1、吉林省长春市第二中学2019-2020学年高二数学4月线上考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共14小题，共56分）1.设命题p:1,n22n,则p为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.2.已知a0，1b0，那么下列不等式成立的是（）A. aabab2B. abaab2C. abab2aD. ab2aab【答案】C【解析】当时,选项A、B、D都不成立，所以可排除选项A、B、D，故选C.3.方程（为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先把参数方程化为普通方程，再验证选项得解.【详解】由得,
2、把参数方程化成普通方程为，当时，故选C.【点睛】本题主要考查参数方程化普通方程，考查验证一个点是否是曲线上的点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】伸缩变换即： ，则伸缩变换后得到的切线方程为： ，即 .本题选择B选项.5.用反证法证明三角形的内角中最多有一个内角是钝角时，下列假设正确的是（ ）A. 没有一个内角是钝角B. 至少有一个内角是钝角C. 至少有两个内角是锐角D. 至少有两个内角是钝角【答案】D【解析】【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”.【详解
3、】解：“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确，应假设：至少有两个角是钝角.故选：D.【点睛】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可.6.连续两次抛掷一枚均匀的骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】先求出基本事件总数，再利用列举法同向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件个数，由此能求出向上的点数之差的绝对值为2的概率【详解】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的
4、点数，基本事件总数，向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：，共有8个，向上的点数之差的绝对值为2的概率：故选：B【点睛】本题考查概率求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】由可知，点(2，)直角坐标为(1，)，圆2cos 的直角坐标方程为x2y22x，即(x1)2y21，则圆心(1,0)与点(1，)之间的距离为.点睛：解决极坐标和参数方程下的解析几何问题，一般可把极坐标方程为化直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，然后利用解析几何知识求解8.如图，已知长方体中，,则直线和平面所成的正弦值等于（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意，连接，交于点O，长方体中，AB=BC=4平面，在Rt中，直线和平面所成角的正弦值为考点：线面所成角9.若存在实数x，使丨x-a丨+丨x-1丨3成立，则实数a的取值范围是（ ）A. -2,1B. -2,2C. -2,3D. -2,4【答案】D【解析】由|xa|+|x1|(xa)(x1)|=|a1|，不等式|xa|+|x1|3有解，可得|a1|3，即3a13，求得2a4，故选D.点睛：绝对值三角不等式：，利用此不等式可以求最值.10.已知 ，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】“
6、是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.11.已知（），计算得，由此推算：当时，有（ ）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】D【解析】试题分析：观察已知的等式，即；即即由以上可得：所以答案为D考点：归纳推理12.已知，求的取值范围为（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】【分析】首先分析题目已知，求的取值范围考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等
7、式求出的最大值，开平方根即可得到答案【详解】解：由柯西不等式得，当且仅当时取等号.则故选：B.【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题13.已知直线与抛物线交于、两点，则点到、两点的距离之积是（ ）A. 2B. 10C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义，即可求线段的长；利用参数的几何意义，即可求点到、两点的距离之积【详解】解：由满足直线，可设直线的参数方程为（为参数），代入抛物线方程可得，则，即有.故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的
8、应用，正确运用参数的几何意义是关键，属于中档题14.已知,当时,在上( )A. 有最大值没有最小值B. 有最小值没有最大值C. 既有最大值也有最小值D. 既无最大值也无最小值【答案】B【解析】【分析】因为,故,令,在同一坐标系作出,图像,根据图像即可求得答案.【详解】 令,在同一坐标系作出,图像,如图:当时,即,故:单调递减;当时,即,故:取最小值;当时,即,故:单调递减增 有最小值没有最大值故选:B.【点睛】本题考查了根据导数判断函数是否存在最值,掌握根据导数的正负号,来判断原函数的增减性是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中挡题.二、填空题（本大题共4小题，共16分）15.已知样本数
9、据，的均值，则样本数据，的均值为 【答案】【解析】因为样本数据，的均值，所以样本数据，的均值为，所以答案应填：考点：均值的性质16.在极坐标系中，直线被圆所截弦长为，则_.【答案】2【解析】【分析】由题意结合所给方程可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长确定的值即可.【详解】很明显，直线与圆均经过极点，将代入圆的方程可得：，据此可得直线与圆的交点为：，结合题中所给的弦长可得：.【点睛】本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，属于中等题.17.如图所示，阴影部分为曲线与轴围成的图形，在圆：内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为_【答案】【解析】【分析】由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线与轴
10、围成的图形的 面积，利用几何概型求出概率.【详解】由题圆：的面积为 曲线与轴围成的图形的面积为 故该点取自阴影部分的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型，考查利用定积分求面积.18.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为，延长交曲线于点，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，根据曲线与有一个共同的焦点，得到抛物线方程， 再根据O为的中点，M为的中点，利用中位线定理，可得， .设，根据抛物线的定义可得，过点作x轴的垂线，点到该垂线的距离为2a，然后在中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为曲线与有一个共同
11、的焦点，所以，因为O为的中点，M为的中点，所以OM为的中位线，所以，因为，所以又，所以.设，则由抛物线的定义可得，过点作x轴的垂线，点到该垂线的距离为，在中，由勾股定理即得，即，即，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共5小题，共48分，19题8分，20-23题10分）19.已知函数（1）解不等式；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对去绝对值符号，然后分别解不等式即可（2）不等式有解，则只需，求出的最小值，然后解不等式即可.【详解】（1）由已知得当时，
12、当时， 当时，舍综上得的解集为（2）有解，或的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.20.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用 ，即可得曲线的直角坐标方程；（
13、2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为.将曲线C的极坐标方程化为.即.x2+y2=2y+2x.故曲线C的直角坐标方程为. （2）将直线l的参数方程代入中，得.化简，得. 0，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得，即t1，t2同正. 由直线方程参数的几何意义知,.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数
14、的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.21.某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出a的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.【答案】（1）；（2）
15、【解析】【分析】(1)由频率之和为1列方程求解即可；(2) 列举法确定基本事件即可求出概率.【详解】（1）由，解得. （2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法共抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人，分别记为设从5人中随机抽取3人，则有，共10个基本事件；其中第2组恰好抽到2人包含，共6个基本事件，所以第2组抽到2人的概率【点睛】本题考查了频率分布直方图及样本数字特征，条件概率与独立事件以及组合，属于基础题.22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点M为短轴的上端点，过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且1求椭圆C的方程；2设经过点且不经过点M的直
16、线l与C相交于G，H两点若，分别为直线MH，MG的斜率，求的值【答案】() ;()-1.【解析】分析：（）由，得. 因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，进而可得结果；()设直线的方程为,代入得,根据斜率公式，利用韦达定理，可得，化简消去即可的结果.详解：（）由，得. 因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，由得,故椭圆的方程为. （）由椭圆的方程与点知设直线的方程为,即，将代入得,由题设可知,设，则，所以 点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再
17、证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.23.已知函数 （1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上具有单调性，求实数的取值范围；（3）求证：【答案】（1） （2）a2（3）详见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率等于该点处导数值，再利用点斜式求切线方程，（2）先按单调递增与单调递减分类讨论，再将函数单调性转化为函数导数值恒非负或非正，利用变量分离转化为求对应函数最值，进而确定实数的取值范围；（3）利用导数证明数列求和不等式，一般方法为先构造目标函数（利用前面小题的结论），再代入数列，利用裂项相消法放缩求和，进而得证不等式
18、.试题解析：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnxx+2，（x0），f（x）=lnx+，f（1）=1，f（1）=1，所以求在x=1处的切线方程为：y=x（2）f（x）=lnx+1a，（x0）（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，即alnx+时，令g（x）=lnx+，当xea时，g（x）0，不成立；（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，alnx+；令g（x）=lnx+，则g（x）=，x0；则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；所以g（x）2，故a2（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+）上单调递增，由f（x）f（1），x1得（x+1）lnx2x+20，即lnx在（1，+）上总成立，令x=得ln，化简得：ln（n+1）lnn，所以ln2ln1，ln3ln2，ln（n+1）lnn，累加得ln（n+1）ln1，即命题得证