1、第5讲 椭 圆 课标要求考情风向标1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义、标准方程、几何图形及简单性质.3.通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想椭圆作为解析几何知识的一个重点，每年都是高考重点考查的内容.主要考查椭圆的基础知识椭圆的定义、几何性质、标准方程以及直线与椭圆的结合问题，考查常见的数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等.考查解析几何的本质问题用代数的方法解决几何问题1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1，F2 的距离之和等于常数 2a(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫
2、做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.ac集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数.(1)若_，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)y2a2x2b21(ab0)标准方程性质顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率a，b，c的关系c2 a2b2(续表)x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)eca(0,1)1.
3、椭圆x225y291 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1的中点，则|ON|等于()A.2 B.4 C.8 D.32B解析：|ON|12|MF2|12(2a|MF1|)12(102)4，故选 B.2.(2018 年新课标)已知椭圆 C：x2a2y241 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为()A.13B.12C.22D.2 23CA.a22b2C.a2bB.3a24b2D.3a4b3.(2019 年北京)已知椭圆x2a2 y2b21(ab0)的离心率为12，则()B解析：椭圆的离心率 eca12，c2a2b2，化简得 3a24b2，故选 B.4.已知椭圆 C：x2a2y
4、2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若AF1B的周长为 43，则 C 的方程为()A.x23 y221B.x23y21C.x212y281D.x212y241答案：A解析：由椭圆定义知，AF1B 的周长为 4a43，a 3，离心率为 eca 33，c1，b2a2c22，则 C 的方程为x23y22 1.考点 1 椭圆的定义及应用(x4)2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小)值、最大值分别为(A.9,12C.8,12B.8,11D.10,12例 1：(1)设 P 是椭圆x225y291 上一点，
5、M，N 分别是两圆：解析：如图 D49，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，图 D49由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接 PA，PB 分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接 PA，PB 并延长，分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为 8,12，故选 C.答案：CA(1,1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_.(2)已知 F 是椭圆x29y251 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，解析：如图 D50，由题意知 a3，b 5，c2，F(2,0).
6、设椭圆右焦点为 F，则|PF|PF|6，|PA|PF|PA|PF|6.当 P，A，F三点共线时，|PA|PF|取到最大值|AF|2，或者最小值|AF|2.|PA|PF|的最大值为 6 2，最小值为 6 2.图 D50答案：6 2 6 2(3)已知椭圆 C：x29y241，点 M 与椭圆 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在椭圆 C 上，则|AN|BN|_.解析：如图 D51，由已知条件得，点 F1，F2 分别是椭圆x29y241 的左、右焦点，且 F1，F2，K 分别是线段 MB，MA，MN的中点，则在NBM 和NAM 中，|BN|2|KF1|
7、，|AN|2|KF2|.又由椭圆的定义，得|KF1|KF2|2a6.故|AN|BN|2(|KF1|KF2|)12.图 D51答案：12考点 2 椭圆的标准方程例 2：(1)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.解析：(1)设圆 M 的半径为 r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，|C1C2|8，M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a16，2c8，故所求的轨迹方程为x264y2481.答案：x264y2481(2)(2019 年新课标)已知椭圆 C 的焦点为
8、F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|)|BF1|，则 C 的方程为(A.x22y21 B.x23y221 C.x24y231 D.x25y241答案：B解析：|AF2|2|F2B|2x，则|AB|BF1|3x，|BF1|BF2|4x2a，|AF1|AF2|2a，|AF1|a，即|AB|BF1|32a，|AF1|a，cos Aa294a294a22a32a13，在AF1F2 中，22a2a22a21343a2，a23，c1，b22，则 C 的方程为x23y221.(3)已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上
9、任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交直线 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA|PN|.又AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|.由椭圆的定义知，点 P 的轨迹是椭圆.答案：B【规律方法】(1)求曲线的方程时，应从“定形”“定焦”“定式”“定量”四个方面去思考.“定形”是指首先要 清楚所求曲线是椭圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在x 轴上还是在 y 轴上；“定式”是指设出相应的方程；“定量”是指计算出相应的参数.(2)求椭圆方程的关键是确定 a，b 的值，常利用椭圆的
10、定义解题.在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆方程的影响.当椭圆的焦点位置不明确时，应有两种情况，亦讨论.可设方程为 mx2ny21m0，n0，mn，这样可以避免分类考点 3 椭圆的几何性质例 3：(1)(2016 年新课标)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案：B解析：如图 D52，在椭圆中，|OF|c，|OB|b，|OD|142b12b.在 RtOFB 中，|OF|OB|BF|OD|，代入解得 a2c.图 D52椭圆的离心率 e12.(2)(2018 年新课标)已知 F1
11、，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P是 C 上的一点，若 PF1PF2，且PF2F160，则 C 的离心率为()A.1 32B.2 3 C.312D.31答案：D解析：|F1F2|2c，|PF2|c，|PF1|3c，2a|PF1|PF2|31 c，e2c2a2c31 c 31.(3)(2017 年新课标)设 A，B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB120，则实数 m 的取值范围是()A.(0,19，)B.(0，39，)C.(0,14，)D.(0，34，)答案：A解析：当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使椭圆 C 存在点M 满足AMB120，则abta
12、n 60 3，即 3m 3.03 时，焦点在 y 轴上，要使椭圆 C 存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3.即 m3 3，m9.综上所述，实数 m 的取值范围为(0,19，).【规律方法】讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点.求离心率的常用方法有以下两种：求得 a，c 的值，直接代入用 b2a2c2 消去 b，转化成关于 e 的方程(或不等式)求解.公式 eca求得；列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利思想与方法利用函数与方程的思想求椭圆的方程F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM
13、 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.例题：(2018 年新课标)设椭圆 C：x22y21 的右焦点为(1)解：由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为1，22 或1，22.AM 的方程为 y 22 x 2或 y 22 x 2.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，OMAOMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 2，x20，y00)，则 SMF1F212|F1F2|y04y0，又 SMF
14、1F2124 82224 15，4y04 15，解得 y0 15.x2036 152201，解得 x03(x03 舍去).M 的坐标为(3，15).答案：(3，15)1.椭圆定义的集合语言：P M|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|往往是解决计算问题的关键，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉及椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义.涉及椭圆的定义时，要注意常数 2a 大于焦距 2c 这一隐含条件，即：(1)当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹为椭圆；(2)当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹为以 F1，F2 为端点的线段；(3)当|PF1|PF2|2a0，n0，mn)，这样往往可以避免分类讨论.3.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点.求离心率的得；列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利用 b2a2c2消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解.常用方法有以下两种：求得 a，c 的值，直接代入公式 eca求4.直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题.相交弦问题.实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组实数解的个数问题，故：(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离b0)上任意一点，则|x|a.
