1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考情展望1.考查根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.考查通过数形结合思想，充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题.3.从考查形式上看，以选择题、填空题为主，属中档题一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相交；dr相切；dr相离2代数法：圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M
2、(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.二、圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含时：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公
3、共弦所在直线的方程1圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20Bxy40Cxy40 Dxy20【解析】圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.【答案】D2与圆C1：x2y22x6y260，C2：x2y24x2y40都相切的直线有()A1条B2条 C3条D4条【解析】把已知两圆化为标准方程，C1：(x1)2(y3)236，C2：(x2)2(y1)21，故圆心分别为C1(1,3)，C2(2，1)两圆圆心距|C1C2|5，等于两圆半径之差，故两圆相切，它们只有一条公切
4、线【答案】A3若圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围为_【解析】圆心到直线的距离大于半径即1，k.【答案】(，)4过点(4，8)作圆(x7)2(y8)29的切线，则切线的方程为_【解析】设切线的方程为y8k(x4)，圆心(7，8)到直线的距离等于半径即3无解，故切线斜率不存在，x4是切线【答案】x45(2013陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2b21，圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交【答案】B6(2013山东高考)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的
5、弦，其中最短弦的长为_【解析】设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2，当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦|CA|.半弦长.最短弦长为2.【答案】2考向一 145直线与圆的位置关系在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：xy4相切(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M、N关于直线x2y0对称，且|MN|2，求直线MN的方程【思路点拨】(1)利用直线与圆相切，求出圆的半径，写出圆的方程(2)设MN的方程为2xym0，利用|MN|2，求m值【尝试解答】(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2.所以圆O的方程为x2y24.(2)由题意，可设直线MN
6、的方程为2xym0.则圆心O到直线MN的距离d.由垂径分弦定理得：()222，即m.所以直线MN的方程为：2xy0或2xy0.规律方法11.与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解.2.利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系.对点训练(1)直线xy0绕原点按顺时针方向旋转30所得直线与圆x2y24x10的位置关系是()A直线与圆相切B直线与圆相交但不过圆心C直线与圆相离D直线过圆心(2)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范
7、围为()A，B(，)C. D.【解析】(1)直线xy0的倾斜角为150，顺时针方向旋转30后的倾斜角为120.旋转后的直线方程为xy0.将圆的方程化为(x2)2y23，圆心的坐标为(2,0)，半径为，圆心到直线xy0的距离为d圆的半径，直线和圆相切(2)依题意，设直线l的方程是yk(x4)，即kxy4k0，由题意得圆心(2,0)到直线l的距离不超过该圆的半径，即有1，由此解得k，选C.【答案】(1)A(2)C考向二 146圆与圆的位置关系圆O1的方程为：x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆O1与圆O2相外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且|AB|
8、2，求圆O2的方程【思路点拨】(1)根据两圆外切求出圆O2的半径，便可写出圆O2的方程(2)设出圆O2方程，求出直线AB的方程，根据点O1到直线AB的距离，列方程求解【尝试解答】(1)圆O1的方程为：x2(y1)24，圆心O1(0，1)，半径r12.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2，又|O1O2|2，r2|O1O2|r122，圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为：x2(y1)24，两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x4yr80，作O1HAB于H，则|AH|AB|，r12，|O1H|，又|O1H|
9、，得r4或r20，圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.规律方法21.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系.2.若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到.3.若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦.对点训练(1)(2012山东高考)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切D相离(2)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.【解析】(1)两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交(2)两圆的方程相
10、减，得公共弦所在的直线方程为y，又a0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a1.【答案】(1)B(2)1考向三 147圆的切线与弦长问题已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值【思路点拨】(1)设出圆的切线方程，利用圆的切线性质求解，注意检验直线斜率不存在时的情况(2)直接利用圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解(3)利用圆的几何性质：弦长|AB|2(r为半径，d为弦心距)求解【尝试解答】(1)圆心C(
11、1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，224，解得a.规律方法31.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法,(1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径求解.,(2)代数方法：当斜率存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，即ykx
12、kx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出.2.求圆的弦长的常用方法：(1)几何法；(2)代数方法.对点训练(1)(2013天津高考)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()AB1C2D.(2)(2013安徽高考)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D4【解析】(1)由圆的切线与直线axy10垂直，设切线方程为xayc0，再代入点(2,2)，结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出a的值由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0，由切线
13、xayc0过点P(2,2)，c22a，解得a2.(2)先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再在圆中构造直角三角形，利用勾股定理求弦长圆的方程可化为C：(x1)2(y2)25，其圆心为C(1,2)，半径R.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CPAB，圆心C到直线AB的距离d|CP|1.在RtACP中，|AP|2，故直线被圆截得的弦长|AB|4.【答案】(1)C(2)C规范解答之十五与圆有关的探索问题求解策略1个示范例1个规范练(12分)已知圆C：x2y22x4y40.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线ykx1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在
14、，说明理由【规范解答】圆C的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为C(1，2)假设在圆C上存在两点A、B满足条件，则圆心C(1，2)在直线ykx1上，即k1.3分于是可知，kAB1.设lAByxb，代入圆C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，则4(b1)28(b24b4)0，即b26b90.解得33b33.7分设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2b1，x1x2b22b2.由题意知OAOB，则有x1x2y1y20，也就是x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.10分b24b4b2bb20，化简得b23b40.解得b4或b1，均满
15、足0，即直线AB的方程为xy40，或xy10.12分【名师寄语】(1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题.(2)要注意解答这类题目的答题格式.使答题过程完整规范.(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由【解】(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)，半径为2.过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2.代入圆方程得，x2(kx2)212x320，整理得，(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A，B等价于4(k3)2436(1k2)42(8k26k)0，解得k0，即k的取值范围为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由知，x1x2.又y1y2k(x1x2)4，而P(0,2)，Q(6,0)，(6，2)，所以与共线等价于2(x1x2)6(y1y2)将式代入式，解得k.因为k，所以没有符合题意的常数k.
