1、广东省深圳市2020届高三数学二模考试试题 文（含解析）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.
2、5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合Ax|1x5，B1，3，5，则AB=（ ）A. 1，3B. 1，3，5C. 1，2，3，4D. 0，1，2，3，4，5【答案】A【解析】【分析】直接进行交集的运算即可.详解】Ax|1x5，B1，3，5，AB1，3.故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.2. 设z,则|z|（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解
3、即可.【详解】解：z,|z|.故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.3. 已知，则（ ）A. abcB. bcaC. cbaD. bac【答案】D【解析】【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系.【详解】，bac.故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4. 设x，y满足约束条件，则z2xy的最大值为（ ）A. 3B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可.【详解】不等式组
4、表示的平面区域如图所示，当直线z2xy过点时，目标函数z2xy的纵截距最小，此时z取得最大值，由，解得A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键.5. 已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中，正确的命题个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若，则与可以平行、相交、异面，故错误；若，则，故正确；若，则与可以平行、相交、异面，故错误；若，则与可以平行、相交或
5、，故错误所以正确的命题个数是1故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6. 已知双曲线的焦点分别为，P为C上一点，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得，然后根据双曲线的定义求出，然后再根据求出即可【详解】如图，因为，所以可得，根据双曲线的定义可得，即所以所以C的方程为故选：A【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单7. 执行如图的程序框图，如果输入的k0.4，则输出的n（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程
6、序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k0.4，S0，n1S，不满足条件S0.4，执行循环体，n2，S（1），不满足条件S0.4，执行循环体，n3，S（1），此时，满足条件S0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8. 函数f（x）x22x+1的图象与函数g（x）3cosx的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，
7、进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f（x）x22x+1的图象与函数g（x）3cosx的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由于f（x）（x1）2，的对称轴为x1，函数的图象与x轴相切，函数g（x）的图象的最小正周期为T，函数的图象关于y轴对称，如图所示：所以，则：x1+x2+x3+x44，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9. 已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,
8、则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 ,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 ,这个正四棱锥的体积是 ；构成的八面体的体积是2；八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V21：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部
9、的概率为：；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10. 函数f（x）的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（x）f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2），因为，所以，所以f（2）0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意
10、图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则（ ）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60,根据平面向量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以为一组基底的基向量,其中且的夹角为60,.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12. 在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，ACB90，BCPC2，若ACPB，则三棱锥P
11、ABC体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取PB中点M，连结CM，得到AC平面PBC，设点A到平面PBC的距离为hAC2x，则CMPB，求出VAPBC，设t，（0t2），从而VAPBC，（0t2），利用导数求出三棱锥PABC体积的最大值.【详解】解：如图，取PB中点M，连结CM，平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AC平面ABC，ACBC，AC平面PBC，设点A到平面PBC的距离为hAC2x，PCBC2，PB2x，（0x2），M为PB的中点，CMPB，CM，解得，所以VAPBC，设t，（0t2），则x24t2，VAPBC，（0t2），关于t求导，得
12、，所以函数在单调递增，在单调递减.所以当t时，（VAPBC）max.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团
13、队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,甲被选中概率为p.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则角C_.【答案】【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A，然后结合二倍角公式化简可求B，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意，又，所以即，因A为
14、三角形内角，故A，又由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以，又， 即，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15. 尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_.【答案】【解析】【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有只，类似的方法得到2个月后有只，3
15、个月后有只，根据以上分析进行归纳推理即可得n个月后老鼠的只数.【详解】由题意可得1个月后老鼠的只数,2个月后老鼠的只数,3个月后老鼠的只数，n个月后老鼠的只数.故答案为：.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16. 已知、分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线分别交轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】画出图形，由条件可得出，然后可得出为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得，从而可算出的值，然后利用算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，直线的方程为，把代入椭圆方程解得，在直线上，解得.又，解得
16、，令0，则，即，为椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，的周长为6，.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知各项都为正数的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)本题可设等比数列的公比为，由题设条件列出与首项的方程组，解出和，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的求出，再
17、求，最后通过等差数列前项和公式即可求得.【详解】(1)设各项都为正数的等比数列的公比为，则，因为，所以，解得，所以，(2)由(1)知，故，当时，；当时，故.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前项和公式为，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.18. 为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈
18、患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（3s，3s）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s，参考数据：48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查【解析】【分析】（1）结合
19、条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出，s，然后代入公式即可求解，作出判断即可.【详解】（1）甲药的治愈率更高;（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有的叶集中在茎1，2上，还有的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好.理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3
20、）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为10，s4.8，则3s4.4，24.3，而2624.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，ABC60，AA1AB，M，N分别为AB，AA1的中点.（1）求证：平面B1NC平面CMN；（2）若AB2，求点N到平面B1MC的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出AA1平面ABCD，AA1CM，CMAB，从而CM平面ABB1A1，进而CMB1N，推导出
21、A1B1NANM，从而A1B1NANM，A1NB1AMN，进而B1NMN，B1N平面CMN，由此能证明平面B1NC平面CMN.（2）求出点B1到平面CMN的距离为h1，设N到平面B1CM的距离为h2，由，能求出点N到平面B1MC的距离.【详解】（1）证明：直四棱柱ABCDA1B1C1D1，AA1平面ABCD，CM平面ABCD，AA1CM，底面ABCD是菱形，ABC60，M是AB的中点，CMAB，AA1ABA，AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，CM平面ABB1A1，B1N平面ABB1A1，CMB1N，M是AB中点，N为AA1中点，AA1，B1A1NNAM90，A1B1NANM，A1B
22、1NANM，A1NB1AMN，A1NB1+ANM90，B1NMN，MNCMM，B1N平面CMN，B1N平面B1NC，平面B1NC平面CMN.（2）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，ABC60，AA1AB，AB2，M，N分别为AB，AA1的中点.MN，B1M3，B1C，B1N，底面ABCD是菱形，ABC60，CM，CN，由（1）知B1N平面CMN，设点B1到平面CMN的距离为h1，h1，CN2MN2+CM2，B1M3，设N到平面B1CM的距离为h2，解得h2.点N到平面B1MC的距离为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间
23、的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20. 在平面直角坐标系xOy中，已知定点，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）已知点，动直线与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线上截得的弦长的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，设，再由 ， ，得到a，b的关系式，然后由A关于点B的对称点为M，得到，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线相交，设，根据关于轴对称，得到过G，P，Q三点的圆的圆心在x轴上，设圆心为，由，运用两点间
24、的距离公式求得圆的方程，令，得到圆E在直线上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，所以设，因为 ， ，所以，因为A关于点B的对称点为M，所以 ，即 ，代入式得，所以曲线C的方程是.（2）由（1）知抛物线的方程为，直线与抛物线方程联立解得，设，因为关于轴对称，所以过G，P，Q三点的圆的圆心在x轴上，设圆心为，所以，即，解得，所以圆E的方程为，令，的，所以圆E在直线上截得的弦长为，因为，所以， ，当且仅当，即时，取等号，所以当时，圆E在直线上截得的弦长的最小值为.【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与
25、圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21. 已知函数f（x）3,g（x）alnx2x（aR）.（1）讨论g（x）的单调性；（2）是否存在实数a,使不等式f（x）g（x）恒成立？如果存在,求出a的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,【解析】【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f（x）g（x）恒成立即xexaelnx+2ex3e0,构造函数u（x）xexaelnx+2ex3e,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）,x0,（i）当a0时,g（x）0,函数
26、在（0,+）上单调递减,（ii）当a0时,令得，令，得，所以函数g（x）在（0,）上单调递增,在（）上单调递减,（2）要使不等式f（x）g（x）恒成立即恒成立,即xexaelnx+2ex3e0,令u（x）xexaelnx+2ex3e,则u（1）0,要使得原不等式成立,则u（x）在x1处取得极小值,因为,所以u（1）0可得a4,检验a4时,u（x）,设v（x）x（x+1）ex+2ex4e,且v（1）0,显然v（x）在（0,+）上单调递增,当x（0,1）时,v（x）0,即u（x）0,u（x）单调递减,当x（1,+）时,v（x）0,即u（x）0,u（x）单调递增,故u（x）的最小值u（1）0,满足题
27、意,综上，a4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修44：坐标系与参数方程22. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|
28、2，|MB|1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为（02），用表示点M的坐标，并求出C的普通方程；（2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为（0）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点.当，|GH|，依次成等差数列时，求直线l2的普通方程.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）用三角函数表示出点M的坐标，直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程；（2）设出直线l1的参数方程，与椭圆方程联立利用直线参数的几何意义求出、，根据题意有，列出方程求出直线l1的斜率即可求
29、得直线l2的方程.【详解】（1）设M（x，y）依题意得：x2cos，ysin，所以M（2cos，sin），由于cos2+sin21，整理得.（2）由于直线l1倾斜角为（），且l1l2，所以直线l2的倾斜角为，依题意易知：F（），可设直线l1的方程为（t为参数），代入得到：，易知，设点D和点E对应的参数为t1和t2，所以，.则，由参数的几何意义：，设G、H对应的参数为t3和t4，同理对于直线l2，将换为，所以，由于，|GH|，依次成等差数列，所以，则，解得，所以，又，所以，所以直线l2的斜率为，直线l2的直角坐标方程为x.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、直线参数方程中参数的几
30、何意义、韦达定理的应用、等差数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于较难题.选修45：不等式选讲23. 已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c1.证明：（1）|a|+|b+c1|；（2）（a3+b3+c3）（）3.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a，b，c为正实数，且满足a+b+c1，得到b+c1a0，则|a|+|b+c1|a|+|a|，再利用绝对值三角不等式求解.（2）利用（a3+b3+c3）3abc，得到（a3+b3+c3）（）3abc（），进而变形为，再利用基本不等式求解.【详解】（1）a，b，c为正实数，且满足a+b+c1，b+c1a0，|a|+|b+c1|a|+|a|（a）+（a）|.当且仅当（a）（a）0，即0时，等号成立.|a|+|b+c1|；（2）（a3+b3+c3）（）3abc， ， ， ，3（a+b+c）3.当且仅当abc时等号成立.（a3+b3+c3）（）3.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
