1、第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第1节 任意角的三角函数第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识.了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识整合主干知识第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关
2、人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)：角正角：按照_方向旋转而成的角.负角：按照_方向旋转而成的角._：射线没有旋转.逆时针顺时针零角第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)象限角与轴线角：第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)终边相同的角所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S|k360，kZ第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识质疑探究1：(1)第
3、二象限角一定是钝角吗？(2)终边相同的角一定相等吗？提示：(1)钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角；(2)终边相同的角不一定相等第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2弧度制(1)定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识角 的弧度数公式|lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算1 180rad1 rad180弧长公式弧长 l_扇形面积公式S12 lr12|r2|r(2)公式第三章2016年新课标高考大一轮复
4、习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)规定正角的弧度数是一个_，负角的弧度数是一个_，零角的弧度数是0.正数负数3任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin _，cos _，tan yx(x0)三个三角函数的初步性质如下表：yx第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan _|k 2，kZ第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识4三角函数线
5、如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识三角函数线有向线段_为正弦线；有向线段_为余弦线；有向线段_为正切线MPOMAT第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识质疑探究2：若角终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，你能用x、y表示角的正弦、余弦、正切吗？提示：能，sin yx2y2，cos xx2y2，tan yxx0，不存在x0.第三章2016年新课
6、标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1870角的终边在第几象限()A一 B二C三D四解析：8703603210，870与210角终边相同又210角的终边在第三象限，870角的终边在第三象限故选C.答案：C第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2如图所示，在直角坐标系xOy中，射 线 OP 交 单 位 圆 O 于 点 P，若AOP，则点P的坐标是()A(cos，sin)B(cos，sin)C(sin，cos)D(sin，cos)解析：由三角函数的定义知P(cos，sin)，选A.答案：A第三章2
7、016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识3(2015汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.3B.23C.3D.2解析：设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 3R，圆弧长为 3R.该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR 3.答案：C第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识4(2015辽源模拟)若三角形的两个内角，满足sincos 0，则此三角形为_解析：sin cos 0，且，是三角形的两个内角 sin 0，cos 0，为钝角故此三角
8、形为钝角三角形答案：钝角三角形第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识5给出下列命题：三角形的内角必是第一、二象限角；第一象限角必是锐角；不相等的角终边一定不相同；若k720(kZ)，则和终边相同；点P(tan，cos)在第三象限，则角的终边在第二象限其中正确的是_(写出所有正确命题的序号)第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解析：错误.90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角 错误.390的角是第一象限角，但它不是锐角 错误.390的角和30的角不相等，但终边相同
9、 正确由终边相同的角的概念可知正确 正确由已知得tan 0，cos 0，所以为第二象限角答案：第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识聚集热点题型第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识象限角及终边相同的角 典例赏析 1(1)若角 的终边与67 角的终边相同，则在0,2)内终边与3角的终边相同的角为_(2)终边在直线 y 3x 上的角的集合为_ 第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)已知角的终边落在阴影所表示的范围
10、内(包括边界)，则角的集合为_解析(1)67 2k(kZ)，327 2k3(kZ)依题意 027 2k3 237k187，kZ.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识k0,1,2，即在0,2)内终边与3相同的角为27，2021，3421.(2)在(0，)内终边在直线 y 3x 上的角是3，终边在直线 y 3x 上的角的集合为|3k，kZ第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)在 0 360 范 围 内，终 边 落 在 阴 影 内 的 角 为90135或270315.所以终
11、边落在阴影所表示的范围内 的 角 的 集 合 为|90 k360135 k360，kZ|270 k360315 k360，kZ|902k1801352k180，kZ|90(2k 1)180135 (2k 1)180，kZ|90 n180135n180，nZ 答 案 (1)27，2021，3421 (2)|3 k，k Z(3)|90n180135n180，nZ第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛1利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角
12、2表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合3已知角 终边所在的象限，求 2、2、等角的终边所在象限问题，可由条件先写出 的范围，解不等式得出角2、2、等的范围，再根据范围确定象限第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识4已知 是第 m(m1,2,3,4)象限角，求n是第
13、几象限角的方法：(1)等分：将各象限均分为几等分；(2)标准：从 x 轴正方向上第一个区域起，按逆时针方向顺次标上 1,2,3,4,1,2,3,4，直至填充所有区域；(3)选区间：出现数字 m 的区域即为n的范围第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练1如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是_，角2的终边所在位置是_解析：由 是第三象限的角得 2k32 2k322k2k，即22k2k(kZ)第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识答案：第二象限；第一、二象限及y轴的非负
14、半轴角 的终边在第二象限；由 2k32 2k 得24k234k(kZ)角 2 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 思 考 在 本 题 的 条 件 下，角 3 终 边 所 在 的 位 置 是_解析：法一(代数法)：因为 2k32 2k(kZ)，所以32k3 322k3(kZ)当 k3n(nZ)时，32n322n(nZ)；当 k3n1(nZ)时，第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2n376 2n(nZ)；当 k3n2(nZ)时，53
15、 2n3116 2n(nZ)所以3的终边在第一、三、四象限法二(几何法)：第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 是第三象限角，由图知，3的终边在第一、三、四象限答案：第一、三、四象限第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识三角函数的定义典例赏析 2(1)(2015大庆模拟)已知角 的终边上一点 P的坐标为sin 23，cos 23，则角 的最小正值为()A.53 B.23C.56D.116 第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型
16、整合主干知识(2)若角的终边在直线y2x上(x0)，则cos 2的值为_思路点拨(1)|OP|1，P点在第四象限(2)设终边上点M(t,2t)，求cos.解析(1)由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos sin 23 32，故 2k6(kZ)，所以 的最小正值为116.故选 D.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)设 P(t,2t)(t0)为角 终边上任意一点，则 cos t5|t|.当 t0 时，cos 55；当 t0 时，cos 55.因此 cos 22cos2125135.答案(1)D(2)35第三章2
17、016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛 定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练2(1)已知角 终边上一点 P(3，1)，则 2sin 23tan 等于()A13 3B13 3C2 3D0(2
18、)角 终边上一点 P(4m，3m)(m0)，则 2sin cos 的值为_第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解析：(1)由已知得|OP|2，由三角函数定义可知 sin 12，cos 32，tan 13 33.所以 2sin 23tan 4sin cos 3tan 412 32 3 33 0.故选 D.(2)由题意，有 x4m，y3m，所以 r 4m23m25|m|.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 m0 时，r5m，sin 35，cos 45，则 2sin cos
19、 654525.当 m0 时，r5m，sin 35，cos 45，则 2sin cos 654525.答案：(1)D(2)25第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识三角函数线、三角函数值的符号典例赏析 3(1)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)已知 cos 12，则角 的集合为_ 第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识思路点拨可以根据各象限内三角函数值的符号判断；解三角不等式，可以利用三角函数线解析
20、(1)由 sin tan 0 可知 sin，tan 异号，从而 为第二或第三象限角由cos tan 0 可知 cos，tan 异号，从而 为第三或第四象限角，故 为第三象限角第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)作直线 x12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为|2k232k43，kZ答案(1)C(2)|2k232k43，kZ第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛(
21、1)熟练掌握三角函数在各象限的符号(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：用边界值定出角的终边位置；根据不等式(组)定出角的范围；求交集，找单位圆中公共的部分；写出角的表达式第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练3(1)ysin x 32 的定义域为_(2)已知 sin 20，且|cos|cos，则点 P(tan，cos)在第_象限解析：(1)sin x 32，作直线 y 32 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 的终边的范围，故满足条件的角 的集合为x|2k
22、3x2k23，kZ第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)方法一 由 sin 20，得 2k22k2(kZ)，k2k(kZ)当 k 为奇数时，的终边在第四象限；当 k 为偶数时，的终边在第二象限又因 cos 0，所以 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴)，所以 的终边在第二象限所以 tan 0，cos 0，点 P 在第三象限第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识方法二 由|cos|cos 知 cos 0，又 sin 20，即 2sin cos 0cos 0)，所在圆的半径
23、为R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？思路点拨(1)弓形面积可由扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于的函数扇形的弧长、面积公式的应用 第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则603，R10，l310103 (cm)，S 弓S 扇S12103 1012102sin 3503 50 32503 32(cm2)第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热
24、点题型整合主干知识(2)扇形周长 C2Rl2RR，R C2，S 扇12R212C22C22 1442C22 144C216.当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值C216.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式 l|r，扇形的面积公式是 S12lr12|r2(其中 l 是扇形的弧长，是扇形的圆心角)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量提醒：运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制第三章2016年新
25、课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练4(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长是 2rr.依题意：2rrr，(2)rad.扇形的面积 S12r212(2)r2.第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l2r20，即 l202r(0r10)扇形的面积 S1
26、2lr12(202r)rr210r(r5)225.当 r5 时，S 有最大值 25，此时 l10，lr2 rad.因此，当 2 rad 时，扇形的面积取得最大值第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识备课札记_第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识提升学科素养第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 (理)错用三角函数的定义(注：对应文数热点突破之十五)第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教
27、A数学聚焦热点题型整合主干知识(2015天津模拟)已知角的终边上一点P(3a,4a)(a0)，则sin _.正解 x3a，y4a，r 3a24a25|a|.(1)当 a0 时，r5a，sin yr45.(2)当 a0 时，r5a，sin yr45.sin 45.答案 45第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识易错分析(1)角的终边是一条射线，而不是直线该题中，我们只能确定角的终边所在直线(2)由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，从而求出 r 3a24a2 25a25a，结果得到下列错误的解法：sin yr45.第三章
28、2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识温馨提醒(1)区分两种三角函数定义如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角 的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx，但如果不是在单位圆中，设角 的终边经过点 P(x，y)，|OP|r，则 sin yr，cos xr，tan yx.(2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识已知角 的终边经过点 P(3，m)，且 sin 34m(m0)，则 tan 的值为_
29、解析：依题意，P 到原点 O 的距离为r 32m2 3m2，sin m3m2，第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识又sin 34m，m0，m3m2 34 m，m273，m 213，点 P 在第二或第三象限故角 是第二象限角或第三象限角当 是第二象限角时，m 213，tan 213 3 73，第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 是第三象限角时，m 213，tan 213 3 73.答案：73第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热
30、点题型整合主干知识1一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦2两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识3三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用，不可写2k60，kZ.(3)注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识4四个公式(1)与终边相同的角度公式(2)角的弧度数(弧长公式)(3)扇形面积公式(4)三角函数定义公式第三章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识点击进入WORD链接提能课时冲关
