1、 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学部分试题解析及2015届高三教学建议 江苏省张家港市常青藤实验中学 何睦 （感谢苏州松陵金晔老师提供如此精美的试卷word版）（2014年高考江苏卷 第10题）已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 .【思路探究】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 ，开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为【解法探究】.【教学建议】（1）一元二次不等式作为江苏高考考试说明的C级要求，在教学中应突出和加强二次函数、二次方程的零点、一元二次不等式的研究性教学，由于三次函数求导后仍为二次函数问题，所
2、以可考虑多渗透一些含参数问题的讨论，适时和适当加大二次问题的教学难度. （2）多引导学生利用数形结合的方法研究函数问题. （2014年高考江苏卷 第12题）ABDCP如图，在平行四边形中，已知，则的值是 .【思路探究】向量是高中阶段数与形结合的完美典范，向量教学中尽可能的引导学生从代数和几何两个角度审视和考查向量问题，数一般指向量的坐标法，形一般指向量的基底法.【解法探究】解法1：基底法，考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算.，则因为则，故解法2：坐标法，不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则由，得，由，得，则,所求.【教学建议】（1）向量是高中阶段数与形结合
3、的完美典范，在向量教学中尽可能的引导学生从代数和几何两个角度审视和考查向量问题，数一般指向量的坐标方法，形一般指向量的基底方法. （2）平面向量的数量积作为江苏高考考试说明的C级要求，在教学中应重点加强. 此外，向量作为良好载体可与很多其他知识进行结合（如数列、函数、解析几何等等），这一点在其他省份的高考题中有所体现，江苏在这方面未有尝试，不妨关注一下. （2014年高考江苏卷 第13题）已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .【解法探究】作出函数的简图，由图象分析可得.【教学建议】 含绝对值的函数和分段函数是江苏省高考命题最为亲
4、睐的考查内容之一，可以说每年高考填空题必考题型. 在教学中，应多让学生自己动手作图，不断提升“依性作图”和“以图识性”的能力. （2014年高考江苏卷 第14题）若的内角满足,则的最小值是 .【思路探究】多元函数的最值问题研究，考察正余弦定理和基本不等式. 【类题链接】（2008年江苏高考）的最小值为 .【解法探究】由正弦定理得，由余弦定理结合基本不等式有： , 当且仅当时等号成立. 【教学建议】多元函数最值问题的研究，应始终引导学生树立减元消参的意识，减元消参是数学求简的必然要求，是“简中求道”精神的体现. （2014年高考江苏卷 第17题）F1F2OxyBCA如图,在平面直角坐标系中,分别
5、是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.（1）若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；（2）若求椭圆离心率e的值.【解法探究】（1）由题意知，则；则椭圆方程为. 点C在椭圆上，故，解得；所求椭圆方程为.（2）解法1：（垂直关系的先行表征）设，由得，由在上，则；联立解得：，在椭圆上，代入椭圆方程整理得，即，所以椭圆的离心率为解法2：（垂直关系的最后表征）由题意知直线方程：，与椭圆联立方程组得: 得到，解得，；则；又由可知：，代入化简有，将代入化简得，即，.【教学建议】（1）解析几何的教学要注重“算理”的积累和表征，教会学生从不同的角度对问题进行
6、表征，也符合江苏省对解析几何问题“多考一点想，少考一点算”的命题方向；（2）定点定值问题仍然是解析几何问题的命题热点、重点和难点，在教学中仍应引起足够重视，但江苏卷这两年解析几何的命题告诉我们：教学时也很有必要回归解析几何最最基本的运算（抛除一切所谓的运算技巧），我想这应该是这两年命题组老师的良苦用心吧；（3）加强解析几何的运算能力，如何提高？无它，算必躬亲耳. （2014年高考江苏卷 第18题）如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新170 m60 m东北OABMC桥BC与河岸AB垂直; 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和
7、A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？【解法探究】（1）解法1：（两角差的正切）连结，由题意知，则由两角差的正切公式可得：，故答：新桥的长度为m.解法2：（解析法）由题意可知；由 可知直线的斜率，则直线所在直线的方程为；又由可知，所在的直线方程为；联立方程组，解得；即点，那么. 答：新桥的长度为m.解法3：（初中解法）延长交所在直线于点，由可得，故，在中，由勾股定理得，故答：新桥的长度为m.（2）解法1：（解析法） 由题意设，圆的方程为，且
8、由题意可知. 又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么，解得；由函数为区间上的减函数，故当时，半径取到最大值为.综上可知，当时，圆形保护区的面积最大，且最大值为.解法2：（初中解法）（兴化顾卫老师）设与圆切于点，连接，过点作交于点.设，则，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，那么，解得. 由，可得，由（1）解法3可得，所以，故即圆的半径的最大值为130，当且仅当时取得半径的最大值. 综上可知，当时，圆形保护区的面积最大. 【教学建议】（1）应用题从考试角度来说主要考查学生两个方面的能力：建立数学模型的能力（简称“建模”能力）、解决数学模型的能力（简称“解模
9、”能力），从应试方法上如何突破呢？首先要系统研究所有可能出现的应用题并做到能对症下药，常考查的应用题类型有：函数应用题（以分式函数为载体的函数应用题、以分段函数为载体的函数应用题、以二次函数为载体的函数应用题）；三角测量应用题（以三角函数的定义为载体的三角应用题、以三角函数的图象为载体的三角应用题、以解三角形为载体的三角应用题、以立体几何为载体的三角应用题、以追击问题为载体的三角应用题、以米勒问题为载体的三角应用题）；数列应用题；线性规划应用题；解析几何应用题.（可参考何睦老师编写的高考数学应用题复习题型归类解析讲义）；其次是解模工具的积累，例如基本不等式、导数研究函数单调性等等.（2）本题的
10、难点在于求出的取值范围，在教学中教师应注意多参数的参数范围问题注意目标意识的应用，注意减元意识的渗透提供两个典型问题供各位练习：（Ex.1）（湖北高考题改编）锐角中，则的取值范围是_.（Ex.2）（2014南通四模）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4若凹槽的强度T等于横截面的面积与边的乘积，设AB=2x，BC=y（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；图1图2ABCDm（2）求当x取何值时，凹槽的强度T最大（Ex.3）（2014南通四模）设各项均为正整数的无穷等差数列an，满
11、足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 （2014年高考江苏卷 第19题） 已知函数,其中e是自然对数的底数.（1）证明:是R上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.【解法探究】（1）函数的定义域为，关于原点对称；又因为，所以函数是上的偶函数；（2），即；令；因为，当且仅当时，等号成立；故，令，下只要求.；则当时，；则当时，；因此可知当时，；则. 综上可知，实数的取值范围为.（3）难题分解1：如何根据条件求出参数的取值范围？问题呈现：，使得成立”，
12、求参数的取值范围.认知过程1：这是什么问题？（不等式的有解问题）认知过程2：怎么处理这类问题？（参数分离或者直接求函数的最值，选用哪种呢？管它呢，都试试吧！）分解路径1：直接求函数的最值（笔者称其为“单刀直入”法）解：令，只要在上，即可. 且当时，；当时，则. 故在区间上，即函数为的增函数，则，解得. 分解路径2：参数分离可以吗？（of course!）解：欲使条件满足，则（想想这是为什么？留给大家思考.）此时，则，构造函数，即求此函数在上的最小值. （编者按：可能会有同学一阵眩晕，别怕，你要有个信念：要研究这么复杂的函数的单调性，可能只是DDN（逗逗你），单调的！不妨先用直觉感知一下：在定义
13、域上，分子是单调递增的函数，分母是单调递减的函数，且分子和分母均大于0恒成立，还不是单调递增吗？有了这个目标. 对接下去的证明工作起了很好的导向作用）.（编者按：又有同学说：My faint!（我晕），这么复杂的分子怎么办！你说咋办！刚才的直觉已经告诉你是单调递增了，那还不应该大于0恒成立吗？要因式分解吗？大可不必，先观察观察，然后再决定怎么办！） 因为，（嘿嘿，出来了！），则. 则在上恒成立，故，故.难题分解2：如何根据求得的参数的取值范围比较与的大小？认知过程1：这是什么问题？（比大小问题）认知过程2：之前有没有见过类似的问题（见过，比如比较和的大小）材料重现：案例：取对数运算在数学解题中
14、的应用（来源于教材习题）引例：设，比较和的大小。研究1：（1992全国高考）（1）已知为实数，且，其中是自然对数的底数，证明；（2）如果正实数满足=，且，证明：研究2： 已知函数（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求的最大值；（3）比较与的大小，并说明为什么？研究3：已知函数，某同学发现：总存在正实数、，使，则的取值范围为_研究4：（2012年南通三模23）已知函数（1）若函数在处取极值，求的值；（2）如图，设直线将坐标平面分成、四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（3）比较与的大小，并说明理由xxO认知过程3：怎么处理这类问题？
15、（取对数，构造辅助函数）分解路径1：（取对数）与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，即比较与的大小. 构造函数，则，再设，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减. 当时，；当时，；当时，. 分解路径2：（变同底，构造函数比大小）（苏州王耀老师）要比较与的大小，由于，那么，故只要比较与的大小. 令，那么，当时，；当时，；所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数.又，则，；那么当时，；当时，.综上所述，当时，当时，；当时，.（本题想法来源：05年江苏高考数学试题和1983年全国高考题，学有余力的同学可参考）【教学建议】（1）教师应给予学生积极的心里暗示：难题不难，事实上高
16、考19和20题的第1问，甚至是第2问都属于基础题和中档题，也就是19和20题中至少有12分学生也是能拿到的. 今年的高考试题更好的突出了这个特点，正所谓“人人有得，各得其所；每个人都要学数学，不同的学生学不同的数学”，体现了“大众数学”（Mass Mathematics）的理念.（2）如何解决难题，教师应教会学生将难题进行分解，而后逐一破解，哪怕做不到最终的结果也无大碍，毕竟考试是有过程分的.（3）教师应有意识的培养学生的自主探究能力, 如何培养？第一，指导学生自己开展探究性学习. 笔者建议教师引导学生对教材的基本结论和教材呈现的基本问题进行自主探究. 其次，在教师的引领下开展一些小专题（当前
17、流行的称法是微专题Micro-Theme）的研究. 案例1：对教材基本结论的探究教材中有大量的基本结论，教师如能有心的对这些基本结论进行追问，对学生提出问题和解决问题能力的形成大有裨益. 追问的方式有两种：这个命题（结论）的逆命题是否成立？这个命题（结论）能否作一般性推广？例如学完等差数列的通项公式，我们知道，若数列为等差数列，则，逆命题成立吗？再例对于集合子集个数的探讨，在学生计算集合元素个数为2,3,4时的子集个数后，进而提出问题：如果一个集合的元素个数为，则集合的子集个数是多少？能否作简单的说明？案例2：对教材基本问题的探究教材为我们研究数学、做数学提供了严谨的数学工具，也提供了研究的范
18、例，例如指数函数、对数函数、幂函数是在掌握研究函数一般方法的前提下，利用一般方法进行的具体实践与研究，此时为了更好的让学生熟练掌握函数研究的一般方法，可以放手让学生研究其他一些函数：在初中我们已经学过一次、二次和反比例函数的图象与性质，那么如果一次函数与反比例函数复合而成一个新的函数，例如：，它的图象和性质如何呢？如果二次函数与反比例函数复合而成一个新的函数，例如，它的图象和性质又如何呢？例如必修5研究了等差和等比数列这两类特殊数列后，可自然的生成新的问题：有等和和等商数列吗？请自行研究并给出相关的研究性成果. 再如学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们能否可以进一步研究：（可能为双曲线的一部
19、分），（可能是阿波罗尼斯圆），（可能是卡西尼卵形线），各自的轨迹方程如何？（2014年高考江苏卷 第20题）设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.（1）若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;（2）设是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立.【解法探究】（1）因为，故当时，那么数列的通项公式为. 因此，当时，；，当时，.（编者按：存在性问题的证明方法，找出符合题意的对象）（2）解法1：（从特殊到一般）由是首项为1的等差数列，则，又数列是“H数列”，不妨取时，存在满足条件的正整
20、数，使得，即， （i）当时，此时，不符合题意，应舍去；（ii）当时，不存在满足条件的；（iii）当时，. 此时数列的通项公式为，下面我们一起来验证为“H数列”:；，此时（容易验证为正整数，这部分各位同学自己把过程补完整）.解法2：（笔者看到这个题目，想到和去年考的是一样的：恒成立问题）（苏州王耀老师）由题意设；又等差数列的前n项和；由题意知对任意正整数，总存在正整数，使得，（*）；那么随着的变化而变化，可设满足函数关系式. 又，那么要使（*）对任意自然数恒成立，则；代入得：，即有；又当时，即，由此可以解得.此时.解法3：（利用封闭数列的相关研究），所以，由题意得，所以，即.，对于任意的，存在使
21、得，化简可得.（*） 当时，此时不是整数，此时（*）式不满足；当时，此时，而，所以恒成立，不对恒成立，所以. （学有余力的同学可进一步研究：设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.）（3）这样的分解不唯一，化归第（2）问的结论，从结论中寻找解题问题的生长.由（2）的解答过程可知：等差数列中若时, 是“数列”, 则. 同理等差数列中若时, 是“数列”,.任意的等差数列，则可表示为.令，此时，. 所以对任意的等差数列，总存在两个等差“数列”和，使得成立.
