1、第六章 圆周运动专题强化圆周运动的综合分析学习目标1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法.一、竖直面内的圆周运动1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.图1(1)最低点动力学方程：FT1mgm所以FT1mgm(2)最高点动力学方程：FT2mgm所以FT2mmg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2mg可知，当FT20时，v2最小，最小速度为v2.讨论：当v2时，拉力或压力为零.
2、当v2时，小球受向下的拉力或压力.当v2，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mgFm，所以Fmmg，F随v 增大而增大；v，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0，mgm；0v，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mgFm，所以Fmgm，F随v的增大而减小.如图4，长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m2 kg的小球(半径不计).求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2，取210)：图4(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.答案(1)140 N方向竖直向上(2)10
3、 N方向竖直向下解析假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示：(1)杆的转速为2 r/s时，2n4 rad/s，由牛顿第二定律得FmgmL2，故小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.542210) N140 N，即杆对小球有140 N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N，方向竖直向上.(2)杆的转速为0.5 r/s时，2n rad/s，同理可得小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.5210) N10 N.力F为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10 N的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下.二、圆
4、周运动的临界问题物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.如图5所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面
5、内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，结果可用根式表示)图5(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？答案(1) rad/s(2)2 rad/s解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan m02lsin 解得0 rad/s(2)同理，当细线与竖直方向成60角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mg
6、tan m2lsin 解得2 rad/s(2019郑州市高一下学期期末)如图6甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.图6(1)当水平转盘以角速度1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求1的值；(2)如图乙，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度2时，求细绳的拉力FT2的大小；(3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度3时，求细绳的拉力FT3的大小.答案(1)(2)0(3)mg解析(1)当水平转盘以角速度1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦
7、力提供，则mgmr12解得：1(2)由于21，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则mgFT3m32r，可得此时绳子对物块拉力的大小为FT3mg.1.(轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)()图7A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态
8、，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析“水流星”在最高点的临界速度v4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.2.(过山车模型)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是()图8A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于D.小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小
9、球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mgmma，即v，ag，选项B、C、D正确.3.(轻杆模型)如图9所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()图9A.mg的拉力 B.mg的压力C.零 D.mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mgm，解得：v，而，则小球对管内上壁有压力C.若0 v0，b绳将出现弹力D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化答案AC解析对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FT
10、a，为定值，A正确，B错误.当FTacos m2l，即时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确.由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误.7.(多选)如图6所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图6A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.是b开始滑动的临界角速度D.当时，a所受摩擦力的大小为kmg答案AC解析小木
11、块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ffm2R.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffama2 l，当Ffakmg时，kmgma2l，可得a；对木块b：Ffbmb22l，当Ffbkmg时，kmgmb22l，可得b，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffam2l，Ffbm22l，FfaFfb，选项B错误；当时b刚要开始滑动，选项C正确；a时，a没有滑动，则Ffam2lkmg，选项D错误.8.(2019六安一中期中考试)如图7所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置用平直细线相连的质量相等的两物
12、体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速增大到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则两个物体将要发生的运动情况是()图7A.两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动B.只有A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动C.两物体均沿半径方向滑动，A靠近圆心、B远离圆心D.两物体均沿半径方向滑动，A、B都远离圆心答案B解析当两物体刚要滑动时，A、B所受静摩擦力都是最大静摩擦力Ffm.对A有FfmFTm2rA，对B有FfmFTm2rB，烧断细线的瞬间，FT消失，A的向心力由圆盘的静摩擦力提供，且Ffm2rAh，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图8所示，要使小球
13、不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)()图8A. B.C. D.2答案A解析如图所示，设细绳与转动轴夹角为，以小球为研究对象，小球受三个力的作用；重力mg、水平面支持力FN、细绳拉力F，在竖直方向合力为零，则有Fcos FNmg，在水平方向上由牛顿第二定律有Fsin m(2n)2Rm(2n)2htan ，则n，当小球即将离开水平面时FN0，F有最大值，转速n有最大值，则有nmax，故A正确，B、C、D错误.10.(多选)如图9甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最
14、高点的速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示.则()图9A.小球的质量为B.当地的重力加速度大小为C.v2c时，小球对杆的弹力方向向上D.v22b时，小球受到的弹力与重力大小相等答案ACD解析当小球受到的弹力方向向下时，有Fmg，解得Fv2mg；当弹力方向向上时，有mgFm，解得Fmgm.对比Fv2图像可知，amg，当v2b时，F0，可得bgR，则g，m，A正确，B错误；v2c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确；v22b时，小球受到的弹力与重力大小相等，D正确.二、非选择题11.如图10所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B从水平地面上
15、以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg.g为重力加速度，忽略空气阻力，求A、B两球落地点间的距离.图10答案3R解析两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差.对A球由牛顿第二定律得3mgmgm解得A球通过最高点C时的速度大小为vA2对B球由牛顿第二定律得mg0.75mgm解得B球通过最高点C时的速度大小为vBA、B球做平抛运动的时间相同，由2Rgt2可得t2两球做平抛运动的水平分位移分别为xAvAt4RxBvBt
16、RA、B两球落地点间的距离xxAxB3R.12.如图11所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为(1)，则转盘转动的角速度在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)图11答案解析当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即FFfmaxmr12由于B静止，故有Fmg又FfmaxFNmg由式可得1当A将要沿转盘向圆心滑动时
17、，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为FFfmaxmr22由式可得2故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度的范围为21，即.13.(拓展提升)如图12所示，质量为1 kg、大小不计的小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆在水平面内做匀速圆周运动.AB的距离等于绳长为1 m.(重力加速度g10 m/s2)图12(1)当14 rad/s时，细绳AP和BP的拉力分别为多少？(2)当25 rad/s时，细绳AP和BP的拉力分别为多少？答案(1)016 N(2)2.5 N22.5 N解析设AP刚伸直时小球做圆周运动的角速度为0此时BP与竖直方向夹角为60，AP拉力为0球受力如图甲所示，FT1sin 60m02Lsin 60FT1cos 60mg联立解得：02 rad/s(1)当14 rad/s0时，AP上拉力为0，设BP拉力为FT2，其与竖直方向夹角为，受力分析如图乙，FT2sin m12Lsin 解得FT216 N(2)当25 rad/s0时，AP、BP上都有拉力，设分别为FT3、FT4，受力分析(如图丙)FT4cos 30FT3cos 30m22Lsin 60FT4sin 30FT3sin 30mg联立解得FT32.5 N，FT422.5 N.
