1、第三章不等式31不等关系与不等式31.1不等关系与不等式的性质 1平时我们写作文时，要求不能少于800字，若用m表示我们的写作字数，则该关系我们可以用不等式表示为()Am800 Bm800Cm800 Dm8002已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()Aacbd BacbcCacbd Dadbc3设xa0，则下列各不等式一定成立的是()Ax2axaxa2Cx2a2a2ax4如果a0，那么下列不等式正确的是()A. B.Ca2|b|5已知a，b，cR，且ab，则下列等式中一定成立的是()Aacbc Ba2b0 D(ab)c206若11，则下列各式中恒成立的是()A20 B21C
2、10 D117配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料已知配一剂A种药需甲料3克、乙料5克；配一剂B种药需甲料5克、乙料4克今有甲料20克、乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，yN)，请写出x，y应满足的不等关系式8(2013年上海)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A. Babb2Caba2 D0，则下列各式中正确的是()Amn BmnCmn0 DmN BM2a；a2b22(ab1)；a2b2ab.其中恒成立的个数是()A0个 B1个C2个 D3个4(2013年新课标)设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dca
3、b535与53的大小关系为()A3553 B3553C3553 D不能确定6比较大小：_.7求证：0，且a1，比较loga(a31)与loga(a21)的大小3.2一元二次不等式及其解法32.1一元二次不等式及其解法 1不等式0的解集是()A(，1)(1,2 B1,2C(，1)2，) D(1,22下列不等式的解集与不等式x2x60的解集相同的是()Ax22x30B(x2)(x3)0D2x22x120的解集是()A.B(1，) C(，1)(2，)D.(1，)4下列四个不等式解集为R的是()Ax2x10Bx22 x0Cx26x100D2x23x405在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)
4、0的实数x的取值范围为()A(0,2)B(2,1)C(，2)(1，)D(1,2)6若关于x的不等式x2axa0的解集为_10已知f(x)x22ax3.(1)当a1时，解不等式f(x)0；(2)如果g(x)(13a2)x22，解不等式f(x)g(x)3.2.2一元二次不等式的实际应用 1已知不等式ax2bx10，(a0)的解集为R，则()Aa0 Ba0，0，0，02函数y的定义域是()A.Bx|x5C.D.3不等式(2a)x22(a2)x40对于一切实数都成立，则()Aa|2a2Ba|2a2Ca|a2Da|a24在下列不等式中，解集是的是()A2x23x20Bx24x40C44xx205某产品的
5、总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式为y300020x0.1x2(0x240，xR)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是()A100台 B120台C150台 D180台6某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程若该公司年初以来累积利润s(单位：万元)与销售时间t(单位：月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)为st22t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(单位：月)满足的取值范围为_7若函数y中自变量x的取值范围是一切实数，求实数k的取值范围8已知函数f(x)则不等式f(x)
6、x2的解集是()A1,1 B2,2C2,1 D1,29不等式(x2)0的解集是_10对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点已知函数f(x)ax2(b1)xb1(a0)(1)当a1，b2时，求f(x)的不动点；(2)若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题33.1二元一次不等式(组)与平面区域 1不等式3x2y60表示的区域是()2不等式组表示的平面区域是下列图中的()3不等式组表示的平面区域的面积是()A4 B1C5 D无穷大4不等式组表示的平面区域内整点的个数是()A2个 B
7、4个 C5个 D8个5在平面直角坐标系中，不等式x2y20表示的平面区域是()6若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()Aa5 Ba7C5a7 Da0 B3x02y08 D3x02y0810在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，求平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积？33.2简单的线性规划问题(一) 1线性规划中的可行域中的点(x，y)是()A最优解B可行解C线性目标函数D可能不满足线性约束条件2不等式组表示的平面区域是()3(2013年福建)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值和最小值分别为()A4和3 B4和2C3和2
8、 D2和04设实数x，y满足则zxy()A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值5(2012年广东)已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()A3 B1C5 D66已知变量x，y满足条件则xy的最大值是()A2 B5C6 D87已知点(x，y)满足不等式组求在这些点中，(1)使目标函数k6x8y取得最大值的点P的坐标；(2)使目标函数k8x6y取得最大值的点P的坐标8画出以点A(3，1)，B(1,1)，C(1,3)为顶点的ABC的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z3x2y的最大值和最小
9、值3.3.3简单的线性规划问题(二) 1下列命题中正确的是()A点(0,0)在区域xy0内B点(0,0)在区域xy12x内D点(0,1)在区域xy10内2以原点为圆心的圆全部在区域内，则圆的面积的最大值为()A. B.C2 D3点P(a,4)到直线x2y20的距离为2 ，且点P在3xy30表示的区域内，则a_.4已知实数x，y满足约束条件目标函数z3xy，某学生求得当x，y时，zmax， 这显然不合要求，正确答案应为x_， y_， zmax_.5(2013年山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上的一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D6已知点P(x，y)的坐
10、标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_7若实数x，y满足且z2xy的最小值为3，则实数b的值为_8已知ABC的三边a，b，c满足cb2a，ca2b，求的取值范围3.3.4简单线性规划问题的实际应用 1已知某家具厂现有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌要方木料0.1 m3、五合板2 m2，生产每个书橱要方木料0.2 m3 、五合板1 m2，设生产书桌x张，书橱y个，则生产的约束条件为()A. B.C. D.2某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售
11、每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A12万元 B20万元C25万元 D27万元3某人上午7：00乘汽车以匀速v1千米/时(30v1100)从A地出发到距A地300千米的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米/时 (4v220)从B地出发到距B地50千米的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x，y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x，y的范围用阴影部分表示正确的是()4有两种物质A和B，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘
12、轮船可运A和B分别为300吨和250吨，每天每架飞机可运A和B分别为150吨和100吨，现一天中需运A和B分别为2000吨和1500吨，则每天应动用轮船_艘、飞机_架，既能完成运输任务，又使所动用的轮船与飞机的总数最少5某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金/百元月资金供应量/百元空调机洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110
13、单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？6若实数x，y满足则的取值范围是()A(0,2) B(0,2C(2，) D.7某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？3.4基本不等式：34.1基本不等式(一) 1若x2y24，则xy的最大值是()A.
14、B1 C2 D42函数f(x)x2(x0)()A有最大值为0 B有最小值为0C有最大值为2 D有最小值为23如果a0，b0，A，B，那么一定有()AabAB BabABCabAB DabAB4已知a，bR，且ab0，则在ab；2；ab2；2这四个不等式中，恒成立的个数有()A1个 B2个C3个 D4个5设函数f(x)2x1(x0，则x的最小值为_7已知t0，求函数y的最小值8若a0，b0，且ab2，则()Aab BabCa2b22 Da2b229已知lgxlgy1，则的最小值是_10有一台天平两臂之长略有不同，其他均精确，有人说要用它称量物体的质量，只需将物体放在左、右托盘内各称一次，再将称量
15、的结果相加后除以2就是物体的真实质量，你认为这种说法对不对？证明你的结论如果不对的话，你能找到一种用这台坏天平称量物体的正确方法吗？3.4.2基本不等式(二) 1已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A8 B6 C4 D22在算式“4130”的两个，中，分别填入两个正整数，使他们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对(，)应为()A(4,14) B(6,6)C(3,18) D(5,10)3已知xab，y(a，b，m，n为正数)，则两者的大小关系是()Axy Bx0，b0，则2的最小值是()A2 B2 C4 D56某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费
16、为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.7已知等比数列an中，a21，则其前3项和S3的取值范围是()A(，1B(，0)(1，)C3，)D(，13，) 8已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.9天文台用3.2万元购买一台观测仪，这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(nN)，问这台观测仪使用多少天报废最合算？10过定点M(1,4)的直线l在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小，求该直线的方程3.4.3基本不等式的实际应用 1若x，y是正实数，则(xy)的最小值为()A6 B9C12 D152
17、函数y3x2(x0)的最小值是()A3 3 B3C6 D6 33当点(x，y)在直线x3y20上移动时，则3x27y1的最小值为()A3 B5C1 D74某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00，则函数y的最小值为_7围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图K341，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)(1)将总造价y表示为x的函数；(2)试确定x的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用图K34
18、18设a0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4C1 D.9某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅应设计为多长？10如图K342，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能
19、使矩形广告面积最小？图K342第三章不等式31不等关系与不等式31.1不等关系与不等式的性质1A2.A3.B4.A5D解析：若c0，则排除A，C；又a，b正负性不定，故B选项不一定成立6A解析：，0，排除B，D；又1.又1，2.故选A.7解：x，y应满足的不等关系式为8D由于ab0，不妨令a2，b1，可得，1，.故A不正确可得ab2，b21，abb2.故B不正确可得ab2，a24.aba2.故C不正确故选D.9解：14，21，两式相加，得123，即.由21，得12.又14，13.设2m()n()，2.10解：设有x辆汽车，则货物重为4x20吨，由题意有：解得5x0，ab，clog231，a1，
20、bab.故选D.5A6解析：先平方，再比较大小7证明：和2 都是正数，要证：2 ，只需证：()2(2 )2，整理，得5.即证：2125.21(x，y，mR)9解：MN()().a1，0，0.又1aa1，即0.MN0，故MN.10解：(a31)(a21)a2(a1)(1)当0a1时，a31loga(a21)(2)当a1时，a31a21.loga(a31)loga(a21)综上所述，当a0，且a1时，loga(a31)loga(a21)32一元二次不等式及其解法32.1一元二次不等式及其解法1D2.D3.D4.C5B解析：根据定义x(x2)x(x2)2x(x2)x2x20，解得2x1.6a0即可7
21、解：(1)方程ax2bx20的两根为和2，由根与系数的关系，得解得(2)由(1)知：ax2bx10可变为2x23x10，即2x23x10，解得x1.不等式ax2bx10的解集为.8x|x0或x6解析：yx是单调递减函数9x|x1且x210解：(1)当a1时，不等式f(x)0为x22x30，即(x3)(x1)0，解得1x3.不等式f(x)0的解集为(1,3)(2)不等式f(x)g(x)可化为(ax1)(3ax1)0时，不等式的解集为；当a10解析：依题意有t22t30，解得t10或t6(舍去)7解：y中自变量x的取值范围是R，x22kxk0恒成立4k24k0.0k1.故实数k的取值范围是k|0k
22、18A解析：依题意，得或1x0或00恒成立16a216a0a(a1)00a1，实数a的取值范围为(0,1)33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域1D2.D 3.D4C解析：整点包括(0,0)，(1,1)，(1,0)，(2,0)，(2,1)共5点5B解析：不等式x2y20化为(xy)(xy)0，等价于或6C75m14解析：依题意，得(321m)(432m)0，解得5m0，xy20,2xy50区域内，a16.43211解析：作一组平行直线y3xz，在可行域边界上的点且使z最大的点坐标为(4,0)，但0N*，可行域内在点(4,0)附近的整点为(3,1)，
23、(3,2)分别代入z3xy可知：点(3,2)使z3xy最大，最大值为11.5C解析：不等式组表示的区域如图D35，当M取点A(3，1)时，直线OM斜率取得最小，最小值为k.故选C.图D356.解析：当点P为(1,1)时，|PO|最小；当点P为(1,3)时，|PO|最大7.8解：由已知条件，得a，b，c之间存在的一些不等关系有：令x，y，则不等式组可化为问题转化为在约束条件下，确定x的取值范围作出可行域，如图D36.图D36由方程组，得A，再由，得C，不难看出，x，于是的取值范围是0x2 ，当且仅当xx时取等号7解：yt42(t0)，当且仅当t1时，ymin2.8C9210解：题中所给出的天平称
24、物的方法是不对的设物体的真实质量为M，天平的两臂长分别为l1，l2，两次称量的结果分别为a，b，则由力矩平衡原理，得由此，得M2ab，所以M.由基本不等式可知：(ab)，所以用求算术平均数的方法不能称出物体的真实质量求物体的真实质量的方法是求两次称量所得结果的几何平均数34.2基本不等式(二)1C2.D3.D4.A5C解析：22224，当且仅当，且，即ab1时，取“”号620解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为44x(万元)，44x160，当4x，即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之
25、和最小7D解析：a21，a1a3a1，显然a1，a3同号当a1，a3同为正时，S3a1a2a3213；当a1，a3同为负时，S3a1a2a3(a1)(a3)a2211.8B解析： x2y8x(2y)82，整理，得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，x2y4.当且仅当x2y时等号成立9解：设使用n天的平均费用为2 ，当且仅当，即n800天报废最合算10解：设所求直线方程为yk(x1)4，则与x轴，y轴的截距分别是和4k，由已知，得k0)(2)x0，225x210 800.y225x36010 440.当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总
26、费用最小，最小总费用是10 440元8B解析：因为3a3b3，所以ab1.则(ab)222 4，当且仅当，即ab时“”成立故选B.9解：(1)设仓库的长为x米，宽为y米，依题意有320040x90y20xy2 20xy120 20xy，即320020xy120 (当4x9y时取等号)令a，则不等式变为20a2120a32000.解不等式，得16a10.又a0，0a10，即0xy100.又Sxy100，仓库底面积S的最大允许值是100平方米(2)当且仅当4x9y时，S才取得最大值100，x15.故铁栅设计成长为15米，才能使S达到最大，且实际投资不超过预算10解：方法一：设矩形栏目的高为a cm
27、，宽为b cm，则ab9000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0.广告的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 5002 18 5002 24 500.当且仅当25a40b时等号成立，此时ba，代入式，得a120，从而b75.即当a120，b75时，S取得最小值为24 500.故高为140 cm，宽为175 cm时，使广告的面积最小方法二：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此，得y25.广告的面积Sxyx25x，整理，得S25(x20)18 500.因为x200，所以S2 18 50024 500.当且仅当25(x20)时等号成立此时有(x20)214 400(x20)，解得x140，代入y25，得y175.即当x140，y175时，S取得最小值为24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小