1、吉林省长春市第二十中学2020-2021学年高一数学下学期第二次质量测试试题考试时间：120分钟 一、单选题：（每题5分，共60分）1已知，则复数（ ）ABCD2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45，a=6，b=3，则B的大小为（ ）A30 B60 C30或150 D60或1203设，是两个不共线的向量，若向量(kR)与向量共线，则（ ）Ak0Bk1Ck2Dk4在ABC中，则ABC是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形5平面向量与的夹角为60，(2，0)，|1，则等于AB2C4D126已知为的一个内角，向量.若，则角ABCD7如图，正方形的边
2、长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A4 B6 C8 D8棱长为4的正方体的内切球的表面积为（ ）ABCD9下列命题正确的是（ ）A棱柱的每个面都是平行四边形B一个棱柱至少有五个面C棱柱有且只有两个面互相平行D棱柱的侧面都是矩形10设，表示两条直线，表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则11棱长为a的正四面体的表面积为（ ）ABCD12已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）ABCD二、填空题：(每题5分，共20分)13棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为_(注：球的体积，
3、其中R为球的半径)14已知复数，则_15在中，是中点，则_16（1）正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的_倍，体积扩大到原来的_倍；（2）球的半径扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的_倍，体积扩大到原来的_倍.三、解答题:（第17题10分，其余各题为12分）17(10分)已知四棱锥的底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为，计算它的高和侧面三角形底边上的高18如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E平面BCHG.19在中，角分别对应边，已知，角，求角20设正三角形的边长为，求的值.
4、 21已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A.（2）若，边上的高为3，求c.22如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点（1）证明：平面；（2）设，四棱锥的体积为1，求证：平面平面参考答案1B2A3D4C5B6C7C8C9B10D11D12B131415216 17四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为如下图所示:作为四棱锥的高，作于点，则为的中点连接，则，底面正方形的面积为16，则又，在中，由勾股定理，可得在中，由勾股定理，可得，即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为【点睛】本题考查了正四棱锥的性质的运用以及计算能力属于基础题关键是根据已知判定为正棱锥，根据正棱
5、锥的性质求出高和斜高.18（1）证明见详解；（2）证明见详解；【分析】（1）由中点知为中位线，即有，结合三棱柱的性质可证，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有平行且相等，即有，结合线面平行的判定即可证面.【详解】（1）G，H分别是，的中点，而，即B，C，H，G四点共面.（2）E，G分别是AB，的中点，平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，面，19【分析】先通过正弦定理求出，再根据三角形的内角和为求出.【详解】解：由正弦定理得，即，解得，因为，则必为锐角，.【点睛】本题考查正弦定理的应用，是基础题.20【分析】利用向量数量积的定义可求的值.【详解】，且与，与与的夹角均为，.
6、【点睛】本题考查向量的数量积，注意向量的夹角应满足“起点归一”，这是向量数量积的计算过程中的易错点，本题属于基础题.21（1）；（2）或.【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到求解； （2）由，根据解得a，再利用余弦定理求解；【详解】（1）中，由正弦定理得，即；为内角，又为内角，.（2）因为将，代入，得.由余弦定理得，于是，即，解得或.【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到22（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（ 1）设与的交点为，连接，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接交于点O，连结,因为为矩形，所以O为的中点,又E为的中点，所以,平面，平面，所以平面.（2）因为,所以，所以底面为正方形，所以，因为，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面.【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.