1、第2课时题型几何体与球内切、外接的问题纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握较为薄弱、认识较为模糊、看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.下面结合近几年高考题对球与几何体的内切、外接问题作深入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.A
2、.50B.100C.200D.300例题：(1)在四面体 A-BCD 中，ABCD10，ACBD2 34，ADBC2 41，则四面体 A-BCD 外接球的表面积为()解析：对棱相等，构造长方体，四面体 A-BCD 的六条棱分别是长方体六个面的对角线，a2b2c22004R2.则四面体 A-BCD 外接球的表面积为 4R2200.答案：C设长方体三条棱长分别为 a，b，c，有a2b2100，a2c2136，c2b2164，(2)(2018 年河北衡水中学质检)如 图 6-27，在 四 棱 锥C-ABOD 中，CO平面 ABOD，ABOD，OBOD，且 AB)O，B，C，D 都在同一个球面上，则该
3、球的表面积为(图 6-27A.72B.8C.283 D.263 2OD4，AD2 2，异面直线 CD 与 AB 所成角为 30，若点答案：C解析：CD 与 AB 所成角为 30，且 ABOD，CDO30.由 OD2，知 OCODtan 302 33.在直角梯形 ABOD 中，OB AD242.因此(2R)2OB2OD2OC2283，故球的表面积 S4R2283.(3)(2017 年新课标)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球 O 的直径.若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_.解析：如图 6-28，取
4、 SC 的中点 O，连接 OA，OB.图 6-28SAAC，SBBC，OASC，OBSC.平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC，OA平面 SCB.设 OAr，答案：36则 VA-SBC13SSBCOA13122rrr13r3，13r39r3.球 O 的表面积为 4r236.(4)(2016 年新课标)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则V 的最大值是()A.4 B.92C.6 D.323答案：B解析：要使球的体积 V 最大，必须使球的半径 R 最大.由题意知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最
5、大值32，此时球的体积为43R34332392.故选 B.(5)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O的表面积为()A.36B.64C.144D.256解析：如图 6-29，当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O-ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VO-ABCVC-AOB1312R2R16R336，故 R6.则球 O 的表面积为 S4R2144.故选 C.答案：C图 6-29(6)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积是()A.814B
6、.16 C.9 D.274答案：A解析：设半径为 R，有(4R)2(2)2R2，解得 R94.S 球4R2814.面 ABC，DBC 的面积是 6，若该四面体的顶点均在球 O 的表)面上，则球 O 的表面积是(A.24C.46B.32D.49(7)在四面体 ABCD 中，ABAC2 3，BC6，AD底答案：D解析：设球的半径为 R，底面三角形外接圆半径为 r，2rBCsinBAC6sin 1204 3，r2 3.设 ADx，DBC 的面积是12 32x266，x1.则 R2 32AD2272.球 O 的表面积是 4R2472249.(8)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在以 O
7、为球心的球面上，且BAC34，AA1BC2，则球 O 的体积为()A.4 3 B.8 C.12 D.20答案：A解析：在底面ABC 中，由正弦定理得底面ABC 所在的截面圆的半径为 rBC2sinBAC22sin34 2，则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径为Rr2AA122 2212 3，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43R34 3.(9)(2018 年广东广州三模)三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC 平面 ABC，ABAC，PA PCAC2，AB4，则三棱锥 P-ABC的外接球的表面积为()A.23B.234 C.64D.643 解析：如图 6-30，设 为
8、正OPAC 的中心，D 为 RtABC斜边的中点，H 为 AC 中点.图 6-30由平面 PAC 平面 ABC，则 OH平面 ABC.作 OOHD，ODOH，则交点 O 为三棱锥外接球的球心，连接 OP，答案：D又 OP23PH23 32 22 33，OODH12AB2，R2OP2OP2OO2434163.故几何体外接球的表面积 S4R2643.(10)(2019 年新课标)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB，PCABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A.8 6 B.4 6 C.2 6 D.6解析：如
9、图 6-31，EFPB,CEF90，得 PBCE，PBAC，CEACC，PB面 PAC，图 6-31即 PBPA，PBPC，同理 PA PC，三棱锥 P-ABC 的四个顶点为正方体的一个角，三棱锥 P-ABC 的外接球 O 就是正方体的外接球，6.答案：D外接球的半径 r 62，体积为43r34362343668(11)(2018 年福建福州模拟)已知圆锥的高为 3，它的底面半径为 3.若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A.83 B.323 C.16 D.32解析：如图 6-32，设球心到底面圆心的距离为 x，则球的半径 r3x.图 6-32答案：B由勾股定理得
10、 x23(3x)2，解得 x1，故球的半径 r2，V 球43r3323.故选 B.(12)(2018 年新课标)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 3答案：B解析：设等边ABC 的边长为 x，则12x2sin 609 3，得x6.设ABC 的外接圆半径为 r，则 2r6sin 60，解得 r2 3，球心到ABC 所在平面的距离 d 422 322，则点 D到平面ABC的最大距离 d1d46.三棱锥 D-ABC 体积的最大值 Vmax13SABC
11、6139 3618 3.(13)设 O1 为一个圆柱上底面的中心，A 为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球 O 的表面上.若两个底面的面积之和为 8，O1A 与底面所成角为 60，则球 O 的表面积为_.答案：28解析：设该圆柱底面半径为 r，高为 h，则2r28，hrtan 60 3.解得 r2，h2 3.则球 O 的半径 Rr2h22 7.故球 O 的表面积为 4R228.(14)(2018 年河南郑州质检)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 内接于球 O，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AA1 的中点，OA平面 BDE，则球 O 的表面积为_.解析
12、：取 BD 的中点为 O1，连接 OO1，OE，O1E，O1A，则四边形 OO1AE 为矩形，OA平面 BDE，OAEO1，即四边形 OO1AE 为正方形，则球 O 的半径 ROA2，球 O 的表面积 S42216.答案：16(15)如图 6-33，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6 cm，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O，E，F，G，H 为圆 O 上的点，ABE，BCF，CDG，ADH 分别是以 AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得 E，F，G，H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为_.图 6-33解析：连接 OE 交 AB 于点 I，设 E，F，G，H 重合于点 P，设正方形的边长为 x(x0)，则 OIx2，IE6x2，该四棱锥的侧面积为底面积的 2 倍，4x26x2 2x2，解得 x4.设该四棱锥的外接球的球心为 Q，半径为 R，四棱锥的斜高 IE624，OI2，故它的高为 OP IE2OI2 1642 3，从而 R2(2 3R)2(2 2)2，解得 R 53.因此四棱锥的外接球的体积为 V43 533500 327.答案：500 327
