则，于是，求得平面的一个法向量为，取平面的一个法向量为，又二面角为，则，解得或（舍），所以的值为.20. 解：(1)由圆，得，所以，半径为；由圆，得，所以，半径为，设动圆圆心，半径为，因为与外切，所以，又因为与外切，所以，将两式相加得，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，又和在椭圆上，故，则.所以.21. 解：(1)函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由，当时，由(1) 知，所以. 当时，构造函数，则，则当时，易知当时， .要证，只需证，设，得，由，得，当时，则单调递增；当时，则单调递减，当时，所以当时，成立.综合 可知：当时，.22. 解：(1)直线的普通方程为，曲线的参数方程为为参数）.(2)由题意知，曲线的参数方程为为参数），可设点，故点到直线的距离为，所以，即点到直线的距离的最小值为.23. 解：（1）不等式等价于，即或或. 解得或或，所以不等式的解集为.（2）因为，所以的最大值是，又，于是，的最小值为.要使的恒成立，则，解此不等式得.所以实数的取值范围是.