1、2024年5月30日星期四新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆上一讲，通过例题的形式介绍了数列的前n项和与通项关系及等差数列、等比数列的性质应用问题的分析和处理方法.本讲仍用例说的形式，继续介绍数列的递推关系转化、求和等的知识要点及分析和处理方法.1.数列通项的递推关系式的转化变形方法若等比差数列 na满足1,(0)nnaAaB A，总可转化为1()nnaxA ax,其中 x 由 A,B 确定 例 1已知数列na满足：112,32nnaaa*()nN，求数列na的通项公式奎屯王新敞新疆解析：
2、因为112,32nnaaa，显然na既不是等比数列又不是等差数列，若将递推关系进行适当的变形为：1 13(1)nnaa 就可以转化为一个新的等比数列 1na 132nnaax13()nnxxaa 1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例 1已知数列na满足：112,32nnaaa*()nN，求数列na的通项公式奎屯王新敞新疆解析：因为112,32nnaaa，显然na既不是等比数列又不是等差数列，若将递推关系进行适当的变形为：1 13(1)nnaa 就可以转化为一个新的等比数列 1na 其首项为1 12 13a 、公比为3q，所以有113 33nnna 奎屯王新敞新疆从而有31nna 其它类型的
3、转化变形方法，在学习资料中有详细的介绍.1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例 2 已知数列na的前 n 项之积与第 n 项的和等于 1.求证11na 是等差数列，并求na的通项公式.分析：根据要证的结论：11na 是等差数列，自然有意识的将条件转化为11na 的形式，再进行处理.1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例 2 已知数列na的前 n 项之积与第 n 项的和等于 1.求证11na 是等差数列，并求na的通项公式.解析：数列na的前 n 项之积与第 n 项的和等于 1 1 231nna a aaa即1231nna a aaa 当1n 时，111aa，112a 从而有1231111n
4、nnaa a aaa1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例 2 已知数列na的前 n 项之积与第 n 项的和等于 1.求证11na 是等差数列，并求na的通项公式.11231111111nnnnnaaaa a aaa（常数）1121a 11na是首项为2、公差为1 的等差数列.从而有1231111nnnaa a aaa1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例 2 已知数列na的前 n 项之积与第 n 项的和等于 1.求证11na 是等差数列，并求na的通项公式.11na是首项为2、公差为1 的等差数列.1(2)(1)(1)11nnna 111nan 1nnan1.数列通项的递推关系式的转化变
5、形方法例 3 已知数列na的前 n 项和是nS 满足：110,S 当 n2 时 2(4)nnSna新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 的值;()求数列na的通项公式;()求23111nnaaaa 的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 3 已知数列na的前 n 项和是nS 满足：110,S 当 n2 时 2(4)nnSna新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 的值;解：（）1110aS，由 2(4)nnSna2222(24)6Saa22103aa25a3332(3 4)7Saa332(10 5)7aa 36a当n=2时，当n=3时，1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例
6、 3 已知数列na的前 n 项和是nS 满足：110,S 当 n2 时 2(4)nnSna新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 的值;()求数列na的通项公式;解：（）2(4)nnSna11(4)(3)22nnnnnnanaaSS化简，得132nnanan3121122156 72310310 5 612nnnnnaaaannaanaaaann，当n2时，n=1不适合，10(1)3(2)nnann 1.数列通项的递推关系式的转化变形方法例 3 已知数列na的前 n 项和是nS 满足：110,S 当 n2 时 2(4)nnSna新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 的值新疆源头学子小
7、屋特级教师王新敞http:/ 解：（）当n2时，由11111(3)(4)34nnaannnn23111111111566734nnaaaann1154n2.求解数列问题中的最值常见方法例 4 已知数列an的通项 an=(n+1)(1110)n(nN)试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由。解：an+1 an=(n+2)(1110)n+1 (n+1)(1110)n 1011n 911n0(9)0(9)0(9)nnn 当 n9 时，a n+1-an0 即 a n+1 a n；当 n=9 时 a n+1-a n0，即 a n+1an，也就是 a10a9；当 n9 时
8、，a n+1-an0 即 a n+1a n.故 a1a2a9=a10a11a12，数列an中最大项为 a9=a10=10（1110）9，其项数为 9 或 10.2.求解数列问题中的最值常见方法例 5 设等差数列na的前 n 项和为nS，若.S,S,a001213123求12321S,S,S,S中值最大一个.分析：1211231033126676 24 702Saaaaaadd041213413132133713113ddaaaaS241274d 760,0aa等差数列中项的 正负结构：,；,；,；前 n 项的和有最大值.,；前 n 项的和有最小值.30(6)(3)12(3)0(7)nnaand
9、ndn2.求解数列问题中的最值常见方法例 5 设等差数列na的前 n 项和为nS，若.S,S,a001213123求12321S,S,S,S中值最大一个.另法：121126712602Saaaa131137131302Saaa760,0aa等差数列中项的 正负结构：,；,；,；前 n 项的和有最大值.,；前 n 项的和有最小值.数列na是首项为正数，公差小于 0 的递减数列，故6S 最大.10 11127 8 94 5 62 31Aoyx2.求解数列问题中的最值常见方法例 6已知数列na的通项6200959nnan(*nN),则数列na的前 12 项中,最大项和最小项分别是（）A112,a a
10、B81,a a C87,a aD127,aa解析：6200959nnan,设62009()59xf xx,作出图像如下:对称中心为59,6A由图可知,函数()f x 在0,59 上单调递减,在59,上单调递减.数列na的最大项是8a,最小项是7a.3.数列的求和问题例6 已知数列1，2，2，这个数列的特点是从第二项起，每一项等于它的前后两项之积，则这个数列的前2009项之积等于（）A1 B2 C4 D8解析：由题意，当2n 时，11nnnaaa，即11nnnaaa从而有：1，2，2，1，1,21,21，2，2，这是一个每六项一个循环的数列，且每一个循环的乘积为1，由于200933465，所以这
11、个数列的前2009项之积等于1221 122.3.数列的求和问题例 7 若数列na是首项为 1，公比为32a 的无穷等比数列，且na各项的和为a，则 a 的值是_.解析：na各项的和为a 3112a ，即 1522a na各项的和为131()2aa解得 12,2aa（舍）2.a(|1)q 1123123lim()lim1nnnnaSaaaaaaaSq3.数列的求和问题例 8已知数列na的首项 1 1a ，且满足12322nnnaaaa.求数列na的通项na；若数列 nb满足2nnnba，求证 122nbbb.解析：设123nnSaaaa112321,2nnnaaaaa 12nnnaS当1n 时
12、，得22a，当2n 时，112nnnaS 11122nnnnnnanaaSS11nnnana 由11a ，22a 知0na，故11nnanan 3211212 311 21nnnaaanaanaaan nan3.数列的求和问题例 8已知数列na的首项 1 1a ，且满足12322nnnaaaa.求数列na的通项na；若数列 nb满足2nnnba，求证 122nbbb.解析：nan2nnnbna122nnnnbn21311123221221nnTn12nnTbbb2311111121222212nnnTnn 231111122221122nnnTn1112111122112212nnnnnn 112222nnnnT错位相减法两端同乘以公比以上通过例题的形式，介绍了数列通项的递推关系的转化、求和等问题的分析和处理方法.仅仅是起到一个抛砖引玉的作用.对于数列的简单的实际应用问题，大多可以转化为求通项或求和的问题来解决.希望能使所有听课同学的思维能力得到提高.寄语：再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆本讲到此结束，请同学们关注下一讲.谢谢！