1、一、填空题1(2018常州期末)若复数 z ai12i(aR)为纯虚数，则实数 a 的值为_2已知向量 a(，2)，b(1，1)，则“1”是“ab”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)3曲线 f(x)ln x1x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则1sin cos cos2_.4已知函数 f(x)ln(x 1x2)，则不等式 f(x1)f(x)0 的解集是_5已知函数 f(x)12x，x2，fx1，x3，定义函数 g(x)f(x)k，若函数 g(x)无零点，则实数 k的取值范围为_7已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa，若 g
2、(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是_8(2018无锡调研)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC 2，D，E 是线段 BC 上的点，且 DE13BC，则AD AE的取值范围是_9已知 sin()35，sin()23，则tan tan _.10如果已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的三条边分别是 a，b，c，且满足(a2b2c2)(acosBbcos A)abc，c2，则ABC 周长的取值范围为_11已知函数 f(x)xexa，g(x)ln(x2)4eax，其中 e 为自然对数的底数，若存在实数 x，使 f(x)g(x)3 成立，则实数 a 的值为_12(2018南通考试)
3、如图，半径为 1 的扇形 AOB 中，AOB23，P 是弧 AB 上的一点，且满足 OPOB，M，N 分别是线段 OA，OB 上的动点，则PM PN的最大值为_13若函数 f(x)x3ax22x5 在区间13，12 上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数 a 的取值范围是_14已知 a，b 是两个单位向量，且|c|13，ab12，ca1，cb2，则对于任意实数 t1，t2，|ct1at2b|的最小值是_二、解答题15命题 p：实数 x 满足 x24ax3a20)，命题 q：实数 x 满足|x1|2，x3x20.(1)若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若綈 p 是
4、綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围16已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|.17已知函数 f(x)3sin xcos xcos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x0，2 时，求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(ab)(sin Asin B)c(sin Csin B)(1)求 A；(2)若 a4，求ABC 面积 S 的最大值19在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往
5、经验，潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为v1031(升)，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y(升)(1)求 y 关于 v 的函数关系式；(2)若 cv15(c0)，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少20已知函数 f(x)x36x29x3.(1)求函数 f(x)的极值；(2)定义：若函数 h(x)在区间s，t(s12 5.16 6.1,1)71，)解析 如图画出函数 f(x)的图象，即 yln x 和 yex 的
6、图象，yex 在 y 轴右侧的部分去掉，再画出直线 yx，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程 f(x)xa 有两个解，也就是函数 g(x)有两个零点，此时满足a1，即 a1.8.89，43解析 如图所示，以 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)，设 D(x,0)，则 Ex23，0 1x13.据此有AD(x，1)，AEx23，1，则AD AEx223x1x13289.据此可知，当 x13时，AD AE取得最小值89；当
7、 x1 或 x13时，AD AE取得最大值43，所以AD AE的取值范围是89，43.9 119解析 sin()35，sin()23，sin cos cos sin 35，sin cos cos sin 23，解得 sin cos 130，cos sin 1930，又tan tan sin cos sin cos sin cos cos sin 1301930 119.10(4,6解析 根据(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc 和余弦定理，得到(a2b2c2)aa2c2b22acbb2c2a22bc(a2b2c2)cabc，消去 c 得到 a2b24ab，所以(ab)243ab3
8、ab24，解得 0c，周长 l 的取值范围为(4,6111ln 2解析 令 F(x)f(x)g(x)xln(x2)exa4eax(x2)，G(x)xln(x2)(x2)G(x)1 1x2x1x2，当2x1 时，G(x)1 时，G(x)0，故 G(x)在(1，)上是增函数，所以 G(x)minG(1)1，即 xln(x2)1 成立，当且仅当 x1 时等号成立由基本不等式有 exa4eax4，当且仅当 xaln 2 时等号成立，因存在 x 使得 F(x)3，故上述不等式等号同时成立，故1aln 2，即 a1ln 2.121解析 扇形 AOB 的半径为 1，|OP|1，OPOB，OP OB 0.AO
9、B23，AOP6.PM PN(PO OM)(PO ON)PO 2ON PO OM PO OM ON1|OM|cos56|OM|ON|cos2310 32 012 1.13.54，52解析 f(x)x3ax22x5，f(x)3x22ax2.根据题意，函数在区间13，12 上至少有一个零点，若只有一个零点，则 f 13 f 12 0，f 12 0，13a312，得 a.综上所述，a54，52.143解析|ct1at2b|2c2t21a2t22b22t1ac2t2bc2t1t2ab13t21t222t14t2t1t2t1t222234(t22)299，当且仅当 t22，t10 时取等号，即|ct1a
10、t2b|的最小值是 3.15解(1)由 x24ax3a20得(x3a)(xa)0，所以 ax3a，当 a1 时，1x3，即 p 为真时，实数 x 的取值范围是 1x2，解得 2x3，即 q 为真时，实数 x 的取值范围是 2x3，若 pq 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(2,3)(2)由(1)知 p：ax3a，则綈 p：xa 或 x3a，q：23，因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则綈 p綈 q，且綈 qD/綈 p，所以03，解得 1a2，故实数 a 的取值范围是(1,216解(1)由 ab 得 ab0，所以2x3x20，即 x22x30，解得 x1 或 x3.故
11、 x 的值为 1 或3.(2)由 ab 得 x(2x3)x，即 2x24x0，解得 x0 或 x2.当 x0 时，ab(2,0)，所以|ab|2；当 x2 时，ab(2,4)，所以|ab|2 5.故|ab|2 或 2 5.17解(1)f(x)3sin xcos xcos2x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12.2，T，即 f(x)的最小正周期为，由 2k22x62k2，kZ，得 k6xk3，kZ，f(x)的单调递增区间为k6，k3(kZ)(2)x0，2，62x656，当 2x62，即 x3时，f(x)取最大值12，当 2x66，即 x0 时，f(x)取最小值1.18解(1
12、)根据正弦定理可知(ab)(ab)c(cb)，整理得 b2c2a2bc，由余弦定理的推论得cos Ab2c2a22bc12，0A0)(2)由(1)得 y3v250 240v 9(v0)，y6v50240v2 3v32 00025v2，令 y0 得 v103 2，当 0v103 2时，y103 2时，y0，函数单调递增若 c103 2，则函数在(c,103 2)上单调递减，在(103 2，15)上单调递增，当 v103 2时，总用氧量最少若 c103 2，则 y 在c,15上单调递增，当 vc 时，总用氧量最少综上，若 0c103 2，下潜速度 v103 2时，总用氧量最少，若 c103 2，下
13、潜速度 vc时，总用氧量最少20解(1)因为 f(x)x36x29x3，所以 f(x)3x212x93(x1)(x3)令 f(x)0，可得 x1 或 x3.则 f(x)，f(x)在 R 上的变化情况为x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增函数1减函数3增函数所以当 x1 时，函数 f(x)有极大值 1，当 x3 时，函数 f(x)有极小值3.(2)假设函数 f(x)在(3，)上存在“美丽区间”s，t(3s3)，则 g(x)3x212x8.令 g(x)0，解得 x1223 33.当 3xx2 时，g(x)x2 时，g(x)0，所以函数 g(x)在区间(3，x2)上单调递减，在区间(x2，)上单调递增因为 g(3)60，g(x2)g(3)0，所以函数 g(x)在区间(3，)上只有一个零点这与方程 x36x29x3x 有两个大于 3 的相异实根相矛盾，所以假设不成立所以函数 f(x)在(3，)上不存在“美丽区间”
