1、第3讲 几何概型 课标要求考情风向标1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率，初步体会几何概型的意义.2.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程新课标高考对几何概型的要求较低，几乎没有考过，但其他省份经常涉及，以选择题或填空题为主.复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域(长度或面积)是解决几何概型问题的关键1.几何概型几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_.2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式P(A)构成事件 A 的区域长度(面积或体积)全部结果所构成的区域长度
2、(面积或体积)3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.注意：在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子 区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置 和形状无关.求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.1.一只蚂蚁在如图 9-3-1 所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概率是()B图 9-3-1A.14B.13C.15D.122.取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后
3、在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是()A.14B.13C.12D.23解析：把绳子 4 等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于 1 m，故所求概率为 p2412.C3.在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积不小于S3的概率是()A.23B.13C.34D.14图 D104答案：A解析：记事件 A“PBC 的面积不小于S3”，基本事件空间是线段 AB 的长度.如图 D104，取 AB 的三等分点 P，如果在线段 BP 上取点，那么PBC 的面积小于S3；如果在线段 AP 上取点，那么PBC 的面积不小于S3.概率为 P(A)APAB2
4、3.4.向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 的面积小于S2的概率为_.解析：取 AB，AC 的中点 E，F，如图 D105，如果点 P 在线段 EF 上，那么PBC 的面积等于S2；如果点 P 在线段 EF 上方(即AEF 内)，那么PBC 的面积大于S2；如果点 P 在线段EF 下方(即四边形 EFCB 内)，那么PBC的面积小于S2.概率为 pS四边形EFCBSABC 34.图D10534考点 1 与长度(角度)有关的几何概型 例 1：(1)(2016 年新课标)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达
5、发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：如图 D106，画出时间轴：图 D106答案：B小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他到达的时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p10104012.故选 B.(2)(2019 年辽宁模拟)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为()A.16B.13C.234D.5解析：设 ACx cm(0 x12)，则 CB(12x)cm，
6、则矩形面积 Sx(12x)12xx20，解得 0 x4或 8x12，在数轴上的表示情况如图 D107.图 D107答案：C由几何概型概率公式，得概率为 81223.故选 C.(3)(2019 年上海模拟)在区间1,1上随机取一个数 k，则直线 yk(x2)与圆 x2y21 有两个交点的概率为()A.29B.36C.13D.33答案：D解析：圆 x2y21 的圆心为(0,0)，圆心到直线 yk(x2)的距离为|2k|k21.要使直线 yk(x2)与圆 x2y21 有两个交点，则需|2k|k211，解得 33 k|AC|的概率为()A.13B.16C.2 32D.34答案：B解析：“过直角顶点 C
7、 作射线 CM 交线段 AB 于点 M”，CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比.如图 D96，取 ADAC，A30，此时ACD75，欲使|AM|AC|，CM 必须在BCD 内，其概率为159016.(2)(2019 年辽宁鞍山模拟)如图 9-3-4，过等腰 RtABC 的直角顶点 C 在ACB 内部随机作一条射线，设射线与 AB 相交于点 D，求 ADAC 的概率.图 9-3-40.75.解：在 AB 上取一点 E，使 AEAC，连接 CE(如图 D108)，则当射线 CD 落在ACE 内部时，ADAC.易知ACE67.5，ADAC 的概率 p67.590图 D108【规律方法】与角度有关
8、的几何概型的求法：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.难点突破与线性规划有关的几何概型例题：(2019 年湖北联考)在区间0,4上随机取两个实数 x，y，使得 x2y8 的概率为()A.14B.316C.619D.34图 9-3-5答案：D解析：如图 9-3-5，0 x4，0y4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x2y8(x，y0,4)表示的平面区域为图中阴影部分，所求概率 p4412424434.【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所
9、表示的区域.【跟踪训练】1.(人教版教材改编)某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_.(用数字作答)解析：如图 D109，用 x 表示小张到校的时间，30 x50，用 y 表示小王到校的时间，30y50，则所有可能的结果对应平面直角坐标系的正方形 ABCD 区域.小张比小王至少早 5分钟到校，即 yx 所对应的区域为5.DEF.答案：932图 D109 P(小 张 比 小 王 至 少 早 5 分 钟 到 校)SDEFS正方形ABCD 1215152020 932
10、.2.(2015 年湖北)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“xy12”的概率，p2 为事件“|xy|12”的概率，p3 为事件“xy12”的概率，则()A.p1p2p3B.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p2p1解析：x，y0,1，事件“xy12”对应区域：如图 D110(1)所示的阴影部分 S1，事件“|xy|12”对应区域：如图 D110(2)所示的阴影部分S2，事件“xy12”对应区域：如图 D110(3)所示的阴影部分 S3，由图知阴影部分的面积从小到大依次是 S2S3S1，正方形的面积为 111，根据几何概型公式可得 p2p3p1.(1)(2)(3)图 D11
11、0答案：B1.几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的；基本事件可抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们与所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.2.对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式求解.(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可.(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型.(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.
