1、第三节三角函数的图象与性质考情展望1.考查三角函数图象的识别.2.考查三角函数的有关性质(单调性、奇偶性、周期性和对称性).3.考查三角函数的值域(最值)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域xRxRxR且xk，kZ值域1,11,1R单调性递增区间是2k，2k (kZ)，递减区间是2k，2k(kZ)递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间是2k，2k(kZ)递增区间是（k，k）(kZ)最值ymax1；ymin1ymax1；ymin1无最大值和最小值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称
2、轴最小正周期22三角函数奇偶性的判断技巧1若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)2若f(x)Acos(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)1函数ytan 3x的定义域为()A.B.C.D.【解析】由3xk，kZ得x，kZ，故选D.【答案】D2函数f(x)2cos是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为2的非奇非偶函数D最小正周期为的偶函数【解析】f(x)2cos2cos2sin x，故f(x)是最小正周期为2
3、的奇函数【答案】A3函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()AxBxCx Dx【解析】法一正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.法二x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin1，符合题意，C项正确；而x时，ysin，不合题意，故D项也不正确【答案】C4比较大小：sin_sin.【解析】0，sinsin.【答案】5(2013天津高考)函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 BC. D0【解析】x0，2x，当2x时，f(x)sin(2x)有最小值.【答案】B6(2013江苏高考)函数y3sin的最小正
4、周期为_【解析】函数y3sin的最小正周期T.【答案】 考向一 053三角函数的定义域和值域(1)函数y的定义域为_(2)求下列函数的值域：y2cos2 x2cos x；y3cos xsin x，x0，；ysin xcos xsin xcos x.【思路点拨】(1)由tan x10，且xk，kZ解得(2)令cos xt，转化成二次函数求解，注意t的范围借助辅助角公式，化原式成yAsin(x)的形式，借助函数的单调性求解令sin xcos xt，则sin xcos x，从而转化成二次函数求值域【尝试解答】(1)要使函数有意义，必需有即故函数的定义域为.【答案】(2)y2cos2x2cos x22
5、.当且仅当cos x1时，得ymax4，当且仅当cos x时，得ymin，故函数值域为.y3cos xsin x22cos.x0，x，1cos，22cos3.y3cos xsin x的值域为2，3法一：ysin xcos xsin xcos xsinsin2sin21，所以当sin1时，y取最大值1.当sin时，y取最小值1，该函数值域为.法二：设tsin xcos x，则sin xcos x(t)，ytt2(t1)21，当t时，y取最大值为，当t1时，y取最小值为1.函数值域为.规律方法11.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求解三角函数的值域
6、(最值)的常见类型及方法.,(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求解.考向二 054三角函数的单调性求下列函数的单调区间(1)ysin；(2)y|tan x|.【思路点拨】(1)ysin，再借助复合函数单调性求解；(2)由ytan x的图象y|tan x|的图象求单调区间【尝试解答】(1)ysin，它的增区间是
7、ysin的减区间，它的减区间是ysin的增区间由2k3x2k，kZ，得x，kZ.由2k3x2k，kZ.得x，kZ.故所给函数的减区间为，kZ；增区间为，kZ.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.规律方法21.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.2.求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.对点训练(2014常州模拟)已知函数ysin，求：(1)函数的周期；(2)求函数在，0上的单调递减区间【解】由ysi
8、n可化为ysin.(1)周期T.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以xR时，ysin的减区间为，kZ.取k1,0可得函数在，0上的单调递减区间为和.考向三 055三角函数的奇偶性、周期性和对称性(1)已知函数f(x)sin(x)1，则下列说法正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数(2)已知f(x)cos(x)sin(x)为偶函数，则可以取的一个值为()A.B.C D(3)设函数f(x)sin(x)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图象关于直线x成轴对称图形；它的图象关于点成中心
9、对称图形；在区间上是增函数以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可)【思路点拨】(1)借助诱导公式对f(x)先化简，再判断(2)化f(x)为Asin(x)的形式，再结合诱导公式求解(3)本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断【尝试解答】(1)周期T2，f(x)sin1cos x1，因此函数f(x)是偶函数，故选B.(2)f(x)22cos2cos，由f(x)为偶函数，知k(kZ)，即k(kZ)，由所给选项知只有D适合(3)若、成立，则2；令2k，kZ，且|，故k0，.此时f(x)sin，当x时，sinsin 0，
10、f(x)的图象关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，在上也是增函数，因此，用类似的分析可得.因此填或.【答案】(1)B(2)D(3)或规律方法31.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.2.求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象.思想方法之九研究三角函数性质的一大“法宝”整体思想所谓整体思想就是研究问题时从整体出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析、整体处理的思想方法在三角函数学习中，运用“整体思想”可以解决以下几类问题(1)三角函数的化简求值；(2)研究三角函数的有关性质(如定义域、值域、单调性等)；(3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题1个示范例 1个对点练(2012课标全国卷)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A.B.C. D(0,2【解析】由x得x，由题意知，故选A.已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是()A.6，)B.C(，26，)D(，2【解析】当0时，由x得x，由题意知，当0时，由x得x，由题意知，2，综上知(，2.【答案】D